高等数学A-第1章-8-7(函数连续性)

lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置。
定理4 （连续函数的复合函数是连续函数）
设函数 u g( x) 在点 x x0连续, 且 g( x0 ) u0 , 而函数 y f (u) 在点u u0 连续, 则复合函数 y f [g( x)]在点 x x0也连续.
x x0
(2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续； 对于区间的右端点只要左连续则称为连续.
4.函数在区间上的连续性
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续.
解： f ( x) 1 在x 0处没有意义, x
x 0为f ( x)的间断点.
又 lim f ( x) lim 1 ,
x0
x0 x
这时称x=0为f(x)的无穷间断点.
例6.设f ( x) sin 1 ,讨论x 0处的连续性. x
解: f ( x) sin 1 在x 0处没有意义, x
可见，f(x)在x0处连续必须满足三个条件：
(1) f ( x0 )有定义 (2) lim f ( x)存在
x x0
(3) lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
3.左右连续定义
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义, 且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
0, 0, 使当 u a 时,
恒有 f (u) f (a) 成立.
又lim ( x) a, x x0
对于 0, 0, 使当 0 x x 时, 0
恒有 ( x) a u a 成立.
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x 时, 0 f (u) f (a) f [ ( x)] f (a) 成立.
x0
x0 x
若令f (0) 1, 补充f ( x)在x 0处的定义,
则f ( x)在x 0处连续了.
这种间断点也称为可去间断点.
x2 1
例4.设f
(
x
)
x1
,
2,
x 1,讨论x 1处的连续性. x1
解: f (1) 2有定义,
f (1 0) lim x2 1 lim x2 1 lim ( x 1) 2, x1 x 1 x1 x 1 x1
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
注意:
(1)f(x)在x0连续与它在该点左右连续的关系有如下结论:
lim f ( x) f ( x0 ) f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
1.7.5 函数的一致连续性
应用习例14-20
1.7.6 压缩映射原理与迭代法
一、连续函数的定义
1.增量 设变量 u 从 u1 变到 u2, 则称u2 u1为u的增量, 记为
u u2 u1.
对于函数 y f ( x), 当自变量 x由 x0 x0 x,
相应地函数值由f ( x0 ) f ( x0 x), 则称
x0
x0
由x0 0, 得 x0e x x0e ,
x0 (e 1) x x0 x0 (e 1),
取 min{ x0 e 1, x0 e 1}, 当 x x0 时, 有 ln x ln x0 成立,
lim
x x0
ln
x
ln
x0
.
二、函数的间断点及其分类
1.间断点的定义
若f(x)至少满足下列条件之一，则称f(x)在x0处不连续, x0为f(x)的间断点. (1) f ( x0 )无意义 (2) lim f ( x)不存在
f (1 0) lim x2 1 lim 1 x2 lim ( x 1) 2, x1 x 1 x1 x 1 x1
lim f ( x)不存在, 故x 1为f ( x)的间断点.
x1
函数图形在间断点x=1处发生跳跃，故称跳跃间断点.
例5.设f ( x) 1 ,讨论x 0处的连续性. x
而f (0) 1, f (0 0) lim f ( x) lim sin x 1,
x0
x0 x
f (0 0) lim f ( x) lim ( x2 1) 1,
x0
x0
lim f ( x)不存在,即x 0为间断点.
高等数学A
第1章 函数与极限
1.7 函数的连续性
1.7.1 连续函数的定义 1.7.2 函数的间断点及其分类 1.7.3 连续函数的运算 1.7.4 闭区间上连续函数的性质 1.7.5 函数的一致连续性 1.7.6 压缩映射原理与迭代法
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
1.7 函数的连续性
函数在一点处连续的定义
x0
x
思考题
若 f ( x) 在x0 连续，则| f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 是否连续？ 又若| f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 连续，f ( x) 在x0 是否连续？
例7.求 y sin x sin x 的定义域,有连续区间吗?
解：
s算
定理1 （连续函数的和差积商还是连续函数）
若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g(x)
( g( x0 ) 0)在点 x0处也连续.
证明： lim
x x0
f (x)
f
(
x0
),
lim
x x0
g(
(2)定理5 初等函数在其定义区间内是连续的.
注意:
(1)弄清楚定义域, 定义区间, 连续区间的关系; 并会求 求函数的连续区间.
(2)记住初等函数的连续区间即为定义区间; 而分段函 数需考虑分段点的情况.
(3)利用函数的连续性可求极限 lim xx0
f x
f x0
.
3.习例
例7.求 y sin x sin x 的定义域,有连续区间吗?
cos x
y csc x 1
sin x
反三角函数的连续性: 由反函数的连续性得到.
对数函数的连续性:
y ln x在(0,)内连续 ----已证
y
loga
x
ln ln
x a
也在(0,)内连续
指数函数的连续性:
y ax , y e x ----由反函数的连续性得到.
幂函数的连续性:
y x e ln x ----由复合函数的连续性得到.
定理2 （连续函数的反函数连续）
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.
定理3 （复合函数的连续性）
若 lim ( x) a, 函数 f (u)在点a连续,
x x0
则有 lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
证明: f (u)在点 u a连续,
若令f (0) 1,改变f ( x)在x 0处的定义, 则f ( x)在x 0处连续了. 这种间断点称为可去间断点.
例3.设f ( x) sin x ,讨论x 0处的连续性. x
解： f ( x) sin x 在x 0处没有意义, x
x 0为f ( x)的间断点.
又 lim f ( x) lim sin x 1,
定义1
设y f ( x)定义在U ( x0 , ),
若 lim y
x0
0,
则称y
f ( x)在
x0处连续.
设y f ( x)定义在U ( x0 , ),
若 lim f ( x) f ( x0 ), 则称y f ( x)在 x0处连续.
x x0
" "定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0) .
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )为函数的增量.
一般地， y随x的变化而变化.
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x
0 x0 x x0
x
lim y 0
x 0
lim y 0
x0
2.函数y f ( x)在x0处的连续性定义
0
sin x 0,
x k (k 0,1,2,) 为所求函数的定义域.
故没有连续区间.
例8.求
y
sin
x
x
,
x 0 连续区间.
x2 1, x 0
解： f ( x)的定义域为(,),
当x 0时, f ( x) sin x 为初等函数, 连续; x
当x 0时, f ( x) x2 1为初等函数, 连续;
例8.求
y
sin
x
x
,
x 0 连续区间.
x2 1, x 0
例9.当a取何值时,函数
f
(
x
)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
例10.计算 lim loga (1 x) (a 0,a 1).
x0
x
例11.计算 lim ln( x e) 1.
x0
x
例12.计算 lim (1 x)a 1.
x x0
(3) lim f ( x) f ( x0 )
x x0
2.连续性讨论习例
例2.设f ( x) sgn x ,讨论x 0处的连续性.
例3.设f ( x) sin x ,讨论x 0处的连续性. x
x2 1
例4.设f
(
x
)
x1
,
2,
x 1,讨论x 1处的连续性. x1
例5.设f ( x) 1 ,讨论x 0处的连续性. x
则称x0为第二类间断点;
可去间断点 (左右极限存在且相等的间断点) 跳跃间断点 (左右极限存在但不相等的间断点)
无穷间断点 (极限为无穷大的间断点) 振荡间断点 (极限不确定的间断点)
第y
一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
o
x0
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
各类间断点示意图
跳跃型 x
振荡型
三、连续函数的运算与初等函数的连续性
例6.设f ( x) sin 1 ,讨论x 0处的连续性. x
例2.设f ( x) sgn x ,讨论x 0处的连续性.
解:
f
(
x)
1, 0,
x0 ,
x0
又f (0) 0, lim f ( x) 1,
x0
但 lim f ( x) f (0),
x0
f ( x)在x 0处不连续, x 0为f ( x)的间断点.
x 0为f ( x)的间断点.
又 lim f ( x) lim sin 1 不存在,
x0
x0 x
且当x 0时, sin 1 在 1与1之间振动无限多次, x
这时称x=0为f(x)的振荡间断点.
3.间断点的分类 间断点是根据左右极限是否存在进行分类的! 设x0为f ( x)的间断点, (1)若f ( x0 0)与f ( x0 0)都存在,则称x0为第一类间断点; (2)若f ( x0 0)与f ( x0 0)至少有一个不存在,
x)
g( x0 ), 则
lim [ f ( x) g( x)]
x x0
lim
x x0
f ( x) lim g( x)
x x0
f ( x0 ) g( x0 )
lim [ f ( x) g( x)]
x x0
lim
x x0
f ( x) lim g( x)
x x0
f ( x0 ) g( x0 )
2.初等函数的连续性
(1)基本初等函数在其定义区间内是连续的.
三角函数的连续性:
y
sin
x在(,)内连续
----由连续的定义可证.
y cos x在(,)内连续
y tan x sin x cos x
y cot x cos x
sin x y sec x 1
----由连续性的四则运算可证.
1.7.1 连续函数的定义
函数在区间上的连续性
间断点的定义
1.7.2 函数的间断点及其分类 连续性讨论习例2-6
函 数 的 连 续
间断点的分类 连续函数的运算
1.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性 初等函数的连续性
习例7-12 最值定理
性
有界定理
1.7.4 闭区间上连续函数的性质 零点定理
介值定理
对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定!
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例1.证明y ln x在(0,)上连续.
证明: x0 (0,), 即证 lim ln x ln x0 .
x x0
0, 要使 ln x ln x0 ,
只要 ln x , 即 e x e ,