高三数学同步辅导教材(第12讲)
第12讲简单的逻辑联结词(且或非)讲义-高三艺考数学一轮复习
第12讲：简单的逻辑联结词（且或非）【课型】复习课【教学目标】1.了解逻辑联结词【预习清单】【基础知识梳理】1．常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．23【引导清单】考向一：含有逻辑联结词的命题的真假判断例1：（1）命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．﹁p（2）记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：存在(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：对任意的(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤①p 或q ②﹁p 或q ③p 且﹁q ④﹁p 且﹁q这四个命题中，所有真命题的编号是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【解析】（1）取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．（2）在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p 或q 和p 且﹁q 正确．故选A.考向二：由命题的真假确定参数的取值范围例2：已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围．【解析】若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎨⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎨⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2. 所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．【训练清单】【变式训练1】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号)①p 1且p 4 ②p 1且p 2 ③﹁p 2或p 3 ④﹁p 3或﹁p 4【解析】对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④【变式训练2】已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a 4≤3，即a ≥p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜aa 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．【巩固清单】1．已知命题p ，q ，则“﹁p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的( )条件。
高三数学一轮复习第12讲三角恒等变换及应用教案(2021年整理)
三角恒等变换及应用1t a n t a n α=（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角"，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论;（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端化“异”为“同”；(2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
二．典例分析(2011·广东高考)已知函数f (x )＝2sin 错误!,x ∈R .（1)求f 错误!的值；（2）设α，β∈错误!，f 错误!＝错误!,f （3β＋2π）＝错误!,求cos （α＋β）的值．(1）∵f （x ）＝2sin 错误!，∴f 错误!＝2sin 错误!＝2sin 错误!＝错误!.（2）∵α,β∈错误!，f 错误!＝错误!,f （3β＋2π）＝错误!, ∴2sin α＝错误!,2sin 错误!＝错误!。
即sin α＝错误!,cos β＝错误!. ∴cos α＝错误!,sin β＝错误!。
∴cos（α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×错误!－错误!×错误!＝错误!. 由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β2(),()()ααββααβαβ=+-=++-的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．（1）已知sin α＝35，α∈错误!，则错误!＝________。
(2）（2012·济南模拟）已知α为锐角,cos α＝错误!，则tan 错误!＝( ）A．－3 B．－17C．－43D．－7解析:（1)错误!＝错误!＝cos α－sin α,∵sin α＝35,α∈错误!,∴cos α＝－错误!.∴原式＝－错误!.(2)依题意得，sin α＝错误!，故tan α＝2,tan 2α＝错误!＝－错误!，所以tan错误!＝错误!＝－错误!.答案：(1）－错误!(2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入(2013·德州一模)已知函数f（x)＝2cos2错误!－错误!sin x。
离散数学 第12讲 布尔表达式范例
数
平行地可讨论极大项和主合取范式:
定义8 给定n个布尔变元x1,x2,…,xn, 表达式
~x1 ~x2 ~xn
称为极大项。这里 ~xi 表示xi或 xi 两者之一。
显然,有2n个不同的极大项,
分别记为M0,
M1,
M2
,…,
M
2n
.
1
定义9 具有如下形式
(a0 M 0 ) (a1 M1)
一、布尔表达式
定义3 一个含有n个相异变元的布尔表达式,称为n元 布尔表达式, 记为E
(x1,x2,…,xn)或f (x1,x2,…,xn), 其中x1, x2,…, xn是式中可能 含有的布尔变元。
例2 我设<们{0约, a,定b,运1},算∨“, ∧∨,ˉ,”0,、1>是“布∧尔”代和数“,则ˉ”的优先级依
在实践上,如果能有限次应用布尔代数公式,将一个布尔表达式 化成另一个表达式,就可以判定这两个布尔表达式是等价的。
例4 在布尔代数<{0,1},∨,∧,ˉ>上的两个布尔表达式f1(x1, x2, x3)=(x1∨x2)∧(x1∨x3)和f2(x1, x2, x3)=x1∨(x2∧x3)是等价的。
二、布尔表达式主范式与布尔代 数
二、布尔表达式主范式与布尔代 数
例5 将布尔代数<{0, a, b, 1},∨,∧,ˉ, 0, 1>上的布尔表达式
f (x1, x2 ) (a x1) (x1 x2 ) (b x1 x2 )
化成主析取范式。
f (x1, x2 ) (a x1) (x1 x2 ) (b x1 x2 ) (a x1 x1) (a x1 x2 ) (b x1 x2 ) (a x1) (b x1 x2 ) (a x1 x2 ) (a x1 x2 ) (b x1 x2 ) (x1 x2 ) (a x1 x2 ) m3 (a m1)
2013高中数学精讲精练(新人教A版)第12章 导数及其应用
2013高中数学精讲精练 第十二章 导数及其应用【知识图解】【方法点拨】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。
同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。
1．重视导数的实际背景。
导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。
这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。
2．深刻理解导数概念。
概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。
在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。
3．强化导数在函数问题中的应用意识。
导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。
4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。
在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。
5．加强“导数”的实践应用。
导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。
6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。
定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。
第1课 导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第12讲 函数模型及其应用
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第12讲
函数模型及其应用
点 面 讲 考 向
[归纳总结] (1)指数函数模型常与增长率相结合进行 考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等 增长问题可以利用指数函数模型来表示． (2)应用指数函数模型时，先设定模型，将已知的相关 数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． (3)对于函数 y＝a(1＋x)n 通常利用指数运算与对数函 数的性质进行求解．
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第12讲
双 向 固 基 础
函数模型及其应用
4． 1992 年底世界人口达 54.8 亿， 若人口的年平均增长率 为 x% ， 2014 年底世界人口数为 y(亿)， 那么 y 与 x 的函数关系 式是____________________．
[答案]
y＝54.8(1＋x%)22
[解析] 因为 2014－1992＝22，所以 y＝54.8(1＋x%)22.
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第12讲
函数模型及其应用
点 面 讲 考 向
可见，细胞总数 y 与时间 x(小时)之间的函数关系为 y＝ 3x 100×(2) ，x∈N*. 3x 3x 10 由 100×(2) >10 ，得(2) >108. 3 8 两边取以 10 为底的对数，得 xlg >8，解得 x> . 2 lg 3－lg 2 8 8 因为 ＝ ≈45.45， lg 3－lg 2 0.477－0.301 所以 x>45.45. 故经过 46 小时，细胞总数超过 1010 个．
ax＝300， x＝120， 解得 （a＋1）（x－12）＝300＋78. a＝2.5.
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第12讲
双 向 固 基 础
函数模型及其应用
3．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站 7.2 km，慢 车到终点站需 16 min，快车比慢车晚发车 3 min，且行驶 10 min 后到达终点站，则在慢车出发________min 后两车相遇， 相遇时距终点站________ km. [答案] 8 3.6
第12讲 对数(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第12讲对数知识点一对数的概念与性质1．对数的概念一般地，如果a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和0没有对数；(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；(3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)；(4)log a a N ＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0).4．指数式与对数式的互化(其中a ＞0，且a≠1).知识点二对数的运算性质1．若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么：(1)log a (MN )＝log log a a M N +；(2)log aMN＝log log a a M N -；(3)log a M n ＝log a n M ．2．对数运算中的常见公式及推广知识点二换底公式1．换底公式：log log log c a c NN a=（0,1,0,0,1a a N c c >≠>>≠）.2．换底公式的推论3．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log n mN M =log N M n吗？考点一：指数式与对数式的互化例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)3－2＝19；－2＝16；(3)13log 27＝－3；(4)64＝－6.【解析】(1)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(2)－2＝16，∴log 1416＝－2.(3)∵13log 27＝－3－3＝27.(4)∵64＝－6，∴(x )－6＝64.【总结】变式将下列指数式与对数式互化．(1)log 216＝4；(2)x ＝6；(3)43＝64；(4)3－3＝127.【解析】(1)因为log 216＝4，所以24＝16.(2)因为x ＝6，所以(3)6＝x .(3)因为43＝64，所以log 464＝3.(4)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3.考点二：对数的计算例2求下列各式中的x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ；(4)－ln e 2＝x .【解析】(1)x ＝()2364-＝()2334-＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝()166x＝168＝()1362＝122＝2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)x ＝log 2719.【解析】(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝232-.∴x 23＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.考点三：对数的性质例3求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.【解析】(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.(3)由log 3(log 4(log 5x ))＝0可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，∴x ＝54＝625.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由log 3(log 4(log 5x ))＝1可得，log 4(log 5x )＝3，则log 5x ＝43＝64，所以x ＝564.(2)3log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由3log 3(log 4(log 5x ))＝1可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625.考点四：对数的运算性质例4求下列各式的值．(1)log 2(47×25)；(2)lg5100；(3)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18；(4)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.【解析】(1)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1＝19.(2)lg5100＝lg 10015＝15lg 100＝15×2＝25.(3)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.【总结】变式已知ab ＞0，有下列四个等式：①lg (ab )＝lg a ＋lg b ；②lg ＝lg a －lg b ；③12lg 2＝lg ；④lg (ab )＝1log ab 10，其中正确的是________．【答案】③【解析】①②式成立的前提条件是a ＞0，b ＞0；④式成立的前提条件是ab ≠1.只有③式成立．考点五：对数换底公式的应用例5计算：(1)log 29·log 34；(2)log 52×log 79log 513×log 734.【解析】(1)由换底公式可得，log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝13log 9＝lg 2lg 13×13lg 9lg 4＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32.【总结】变式若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于()A ．9B ．19C ．25D ．125【答案】D【解析】log 513·log 36·log 6x ＝－log 53·log 36·log 6x ＝－log 5x ，则log 5x ＝－2，则x ＝5－2＝125.故选D.考点六：对数的综合应用例6已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以b ＝log 185.所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .【总结】求解与对数有关的各种求值问题的三个注意点(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．变式（1）已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 1845？(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b .（2）已知log 94＝a ，9b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为9b ＝5，所以log 95＝b .所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1.考点七：利用对数运算解决实际问题例6某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.9μ0，则当稳定性系数降为0.5μ0时，该种汽车已使用的年数为________(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】13【解析】由0.9μ0＝μ0e －2λ＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.9，令0.5μ0＝μ0(e －λ)t ，得0.5＝(0.9)t ，两边取常用对数，得lg 0.5＝t 2lg 0.9，故t ＝2lg 0.5lg 0.9＝2lg 2－1lg 910＝－2lg 22lg 3－1＝2lg 21－2lg 3≈13.【总结】变式有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】2026【解析】第n 年(2021为第一年)包装垃圾为3000×1.5n ，令3000×1.5n ＞30000，解得n ＞log 1.510＝1lg 3－lg 2≈10.1761≈5.68.又n 为整数，所以从2026年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有() A．e0＝1与ln1＝0B．log39＝2与912＝3C．138 ＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7【答案】ACD【解析】log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误．A、C、D正确．2．在b＝log a－2(5－a)中，实数a的取值范围是()A．(－∞，2)∪(5，＋∞)B．(2，5)C．(2，3)∪(3，5)D．(3，4)【答案】C【解析】－a＞0，－2＞0，－2≠1，解得2<a<3或3<a<5.3．已知a23＝49(a＞0)，则log23a＝()A．2B．3C．12D．13【答案】B【解析】由a 23＝49，得a323，所以log23a＝log233＝3.4．若log5x＝2，log y8＝3，则x＋y＝________．【答案】27【解析】∵log5x＝2，∴x＝52＝25.∵log y8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27. 5．已知x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．【解析】（方法1）∵23x＝(2log23)3＝33＝27，2－3x＝(2x)－3＝(2log23)－3＝3－3＝127，2x＝2log23＝3，2－x＝12x＝13，∴原式＝27－1273－13＝919.（方法2）∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x2x －2－x ＝（2x ）3－（2x ）－32x －（2x ）－1＝33－3－33－3－1＝27－1273－13＝919.6．求值：lg 4＋lg 25＝()A ．100B ．10C ．2D ．1【答案】C【解析】lg 4＋lg 25＝lg (4·25)＝lg 102＝2lg 10＝2.故选C.7．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于()A ．92B ．9C ．18D ．27【答案】B【解析】∵log 34·log 48·log 8m ＝lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg mlg 3＝2，∴lg m ＝2lg 3，∴m ＝9.8．(多选)设a ＞0且a ≠1，m ，n 是正整数，则()A ．log a (mn )＝log a m ＋log a n B ．log＝log amlog a n C ．log a n m ＝n log a m D ．log a m n ＝n log a m 【答案】AD【解析】由对数的运算性质可得log a (mn )＝log a m ＋log a n ，故A 正确；log＝log a m －log a n ，故B 错误；log a n m ＝1nlog a m ，故C 错误；log a m n ＝n log a m ，故D 正确．故选A 、D9．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________．【答案】2【解析】由a 2＝1681(a ＞0)得a ＝49，所以234log 9＝2232log 3⎛⎫⎪⎝⎭＝2.10．已知a,b 是方程log 3x 3＋log 273x ＝－43的两个根，试给出关于a,b 的一个结论________．【答案】a ＋b ＝1081(答案不唯一)【解析】根据换底公式有log 33log 33x ＋log 33x log 327＝－43，即11＋log 3x ＋1＋log 3x 3＝－43.令1＋log 3x ＝t ，则1t ＋t 3＝－43，解得t ＝－1或t ＝－3.所以1＋log 3x ＝－1或1＋log 3x ＝－3，解得x ＝19或x ＝181.故a ＋b ＝1081.1．若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x ＝()A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C ．ab 2c 3D ．2ab 3c【答案】C【解析】∵lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c 3.故选C.2．方程9x －6·3x －7＝0，则x ＝()A ．log 37B ．log 73C ．7D ．－1【答案】A【解析】设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，即3x ＝7.∴x ＝log 37.3．若log x 7y ＝z ，则()A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x【答案】B【解析】由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z .4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是()A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1【答案】A【解析】∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5．方程lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)的根为()A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3【答案】B【解析】由lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1不合题意，所以原方程的根为x ＝3.6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N 约为1050.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)()A ．1093B ．10113C ．10123D ．10133【答案】C【解析】因为M ≈3361，N ≈1050，所以lg M ≈361×lg 3，lg N ≈50，lgM N ＝lg M －lg N ≈361×0.48－50≈123，所以MN≈10123.故选C.7．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()A ．54＝625与log 4625＝5B ．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2C －4＝16与log －416＝12D ．912＝3与log 93＝12【答案】BD【解析】对于A ，54＝625可化为log 5625＝4，故不正确；对于B ，10－2＝0.01可化为lg 0.01＝－2，故正确；对于C －4＝16可化为log 1216＝－4，故不正确；对于D ，912＝3可化为log 93＝12，故正确．故选B 、D.8．(多选)下列运算正确的是()A ．2log 1510＋log 150.25＝2B ．log 427·log 258·log 95＝98C ．lg 2＋lg 50＝2D ．((2log2-－(log 22)2＝－54【答案】BCD【解析】对于A ，2log 1510＋log 150.25＝log 15102＋log 150.25＝log 1525＝－2，故A 错误；对于B ，log 427·log 258·log 95＝32log 23·32log 52·12log 35＝98·lg 3lg 2·lg 2lg 5·lg 5lg 3＝98，故B 正确；对于C ，lg 2＋lg 50＝lg (2×50)＝2，故C 正确；对于D ，((2log 2－(log 22)2＝(2log 2＝－1－14＝－54，故D 正确．故选B 、C 、D.9．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________．【答案】43【解析】∵a ＝lg2，∴10a ＝2.∵b ＝lg3，∴10b ＝3，∴2100ba -＝（10a ）210b＝43.10．若log m 2＝a ，log m 3＝b ，则2a b m+的值为________．【答案】18【解析】因为log m 2＝a ，log m 3＝b ，所以m a ＝2，m b ＝3，即2a bm +＝m a ×(m b )2＝2×32＝18.11．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．【解析】∵log 12x ＝mm＝x ，x 22m.∵log 14y ＝m ＋2m ＋2＝y ，y2m ＋4.∴x 2ym ＋42m －（2m ＋4）－4＝16.12．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝4＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6【答案】C【解析】因为L ＝4＋lg V ，即V ＝10L －4，所以当L ＝3.9时，V ＝10－0.1＝1100.1≈0.8.故选C.13．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为()A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1，∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.故选A.14．利用对数恒等式a log a N ＝N(a ＞0，且a ≠1，N ＞0).计算：－1＋log 0.54＝________；(2)23＋log 23＋32－log 39＝________．【答案】(1)8(2)25【解析】(1)0.51log 412-+⎛⎫⎪⎝⎭＝112-⎛⎫ ⎪⎝⎭·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.(2)23log 32+＋32log 93-＝23×2log 32＋32log 933＝8×3＋99＝25.15．已知log 23＝a ，则4a ＋4－a 的值为________．【答案】829【解析】因为log 23＝a ，所以4a ＋4－a ＝2log 34＋2log 34-＝()2log 322＋()2log 322-＝()22log 32＋()log 3222-＝32＋3－2＝829.16．求x 的值．(1)()()2221log 321x x x -+-＝1；(2))1log＝x .【解析】(1)由()()2221log321xx x -+-＝1x 2＋2x －1＝2x 2－1，x 2＋2x －1＞0，x 2－1＞0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)x ＝)1log)1log))1log1-＝1.17．设实数a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2，log ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求实数a ，b ，c 的值．【解析】由log ＝1得1＋b ＋ca＝4，即b ＋c ＝3a ，由log 8(a ＋b －c )＝23得a ＋b －c ＝823＝4，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝6，b ＝8，c ＝10.18．已知log a b ＝log b a (a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)，试探究a 与b 的关系，并给出证明．【解析】a ＝b 或a ＝1b .证明如下：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，所以b ＝(b k )k ＝bk 2，因为b ＞0，且b ≠1，所以k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b .所以a ＝b 或a ＝1b.。
高中数学竞赛标准讲义：第12章：立体几何
高中数学竞赛标准讲义：第12章：立体几何2021高中数学竞赛标准讲义：第十二章：立体几何一、基础知识公理1 一条直线。
上如果有两个不同的点在平面。
内．则这条直线在这个平面内，记作：a?a．公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。
即不共线的三点确定一个平面．推论l 直线与直线外一点确定一个平面．推论2 两条相交直线确定一个平面．推论3 两条平行直线确定一个平面．公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4 (三垂线定理)若d为平面。
注电考试最新版教材-第12讲 数学：积分学(一)
第三节 积分学一、不定积分与定积分（一）不定积分、定积分的概念与性质1 ．不定积分的概念与性质若在区间 I 上，F '（x ）= f （x ）或 dF （x ）= f （x ）dx ，则称函数 F （x ）为 f （x ）在区间 I 上的一个原函数。
如果函数 f （x ）在区间 I 上连续，则其原函数 F ( x)必存在。
如果 F （x ）是 f （x ）在区间 I 上的原函数，则 F （x ）十 C 均是 f （x ）在区间 I 上的原函数（其中 C 为任意常数）。
f （x ）的任意两个原函数只相差一个常数。
在区间 I 上，函数 f （x ）的带有任意常数项的原函数称为 f （x ）在区间 I 上的不定积分，记作⎰f (x)dx .不定积分具有如下性质：2 ．定积分的概念与性质设函数 f ( x ）在[ a ，b]上有界，将[ a , b ]任意划分成，n 个小区间总存在（即极限不依赖于对[a,b]的分法与i ξ的取法），则称函数 f ( x ）在［ a ，b ］上可积，并称上述极限为，f （x ）在[a,b]上的定积分，记作()ab f x dx ⎰,即在［a ，b ］f （x ）≥0时，定积分()a b f x dx 在几何上表示由曲线y=f （x ）、两条直线 x = a 、 x = b 与二轴所围成的曲边梯形的面积。
对定积分还有两点补充规定：定积分具有如下性质：（二）积分法1 ．基本积分表2 ．换元积分法对不定积分，有第一类换元法：第二类换元法：其中1()x ψ-是()x t ψ=的反函数，且'()0t ψ≠。
对定积分，有。
(三轮冲刺)2013年高考数学复习 点睛专题(考向聚焦+解题反思) 第12讲 空间图形的位置关系与空间角的求法
解析:对各个命题分别进行判断, 易知①②为假命题, ③④ 为真命题, 故选 B.
考向二: 空间位置关系的证明
【 例 2】 ( 2011 年 安 徽皖 南 八 校 联 考 )如 图 ,在四 棱 锥 P AB C D 中, ∠AB C =∠AC D =90°∠B AC =∠C AD =60°P A⊥平 , , 面 AB C D , 为 P D 的中点, A=2AB . E P
判断这类有关空间位置关系的命题真 假时, 一方面是熟练掌握相关的判定定理和性质定理, 另一 方面还要善于利用常见的几何模型对一个命题的真假作 出判断, 同时牢记一些典型的错误说法, 以帮助解题.
举一反三 1 1: (2011 年山东济南 2 月调研) lm , 设 , n为三条不同的 直线, β为两个不同的平面, α, 下列命题中正确的个数是( ①若 l ⊥α, ∥β, m α⊥β, l 则 ⊥m ②若 m ⊂ α, α,⊥m ,⊥n, l n⊂ l l 则 ⊥α ③若 l , ∥n,⊥α, n⊥α ∥m m l 则 ④若 l , ⊥α, ∥m m n⊥α, l 则 ∥n ( 1 A) ( 2 B) ( 3 C) ( 4 D) )
(2) 法一: AD 的中点 M , 取 连接 E M , M . C 则 E M ∥PA. ∵ M ⊄平面 P AB , E P A⊂ 平面 P AB , ∴ M ∥平面 P AB . E 在 Rt△AC D 中, AD =60° ∠C , AC60°∴ C ∥AB . ,M ∵ C ⊄平面 P AB , ⊂ 平面 P AB , M C ∥平面 P AB. M AB ∴ ∵ M ∩M C =M , E ∴ 平面 E M C ∥平面 P AB. ∵ C ⊂ 平面 E M C , E C ∥平面 P AB. E ∴
高中数学十二节课系列教案
高中数学十二节课系列教案课时安排：第一节课：整式的加减法第二节课：整式的乘法第三节课：整式的除法第四节课：一元二次方程的求解第五节课：二次函数的性质及图像第六节课：直线方程的求解第七节课：几何证明方法第八节课：几何作图方法第九节课：三角函数的概念及性质第十节课：平面向量的基本概念第十一节课：概率问题的求解第十二节课：数列与数列的求和第一节课整式的加减法教学内容：整式的加减法教学目标：掌握整式的加减法的基本运算方法教学重点：整式的加减法的概念和运算方法教学难点：整式的加减法的应用教学过程：1.复习整式的基本概念和运算规则；2.讲解整式的加减法的定义和运算步骤；3.练习整式的加减法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。
第二节课整式的乘法教学内容：整式的乘法教学目标：掌握整式的乘法的基本运算方法教学重点：整式的乘法的概念和运算规则教学难点：整式的乘法的运算步骤教学过程：1.复习整式的加减法，引出整式的乘法；2.讲解整式的乘法的定义和运算步骤；3.练习整式的乘法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。
第三节课整式的除法教学内容：整式的除法教学目标：掌握整式的除法的基本运算方法教学重点：整式的除法的概念和运算规则教学难点：整式的除法的应用教学过程：1.复习整式的加减法和乘法，引出整式的除法；2.讲解整式的除法的定义和运算步骤；3.练习整式的除法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。
第四节课一元二次方程的求解教学内容：一元二次方程的求解教学目标：掌握一元二次方程的求解方法教学重点：一元二次方程的定义和解法教学难点：一元二次方程的应用教学过程：1.复习一元一次方程的求解方法；2.讲解一元二次方程的定义和解法；3.练习一元二次方程的求解题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。
第五节课二次函数的性质及图像教学内容：二次函数的性质及图像教学目标：掌握二次函数的性质和图像的特点教学重点：二次函数的定义和性质教学难点：二次函数的图像绘制教学过程：1.复习函数的基本概念和性质；2.讲解二次函数的定义和性质；3.绘制二次函数的图像，掌握绘制方法；4.课堂小结，布置作业。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 定积分与微积分基本定理
第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。
2019高三数学文二轮复习查漏补缺课时练习(十二)第12讲函数模型及其应用含答案解析
课时作业(十二)第12讲函数模型及其应用时间/45分钟分值/100分基础热身1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是()A.y=1000×2xB.y=1000log2xC.y=x1000D.y=1000×(32) x2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.8米B.6米C.4米D.3米3.在某个物理实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据如下表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=log2xD.y=2x-24.某市出租车的车费计算方法如下:路程在3 km以内(含3 km)为8元,达到3 km后,每增加1 km加收1.4元,达到8 km后,每增加1 km加收2.1元,增加不足1 km按四舍五入计算.若某乘客乘坐该市出租车交了44.4元车费,则该乘客乘坐出租车行驶的路程可以是()A.22 kmB.24 kmC.26 kmD.28 km5.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.9]=3,[3.01]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.能力提升6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不超过3%).现抽样取米一把,取得235粒米中夹秕n粒,若这批米合格,则n不超过()A.6B.7C.8D.97.我国某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图K12-1所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()ABCD图K12-18.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足函数关系式y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,所有生产出来的产品都能卖完,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台9.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t(t>0)万元.公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x ∈N*)人去从事产品B的生产,分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.1810.国家对某行业征税的规定如下:年收入在280万元及以下部分的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税.有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元图K12-211.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图K12-2),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为.12.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n(n∈N*)年的累计n(n+1)(2n+1),当年产量超过150吨时,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产量(单位:吨)为f(n)=12产线拟定最长的生产期限是年.13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是h.14.(10分)某地上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55~0.75元/千瓦时,经测算,若电价调至x元/千瓦时,本年度新增用电量为y亿千瓦时,则y与(x-0.4)成反比例.又当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?(收益=用电量×(实际电价-成本价))15.(10分)一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到森林剩余面积为原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的√22.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?难点突破16.(15分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得投资收益(单位:万元)的范围是[10,100].现准备制定一个对科研课题组的奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过5万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)该公司为制定奖励方案,现建立函数模型y=f(x),请你根据题意,写出函数模型应满足的条件.(2)现有两个函数模型:①y=120x+1;②y=log2x-2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求.课时作业(十二)1.A[解析]在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增大速度最快,故排除B,C;指数函数中,底数越大,函数的增大速度越快,故选A.2.D[解析]设隔墙的长度为x(0<x<6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×24−4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.故选D.3.C[解析]将x=0.50,y=-0.99代入计算,可以排除A;将x=2.01,y=0.98代入计算,可以排除B,D;将各组数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选C.4.A[解析]设该乘客乘坐出租车行驶的路程为x km.根据题意可得8+1.4×5+2.1×(x-8)=44.4,解得x=22.故选A.5.4.24[解析]因为m=6.5,所以[m]=6,则f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.6.B[解析]由题意得,n235≤3%,解得n≤7.05,所以若这批米合格,则n不超过7.7.B [解析] 单位时间的运输量逐步提高时,运输总量的增长速度越来越快,即图像在某点的切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,故函数图像应一直是下凹的.故选B .8.C [解析] 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3000≥0,得x ≥150,所以生产者不亏本时的最低产量为150台.故选C .9.B [解析] 由题意,分流前产品A 的年产值为100t 万元,分流x 人后,产品A 的年产值为(100-x )(1+1.2x %)t 万元,则由{0<x <100,x ∈N *,(100-x)(1+1.2x%)t ≥100t,解得0<x ≤503,且x ∈N *,所以x 的最大值为16.故选B .10.D [解析] 设该公司的年收入为x 万元,纳税额为y 万元,则由题意得y={x ·p%,x ≤280,280·p%+(x -280)·(p +2)%,x >280,依题有280·p%+(x -280)·(p+2)%x=(p+0.25)%,解得x=320.故选D .11.180 [解析] 依题意知20−x 20=y -824−8,即x=54(24-y ),所以阴影部分的面积S=xy=54(24-y )·y=54(-y 2+24y )=-54(y-12)2+180,0<y<24,所以当y=12时,S 取得最大值180.12.7 [解析] 设第n (n ∈N *)年的年产量(单位:吨)为a n ,则a 1=12×1×2×3=3.当n ≥2时,a n =f (n )-f (n-1)=12n (n+1)(2n+1)-12n (n-1)(2n-1)=3n 2,又a 1=3也符合a n =3n 2,所以a n =3n 2(n ∈N *).令a n ≤150,即3n 2≤150,解得-5√2≤n ≤5√2,所以1≤n ≤7,n ∈N *,故最长的生产期限为7年. 13.24 [解析] 由已知条件,得192=e b,且48=e22k+b=e b ·(e 11k )2,所以e11k=(48192)12=(14)12=12,设该食品在33 ℃的保鲜时间是t h ,则t=e 33k+b =192e 33k =192·(e 11k )3=192×(12)3=24. 14.解:(1)因为y 与(x-0.4)成反比例,所以设y=kx -0.4(k ≠0,0.55≤x ≤0.75). 把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=k0.65−0.4,得k=0.2.所以y=0.2x -0.4=15x -2, 即y 与x 之间的函数关系式为y=15x -2(0.55≤x ≤0.75). (2)根据题意,得(1+15x -2)·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%), 整理得x 2-1.1x+0.3=0,解得x=0.5或x=0.6. 经检验0.5,0.6都是所列方程的根. 因为0.55≤x ≤0.75,所以x=0.5不符合题意,应舍去,所以x=0.6.所以当电价调至每千瓦时0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%. 15.解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x<1), 则a (1-x )10=12a ,即(1-x )10=12, 解得x=1-(12)110.故每年砍伐面积的百分比为1-(12)110.(2)设经过m年剩余面积为原来的√22,则a(1-x)m=√22a,即(12)m10=(12)12,即m10=12,解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,则n年后剩余面积为√22a(1-x)n.令√22a(1-x)n≥14a,即(1-x)n≥√24,即(12)n10≥(12)32,即n10≤32,解得n≤15,故今后最多还能砍伐15年.16.解:(1)由题知,函数模型y=f(x)满足的条件是:(i)当x∈[10,100]时,f(x)是增函数;(ii)当x∈[10,100]时,f(x)≤5恒成立;(iii)当x∈[10,100]时,f(x)≤x5恒成立.(2)对于函数模型①y=120x+1,它在[10,100]上是增函数,满足条件(i);但当x=80时,y=5,因此,当x>80时,y>5,不满足条件(ii).故该函数模型不符合公司要求.对于函数模型②y=log2x-2,它在[10,100]上是增函数,满足条件(i);当x=100时,y max=log2100-2=2log25<5,即f(x)≤5恒成立,满足条件(ii);设h(x)=log2x-2-15x,则h'(x)=log2ex-15,因为x∈[10,100],所以1100≤1x≤110,所以h'(x)≤log2e10-15<210-15=0,所以h(x)在[10,100]上是减函数,因此,h(x)≤h(10)=log210-4<0,即f(x)≤x5恒成立,满足条件(iii).所以该函数模型符合公司要求.综上,对数函数模型y=log2x-2符合公司要求.。
高三数学 数列综合问题教案同步教案
城东蜊市阳光实验学校高三总复习辅导材料〔第12讲〕一、教学进度高考总复习之八------数列综合问题数列的求和问题，数列的综合问题。
二、学习指导无论是给了递推公式，还是给了前n 项的和与通项之间的关系式。
都不能直接知晓它与我们所熟悉的等差数列或者者等比数列的哪一种有关，以及是怎样一种关系。
这就需要我们仔细观察题设条件及结论的特点，适当进展变化，间接地与等差，等比数列挂上钩，这之中不乏探究的过程，也就是说，这种变化并无明确的法那么，只能是根据经历和题目特点进展尝试，这也就是难点之所在。
三、典型例题讲评例1．数列｛an ｝的前n 项和为Sn ，且满足对一切正整数n ，有Sn=23(an －1)，在数列｛bn ｝中，bn=4n+3。
〔1〕求数列｛an ｝的通项公式〔2〕把两个数列的公一一共项按它们的原先的顺序排成新数列｛Cn ｝，求它的通项公式。
用Sn －Sn —1即可求出an ，但此式成立的前提是n≥2，在此外得到an=3an —1后不能立即得出｛an ｝成等比的结论，一定要先验证a1≠0，切记！在第〔2〕小题中，如何求出“公一一共项〞是关键，首先应注意，“公一一共项〞是指在｛an ｝和｛bn ｝中都出现了的项，但相应项数未必一样，不能出现“令an=bn 〞这样的式子，而只能令an=bm ，得出n 与m 间关系，在此题中，我们不难求出an=3n ，令3n=4m+3，n 与m 的关系怎样求？如写为n=log3(4m+3)或者者m=433 n ，前者来的必是整数，后者亦来必是整娄，只有当n 为奇数〔记n=2k －1〕时才是整数，〔可用二项式定理说明〕了即便这样因b1=7，故｛a2｝中奇数项并不能从1开始，而只能从3开始，这都是解题时必须加以注意的。
例2．在△ABC 中，三边长的平方a2、b2、c2成等差数列。
〔1〕求证：cotA 、cotB 、cotC 成等差数列； 〔2〕求证：c b +1、a c +1、ba +1成等差数列。
高中数学高一数学第三章(第12课时)分期付款中的有关计算1教案
课题：分期付款中的有关计算（一）教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎接知识经济的挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创性工作研究性学习注重的是让学生学会学习和研究，关注的是研究过程，其核心是创新意识的培养本研究性课题,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果.问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.教学过程：一、引入：1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？2．基本公式：1.等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=， 2)1(1d n n na S n -+= 2．等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =特殊数列求和－－常用数列的前n 项和：2)1(321+=++++n n n 2)12(531n n =-++++6)12)(1(3212222++=++++n n n n 23333]2)1([321+=++++n n n 3．求和的常用方法：特殊数列求和公式法、拆项法、裂项法、错位法 二、问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款； ⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款； ⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款你能帮他们参谋选择一下吗？”三解决问题的过程：1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ ——设为x2．搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a 元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.012a(元)3．独立探究方案1可将问题进一步分解为：1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？4．提出解答,并给答辩：由商品价格=付款额，得10000×(1+1%)12=x+(1+1%)2x+(1+1%)4x+(1+1%)6x+(1+1%)8x+(1+1%)10x ， 解得101.1)101.1(01.11000012212--⨯⨯=x ＝1785.86 5．创建数学模型：比较方案1结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a 元的商品,分n 次经过m个月还清贷款,每月还款x 元,月利率为p,则1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=m n m mp p p a x 6．验证并使用模型：方案2中，101.1)101.1(01.1100001212--⨯⨯=x ＝888.49 方案3中，101.1)101.1(01.11000012412--⨯⨯=x ＝3607.627．结论分析：方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元；方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元；方案3中，x=3607.62元，付款总额3x=10822.85元《考试说明》明确指出：“能阅读、理解、对问题进行陈述的材料,能综合运用所学的数学知识、思想和方法、解决问题包括解决带有实际意义的或相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述”本节课以经常碰到的银行储蓄和分期付款为背景，复习了等比数列的应用，体现了数学的实际应用价值，尤其是从实际出发来表述问题，课堂气氛异常热烈，更加接近了数学与生活的距离，增加了学生的兴趣，提高了数学的育人功效四、小结1.分期付款中的计算涉及的数学知识:等比数列前n项和公式；数学思想：列方程解未知数2.“方案2、3→模型→方案3”是由特殊到一般,再由一般到特殊的研究方法;研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩→创建数学模型→验证并使用模型→结论分析3.问题来源于现实,问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质;而探究问题时往往不会一帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.4.促进学生知识迁移——分期贷款及以复利增长型问题可类似解决五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：。
必修一数学培优辅导教材第12讲：对数与对数运算
对数与对数函数（一）对数的定义与对数运算例1：⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①45625=；②61264-=；③1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭；④12log 164=-；⑤lg0.012=-；⑥ln10 2.303=.⑵求下列各式中x 的值：①642log 3x =-；②log 86x =；③lg100x =；④2ln e x -=.练1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.练2：将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）2log 1287=；（3）lg0.012=-； （4）ln10 2.303=练3：已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 12例2：计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）练1：⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345练2：）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2练3：25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a例3：化简3log 1+的结果是（ ）.A.12练1：计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ . 练2：计算：()2151515log 5log 45log 3⋅+练3：化简与求值：（1）21lg2lg5(lg 2++（2）2log .例4：若2510a b ==，则11a b+= . 练1：化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）. A .1 B. 32C. 2D.3练2：计算：① 53log 12.0- ②4912log 3log 2log ⋅-练3：求下列各值：⑴221log 36log 32-；⑵3log lg1；⑷3log 53；⑸3log 59；⑹3log 3；⑺22(lg5)lg 2lg 25(lg 2)+⋅+；⑼827log 9log 32⋅.练4：求值： ⑴2572lg3lg7lg lg 94++-；⑵32516log 4log 9log 5⋅⋅.练5：（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.练6：（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.考点：对数运算法则的应用例1：若a 、0b >，且a 、1b ≠，log log a b b a =，则A.a b =B.1a b=C.a b =或1a b=D.a 、b 为一切非1的正数练1：求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a MM N N-=.练2：试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.练3：下列各式中，正确的是 （ ）A.2lg 2lg x x =B.1log log a a x n =C.log log log a a a x xy y=1log 2a x =练4：已知λ====n a a a b b b n log log log 2121 求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n例2：已知32a =，用 a 表示33log 4log 6-练1：若32a =，则33log 82log 6-＝ .练2：已知3log 2a =，35b =用a b ，表示3log练3：已知(0,0,1)ab m a b m =>>≠且log m b x =，则log m a 等于 A.1x - B.1x + C.1xD.1x -例3：已知lg5m =，lg3n =，用,m n 表示30log 8.练1：（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值； （2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.练2：已知2log 3a =，37b =，求12log 56练3：8log 3p =，3log 5q =，那么lg5等于 （用p ，q 表示）； 练4：知18log 9a =，185b =，用,a b 表示36log 45.练5：设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小.考点：对数方程例1：求底数：（1）533log -=x , （2）872log =x练1：已知2(3)log (3)1x x x ++=，求实数x 的值.练2：已知log log a a x c b =+，求x练3： 证明：b xxa ab a log 1log log +=练4：求x 的值：①43log 3-=x②35log 2-=x③()()1123log 2122=-+-x x x④()[]0log log log 432=x例2：解方程24lg lg 3x x +=练1：（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x= ；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 . 练2：解方程()()1212log 21log 222x x --+--=-练3：解方程)12(log 2)22(log 212+=++xx练4：已知12()x f x a -=，且(lg )f a =a 的值.练5：解方程2lg lg 1020x xx +=练6：设a 为实常数，解关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-.练7：设正数a ，b ，c 满足222c b a =+.（1）求证：1)1(log )1(log 22=-++++b ca a cb ； （2）又设1)1(log 4=++ac b ，32)(log 8=-+c b a ，求a ，b ，c 的值.。
高三数学优秀教材推荐
高三数学优秀教材推荐在高三阶段，数学是许多学生感到困惑的学科之一。
因此，选择一本优秀的数学教材对高三学生来说是非常重要的。
本文将向大家推荐一些高质量的高三数学教材，希望能够帮助同学们更好地学习数学知识。
一、《高中数学必修Ⅰ》《高中数学必修Ⅰ》是由人民教育出版社出版的一本权威教材。
它详细介绍了高中数学的基础知识和方法，内容涵盖了数与代数、函数与方程、几何与向量等多个方面。
这本教材通俗易懂，注重培养学生的逻辑思维和数学推理能力，是理解数学概念和方法的优秀教材。
二、《高中数学必修Ⅱ》《高中数学必修Ⅱ》也是人民教育出版社出版的一本经典教材。
它承接了《高中数学必修Ⅰ》的内容，进一步拓展了数学的知识面。
该教材涵盖了解析几何、数列与数学归纳法、概率与统计等内容，并提供了大量的例题和习题，帮助学生巩固所学知识，并能够灵活运用到解决实际问题中去。
三、《高中数学同步辅导教材》《高中数学同步辅导教材》是一套由北京师范大学出版社推出的辅导教材，为高三学生准备高考提供了全面的指导。
该教材根据高考数学考点精心编排，通过多种题型的训练，帮助学生快速掌握考点，并提供了详细的解题步骤和解析，使学生能够更好地理解和运用相关的数学知识。
四、《高中数学竞赛教程》《高中数学竞赛教程》是一本由清华大学出版社出版的教材，适合对数学有较高兴趣和较强学习能力的高三学生。
该教材内容丰富，包括数学奥赛中的各个知识点和题型，通过解析各种数学竞赛题目，培养学生的数学思维和解题能力。
同时，该教材还提供了大量的经典题目和解法，帮助学生拓宽思路，掌握更高层次的数学知识。
五、《高考数学一轮复习教材》《高考数学一轮复习教材》是一本由人民教育出版社出版的备考教材，适合高三学生进行全面的复习。
该教材按照高考数学大纲的要求，对考点进行重点强调，同时提供了大量的练习题和真题模拟试卷，帮助学生熟悉考试形式和题型，达到快速掌握知识和应试能力的目标。
以上是我向大家推荐的一些优秀的高三数学教材。
高思数学全套讲解高三
高思数学全套讲解高三
《高思数学全套讲解高三》是一本专门为高三学生设计的数学课程教材，旨在帮助高三学生深入理解数学。
本书共分为10章，涵盖了高三数学所有的基础知识。
第一章讲解了数学的概念，第二章讲解了数的基本概念，第三章介绍了函数的概念，第四章介绍了解析几何的概念，第五章介绍了平面图形的基本概念，第六章介绍了立体几何的概念，第七章介绍了微积分的概念，第八章介绍了概率的基本概念，第九章介绍了线性代数的概念，第十章介绍了最优解决方案的基本原理。
本书针对每一个章节的内容，都进行了详细的讲解，重点分析了数学概念的基本原理和应用技巧，并配以大量的例题，以及与实际生活的链接，从而使读者能够系统地掌握数学概念，更好地应用在实践中。
本书还提供了基础复习的资料，专门帮助高三学生解决数学课程的基础问题，帮助他们全面掌握数学概念，针对复习困难的部分，也提供了相关的解决方案，给学生提供指示意见，以帮助学生顺利取得数学成绩。
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实验数学教材高三数学第12课时 商不变的规律
第二单元两、三位数除以两位数第12课时商不变的规律教学内容：教学第23页例7和“练一练”，练习五第1-5题。
教学目标：1、理解和掌握商不变的规律，并能运用这一规律口算有关除法，培养学生的观察、概括以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
2、学生在参与观察、比较、概括、验证等学习过程中，体验成功，收获学习的快乐。
教学重难点：重点：理解归纳出商不变的规律。
难点：会初步运用商不变的规律进行一些简便计算。
课前准备：课件。
教学过程：一、创设情境，激发兴趣导入同学们想玩游戏吗？今天我们就一起玩一个自编除法的游戏。
老师这有三个数字——8、2、0、，每个数字在一道算式中可以出现一次、两次或多次，也可以一次也不出现，但是要求每一道算式中的商必须等于4，限时一分钟，看谁写得多！预测：8÷2=4 80÷20=4 800÷200=4 8000÷2000=4•88÷22=4 888÷222=4 8888÷2222=4 88888÷22222=4•生活常识详细问题了解下！880÷220=4 8800 ÷2200=4 88000÷22000=4 •发现：我们无论编出多少道不同的算式，什么是不变的？（板书：商不变）商不变，是什么在变呢？（板书：被除数和除数）探究：被除数和除数究竟有怎样的变化，商却不变呢？这节课我们一起来研究商不变的规律（板书课题）二、合作学习、探究规律探究：请观察我们自己编的一组算式，看看被除数和除数究竟是怎样变化的而商却不变？要求：可以自己研究，也可以小组内共同探究。
交流：说出自己的发现。
预测1：学生对于“同时”、“相同”的用词不一定能用的准，理解不一定能非常透彻。
解决：让学生在自己充分理解、叙述的基础上提炼出“同时”、“相同”一词。
预测2:对于“零除外”，有些同学可能会想到这一情况，但对于其原因不是很清楚。
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进入虚拟课堂高三数学总复习教程（第12讲）一、本讲内容三角函数的概念、图象、性质一、本讲进度，角的定义，弧度制，终边相同的角，象限角，三角函数的定义，各象限三角函数的符号，同角三角函数间关系，诱导公式，三角函数线，三角函数的图象和性质。
二、学习指导用平面内射线端点旋转的观点定义角，由于运动中存在“向什么方向转”和“转多少”的问题，从而把角的范围扩大到了整个实数集。
用弧长与半径的比值来度量角，单位是统一的——弧度、而无须象角度制那样用分级单位：度、分、秒……，比较先进在数学研究中统统采用它。
把角置于直角坐标系中，同角的终边上非顶点的一点的坐标（x ，y ）及它列顶点的距离r 来定义三角函数，克服了初中时定义的局限性，适应了角的概念的推广，由此定义就可确定各象限角三角函数的符号和同角三角函数间的关系（按记忆法则牢记）以及诱导公式的推导。
根据三角函数的图象记忆三角函数的性质——定义域、值域、对称轴方程，对称中心，奇偶性，单调性，周期性，不仅行之有效，而且有列于对数形结合能力的培养。
三角函数线是作三角函数图象的基础，特别二、三、四象限角的三角函数线是难点之一，应予重视。
三、典型例题讲评 例1．（1）周长为定值m 的扇形的最大面积是多少？此时扇形的中心角是多少？（2）一扇形周长为m ，面积为S ，这样的扇形是确定的吗？满足怎样的条件，扇形是确定的？此时中心角是多少？内切圆半径是多少？第（1）小题中可设扇形半径为r ，则弧长为m －2r ，则其面积S=21r(m －2r)的最大值，只要利用二次函数或基本不等式即可求出：第（2）小题是“开放性问题”，由（1）知，S=r(2m－r)是关于r 的二次方程，如果有实根，两根均正，故可用判解式解决它。
例2．α是第三象限角，是否存在实数m ，使关于x 的方程8x 2+6mx+2m+1=0的两根恰当sin α和cos α？若存在求出相应的m ，若不存在，说明理由。
α为第三象限角，故sin α，cos α∈(－1，0)如果这样的m 存在，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<-=+0812cos sin 043cos sin m m αααα故m ＞0，由两式消α，9m 2－8m －20=0，m=2（－920舍去）若此时不仅使αsin +cos α∈(]2,1--，αsin cos α∈⎥⎦⎤⎝⎛21,0，还使与方程判别式≥0，则此m 即为所求，但本领中m=2，－43m=－23＜－2，故不存在.例3．设sin α+cos α=k ，若sin 3α+cos 3α＜0成立，求k 的取值范围.用k 来表示sin 3α+cos 3α：k(1－212-k )＜0成立，亦即k(k 2－3)＞0，同时注意到k=2sin(α+4π)的取值范围即可求了k 的范围.例4．设函数f (x )满足2f (－sin x )+3f (sin x )= 4sin x cos x （x ∈[－2π，2π]） （1）判断f(x)的奇偶性。
（2）求出f(x)的解析式 由2f(－sin x )+3f(ε·x)= 4ε·xcosx ，以－x 代x ，有2f(sinx)+3f(－sinx)=－4sinxcosx 两式相加，5(f(－sinx)+f(sinx))=0，知f(x)为奇函数于是原式即f(sinx)= 4sinxcosx ，∵x ∈[－2π，2π] ∴cosx=x 2sin 1-，∴f(x)=4x 21x - x ∈[－1，1]例5．已知函数f(x)=Asin ωx+Bcos ωx （ω＞0）的最小正周期为2，当x=31时，f(x)取得最大值2. （1）求f(x)的表达式； （2）在[421，423]上是否有x 0，使x=x 0是f(x)的对称轴？ 如果存在，求对称轴方程，如不存在，说明理由。
f(x)=22B A +sin(ωx+ϕ)，其中tan ϕ=AB ，由T=ωπ2=2，知ω=a ，故3π+ϕ=2k π+2π，tan ϕ=31与22B A +=2联立，可解得A 、B. 第（2）小题只须写出对称轴的一般方程，看有无合适的k 即可。
例6．讨论函数f(x)=cos 2(x －α)－2 cos(x －α)cosxcos α+cos 2α的奇偶性，周期性，单调性，值域。
本题中把f(x)化简是关键，配方后，利用两角差的余弦公式，做三角题，相关公式要熟记，才能“见景生情”、“浮想联翩”例7．已知函数f(x)=a+bcosx+csinx 的图象过A （0，1）和B （2π，1）两点，当x ∈ [0，2π]时，恒有)(x f ≤2，求实数a 的取值范围。
当a 上述范围内的最大整数值时，若存在实数m 、n 、ϕ，使mf(x)+nf(x －ϕ)=1，求m 、n 、ϕ的值f(x)图象过A 、B 可求得b 与a 、c 与a 的关系。
恒有)(x f ≤2，即最大值≤2，最小值大于等于－2，可以讨论a 与1的大小关系加以解决，也可换无后无作直线段，加以解决（见附录）后半题一下涌出3个未知数的m 、n 、ϕ，似使人无所适从，因是寻找m 、n 、ϕ，使式子恒成立，故可取n 个特殊值，解出m 、n 、ϕ后再以验证。
四、巩固练习1．已知函数f(x)=1―2a ―2acosx ―2sin 2x 的最小值为f(a). （1）用a 表示f(a) （2）求使f(a)=21的a 的值，并对此a 求f(x) 最大值. 2．已知函数f(x)=2asin 2x －22sinx+a+b 的定义域为[0，2π]值域为[－5，1]求a 、b 的值. 3．把函数y=sin(87π－x)cos(x+8π)的图象向右平移a （a ＞0）个单位后，图象关于直线x=4π对称。
（1）求a 的最小值； （2）当a 取最小值，x ∈(89π，―87π)时，图象上任意两点连线的斜率恒大于零。
4．化简：（1）tan θtan2θ+tan2θtan3θ+…+tan n θtna(n+1)θ （2）(1+tan10)(1+tan20)…(1+tan450)5．若函数y=f(x)所得新图象的解析式为y=21sinx 6．右图为函数y=Acos(ωx+θ)－部分，式中A ，ω＞0求a 的值。
7（1）y=x xx cos 1sin 2sin -；（2）y=sinxcosx+sinx+cosx+1 （3）y=log 3xx xx cos sin cos sin +-8．讨论函数的奇偶性： （1）y=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+（2）y=sin 4x －cos 4x+cos2x（3）y=lg xx xx e e e e sin sin sin sin --+-9．函数y=5cos(312+k πx －6π)对任意实数a ，在[a ，a+3]上25的值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k. 10．α、β∈(cos2π)，x ＞0，f(x)=(βαsin cos )x +(αβsin cos )x ，α+β＞2π是f(x)＜2的什么条件？证明你的结论。
五、参考答案 1．（1）f(x)=2cos 2x －2acosx －2a －1当2a ∈[－1，1]，即a ∈[－2，2]时，f(a)=22a -－2a －1. 当a ＞2时，f(a)=2－2a －2a －1=1－4a 当a ＜－2时，f(a)=2+2a －2a －1=1∴f(a)= 22a －2a －1 x ∈[－2，2]1－4a x ∈（2，+∞） 1 x ∈（－∞，－2）（2）令－22a －2a －1=21 a=－1或－3 ∴a=－1令1－4a=21, a=81＜2， 舍去. ∴a=－1，此时f(x)=2a 2x+2ax+1，最大值为2+2+1=5 2．记t=sinx ∈[0，1]，f(t)=2at 2－22at+a+b 的对称轴为t=22，故f(22)=b 和f(0)=a+b 为其最值，当a ＞0时⎩⎨⎧=+-=15b a b ⇒⎩⎨⎧-==56b a 当a ＜0时⎩⎨⎧=-=+15b b a ⇒⎩⎨⎧=-=16b a 3．（1）把函数y=sin(87π－x)·cos(x+8π)=sin[π－(87π－x)]cos(x+8π)=sin(x+81π+x)=21sin(2x+4π)，它关于x=4π对称，故2×4π－2a+4π=k π+2π（k ∈Z ）a=－2k π+8π，（k ∈Z ）a 的最小正值为8π.（2）此时，y=21sin2x x ∈(－89π，－87π).y /=21·cos2x ·2=cos2x ，∵2x ∈(－49π，－47π)，恒正故比较函数图象上任两点连线斜率恒正。
设学过导数的同学，也可采用如下办法：对任意的－89π＜x 1＜x 2＜－87π，k=12122sin 212sin 21x x x x --=)(2)]()sin[()]()sin[(1221212121x x x x x x x x x x --++---+=)(2)sin()cos(2121221x x x x x x --+∵x 1+x 2∈(－49π，－47π)，∴cos(x 1+x 2)＞0∵x 2－x 1∈（0，4π），∴sin(x 2－x 1)＞0.又x 2－x 1＞0 ∴k ＞04．（1）∵tan[(k+1)θ－k θ]=θθθθ)1tan(tan 1tan )1tan(++-+k k k k∴tank θtan(k+1)θ=θθθtan tan )1tan(k k -+－1.分别取k=1，2，…，n ，并把这n 个式子相加，即得原式=θθθtan tan )1tan(-+n －n=θθtan )1tan(+n (n+1)。
（2）∵(1+tank 0)(1+tan(45－k)0)=1=tank 0tan(45－k)0+tank 0+tan(45－k)0=1+tank 0tan(45－k)0+tan[k+(45－k)]0. (1－tank 0tan(45－k)0)=1+tank 0tan(45－k)0+tan450(1－tank 0tan(45－k)0)=2，又1+tan450=2 ∴原式=223.5．把y=21sinx 按b =(2π，1)平移后解析式为y=21sin(x －2π)+1，纵坐标不变，横坐标变为原来的21，则其解析式为y=21sin(2x －2π)+1. 也可表示为y=1－21cos2x.6．A=2)3(1--=2，B=2)3(1-+=－1。
y=2cos(ωx+θ)－1.过原点，故0=2cos θ－1，取θ=3π或－3π. 过（21，1）故1=2cos(2ω+θ)－1，2ω+θ=2k π.ω= 4k π－2θ（k ∈Z ）过（1，0）故0=2cos(ω+θ)－1 *若θ=3π，则ω= 4k π－32π，*式为2cos(4k π－32π+3π)－1=0.成立.若θ=－3π，则ω= 4k π+32π，*式为2a(4k π+32π－3π)－1=0，也成立.又T=ωπ2＞2，∴ω＜π，∴ω=32π.f(x)=2cos(32πx －3π)－1.T=ππ322=3，∴a=3+1= 4.7．（1）y=x xx cos 1cos sin 22-=2cosx(1+cosx) （cosx ≠1）∴y ∈[－21，4]原函数的单调递增区间，即使cosx ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1的单调递减空间和使cosx ∈[－21，1]的单调递增区间。