清华大学数学实验0
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11
收获与建议
教材、作业、考试……
• 教材：姜启源等，《大学数学实验》 （清华大学出版社, 2005） • 平时成绩50分（作业10次）：
-- 批改5次，8分/次；其他2分/次 • 考试50分：机房考试（开放实验室） -- 低于25分者，本课程总成绩不及格
• 附加分不超过10分：自主的研究小论文，16周前提交 • 课程材料 ：精品课网站，见网络学堂
数学的二级学科(研究生专业)
纯粹数学(Pure Math) – 基础/核心(Core)数学？
应用数学(Applied Math)
计算数学(Computational Math) 概率论与数理统计 – 随机/统计数学？ 运筹学(OR)与控制论 – 运筹数学？
应 用 数 学
Core
5
数学与数学实验
引 言 及 预 备 知 识
1. 数学实验：课程概论
2. 数学建模：基本概念
3. MATLAB：使用简介
1
数学实验：课程概论
数学的重要性 课程的内容、特点与要求 …… • What – 什么是数学实验课? • Why – 为什么要学习数学实验课? • How – 怎样学好数学实验课？
2
数学的重要性：众所周知？
• 网址：
25
美国MCM+ICM竞赛规模
美国大学生数学建模竞赛参赛队数
1000 900 800 700
参赛队数
600 500 400 300 200 100 0
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
13
引 言 及 预 备 知 识
1. 数学实验：课程概论
2. 数学建模：基本概念
3. MATLAB：使用简介
14
什 么 是 数 学 建 模
人们常见的模型： 玩具、照片、火箭模型„ 水箱中的舰艇、风洞中的飞机„ 司机（方向盘）、钳工（工件）„ 地图、电路图、分子结构图„ ~ 实物模型 ~ 物理模型 ~ 思维模型 ~ 符号模型
3
数学的重要性：似是而非？
不少同学（甚至社会）的反映：
---- 无用 原因：很少用；用不好 ---- 难学
• 既要学好“算数学”, 更要培养“用数学”的能力
• 利用计算机和数学软件, 培养分析、思考能力 • 感受“用数学”的酸甜苦辣, 激发学好数学的愿望 最常用的大学数学内容有哪些?
4
d 2 k2 v ,
2
k 2 1 / 2a
d k1v k2v 2
22
例1 汽车刹车距离 参数估计
v (km/h) 实际距离 d (m) 计算距离 d (m) 20 6.5 6.26
模型 d k1v k2v 2
40 17.8 17.78 60 33.6 34.56 80 57.1 56.61 100 83.4 120 118.0 140 153.5
马克思：
一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步。 E. E. David Jr.: (Notices of AMS, v31, n2, 1984, P142)
……现今被如此称颂的“高技术”本质上是数学技术。
资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告: (NSF Report, March 1998) 现如今的数学科学对科学的所有的三个方面： 观察、理论和模拟来说都是必不可少的。 ……数盲和文盲一样是极其有害的。
数学建模 的全过程
现实对象的信息
表述
(归纳)
数学模型
验证
现实对象的解答 解释
求解 (演绎)
数学模型的解答
18
数学建模实例与数学实验方法
例1 汽车刹车距离
问题：汽车行驶前方出现突发事件紧急刹车；
车速越快，刹车距离越长；
刹车距离与车速之间是什么关系 ？(线性、) 刹车距离：从司机决定刹车到车完全停止 这段时间内汽车行驶的距离。
学习 / 验证 / 应用数学知识
6
什么是数学实验课？
在教师指导下， 以学生动手为主， 用学到的数学知识和计算机技术， 选择合适的数学软件， 分析、解决一些经过简化的实际问题。 本课程定位： 数学内容接近应用数学(或数学技术) 学习方法接近数学实验(或实验数学)
7
数学实验课的创立
国内情况（国外仅有个别学校开设此课） • 酝酿: 面向21世纪课程改革体系研究项目(1995前后) 理工科非数学类4门基础课之一 • 尝试: 清华、北大、北师大等（1997前后） 教材:《数学实验》(姜启源等编，高教社，1999)
19
例1 汽车刹车距离
实验数据：车速v (km/h)与刹车距离d (m)
v d
200 200
150 150
20 6.5
40 17.8
60 33.6
80 57.1
100 83.4
120
140
118.0 153.5
100 100
50 0 20 20
d 与v不是 线性关系
40
60
80 80
100 100
常数 制动力使汽车作匀减速运动
21
例1 汽车刹车距离 假设与建模
• 刹车距离 d = 反应距离 d1 + 制动距离 d2 • 反应距离 d1与车速 v 成正比：d1= k1 v , k1~反应时间 • 刹车使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变 F d2= m v2/2 • F使车作匀减速运动： F = ma
• 网址：
27
我国CUMCM竞赛规模
中国大学生数学建模竞赛 1000 800
校数
12000 10000 8000 6000 校数 队数
队数
600 400 200 0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解得到 x=20, y=5.
答：船速每小时20千米
16
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x~船速, y~水速）；
• 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 网络学堂 (公告/作业/讨论等)
12
如何学好数学实验课？
数学建模是桥梁，
贯穿全课有主线。 MATLAB和LINGO， 软件辅助做实验。 计算优化与统计， 一条主线
两个软件
三大内容 四个过程
应用数学乐无边。 预习听课再复习， 动手动脑是关键。
• 数学建模贯穿整个课程，每个内容都从实际问题 引出，并归结于问题的解决； • 训练应用能力，上机和实验报告时间要保证。
10
实验报告格式的基本要求
系别、班级、学号、姓名
实验目的
计算题 应用题
题号，算法设计(包括计算公式)，程序， 计算结果(计算机输出)，结果分析，结论。 题号，问题分析，模型假设，模型建立， 算法设计(包括计算公式)，程序，计算结果 (计算机输出)，结果的数学分析，结果的实 际意义，结论。
4000 2000 0
年份
28
竞赛内容与形式
内容 • 赛题：工程、管理中经过简化的实际问题
• 答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求 解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文
形式 • 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛
• 可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等), 但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）
实际问题
数学
• 美国大学生数学建模竞赛(MCM) • 中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)
• 竞赛内容与形式简介
24
（美国大学生）数学建模竞赛(MCM)
• 1985年开始举办，每年一次(2月)；“国际竞赛” • 1999年起又同时推出交叉学科竞赛 （Interdisciplinary Contest in Modeling – ICM) • 我国(清华等校) 1989年开始每年参加，英文答卷 • MCM-2006有10个国家(地区)748队参赛，其中我国 占62%; ICM-2006有224队参赛，其中我国占87% • 每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志
标准 假设的合理性，建模的创造性，
结果的正确性，表述的清晰性。
宗旨
创新意识
团队精神
重在参与
公平竞争
29
竞赛的反响（一例）
IBM 中国研究中心- 招聘条件 Position title: Business Optimization(BJ) 1．Background in industrial engineering, operations research, mathematics, Artificial Intelligence, management science etc. 2. Knowledge in network design, job scheduling, data analysis, simulation and optimization 3．Award in mathematical contest in modeling is a plus 4. Experience in industry is a plus 5. Experience in eclipse or programming model / architecture design is a plus
120 120
140 140
20
例1 汽车刹车距离
问题分析
刹车距离 = 反应距离 + 制动距离 反应距离: “司机决定刹车到制动器开始起作用”的距 离 制动距离: “制动器开始起作用到汽车完全停止”的距 离 反应 距离 制动 距离 反应时间 司机状况 制动系统灵活性
车速 制动器作用力
车重、车速 道路、气候… 常数
• 发展: 深受欢迎，迅速发展，广泛影响，不断探索
已出版几十种教材，内容不尽相同，各有特色
8
为什么要学习数学实验课?
…… 数学美学 数学哲学 数学精神
…… 随机数学 代数与几何 微积分
…… 应用数学 数学技术 数学实验
数学应用 数学发现
数学知识 数学技巧
数学素质 数学文化
9
课程的内容安排
• 介绍一些解决实际问题的常用数学方法：计算方法、 优化方法、统计方法等的基本原理和算法； • 选用合适的数学软件——MATLAB和LINGO，能 方便地实现以上内容的主要算法；
83.92 116.49 154.33
用实验数据对k1 , k2 作拟合: k1=0.6522，k2=0.0853 反应时间为k10.65s 刹车时的减速度a=1/2k2 6m/s2
23
数学建模竞赛(MCM )简介
Mathematical Contest in Modeling
Mathematical Modeling
数学实验 Mathematical Experiments / Experiments in Mathematics 实验数学 Experimental Mathematics /
Mathematics by Experiments 两层含义: 通过实验(当前主要是计算机实验)：
研究 / 探索 / 发现数学知识
• 求解, 得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米）。
17
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的, 作出必要的简化假设，根据对象的内在规律， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
总数 赛（CUMCM）
• 1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织
• 1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月) • 2006年有30省/市/区和香港的864所学校9982队参加 • 赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识” （2001年起刊登于当年“工程数学学报”） • 奖励：证书 （“一次参赛，终身受益”） • 等级：全国一等~3%、二等~ 7%；赛区奖~1/3
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型(Prototype)的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
15
你碰到过的数学模型 ——“航行问题”
甲乙两地相距750公里， 船从甲到乙顺水航行需30小时, 从乙到甲逆水航行需50小时， 问船的速度是多少。
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
收获与建议
教材、作业、考试……
• 教材：姜启源等，《大学数学实验》 （清华大学出版社, 2005） • 平时成绩50分（作业10次）：
-- 批改5次，8分/次；其他2分/次 • 考试50分：机房考试（开放实验室） -- 低于25分者，本课程总成绩不及格
• 附加分不超过10分：自主的研究小论文，16周前提交 • 课程材料 ：精品课网站，见网络学堂
数学的二级学科(研究生专业)
纯粹数学(Pure Math) – 基础/核心(Core)数学？
应用数学(Applied Math)
计算数学(Computational Math) 概率论与数理统计 – 随机/统计数学？ 运筹学(OR)与控制论 – 运筹数学？
应 用 数 学
Core
5
数学与数学实验
引 言 及 预 备 知 识
1. 数学实验：课程概论
2. 数学建模：基本概念
3. MATLAB：使用简介
1
数学实验：课程概论
数学的重要性 课程的内容、特点与要求 …… • What – 什么是数学实验课? • Why – 为什么要学习数学实验课? • How – 怎样学好数学实验课？
2
数学的重要性：众所周知？
• 网址：
25
美国MCM+ICM竞赛规模
美国大学生数学建模竞赛参赛队数
1000 900 800 700
参赛队数
600 500 400 300 200 100 0
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
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引 言 及 预 备 知 识
1. 数学实验：课程概论
2. 数学建模：基本概念
3. MATLAB：使用简介
14
什 么 是 数 学 建 模
人们常见的模型： 玩具、照片、火箭模型„ 水箱中的舰艇、风洞中的飞机„ 司机（方向盘）、钳工（工件）„ 地图、电路图、分子结构图„ ~ 实物模型 ~ 物理模型 ~ 思维模型 ~ 符号模型
3
数学的重要性：似是而非？
不少同学（甚至社会）的反映：
---- 无用 原因：很少用；用不好 ---- 难学
• 既要学好“算数学”, 更要培养“用数学”的能力
• 利用计算机和数学软件, 培养分析、思考能力 • 感受“用数学”的酸甜苦辣, 激发学好数学的愿望 最常用的大学数学内容有哪些?
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d 2 k2 v ,
2
k 2 1 / 2a
d k1v k2v 2
22
例1 汽车刹车距离 参数估计
v (km/h) 实际距离 d (m) 计算距离 d (m) 20 6.5 6.26
模型 d k1v k2v 2
40 17.8 17.78 60 33.6 34.56 80 57.1 56.61 100 83.4 120 118.0 140 153.5
马克思：
一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步。 E. E. David Jr.: (Notices of AMS, v31, n2, 1984, P142)
……现今被如此称颂的“高技术”本质上是数学技术。
资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告: (NSF Report, March 1998) 现如今的数学科学对科学的所有的三个方面： 观察、理论和模拟来说都是必不可少的。 ……数盲和文盲一样是极其有害的。
数学建模 的全过程
现实对象的信息
表述
(归纳)
数学模型
验证
现实对象的解答 解释
求解 (演绎)
数学模型的解答
18
数学建模实例与数学实验方法
例1 汽车刹车距离
问题：汽车行驶前方出现突发事件紧急刹车；
车速越快，刹车距离越长；
刹车距离与车速之间是什么关系 ？(线性、) 刹车距离：从司机决定刹车到车完全停止 这段时间内汽车行驶的距离。
学习 / 验证 / 应用数学知识
6
什么是数学实验课？
在教师指导下， 以学生动手为主， 用学到的数学知识和计算机技术， 选择合适的数学软件， 分析、解决一些经过简化的实际问题。 本课程定位： 数学内容接近应用数学(或数学技术) 学习方法接近数学实验(或实验数学)
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数学实验课的创立
国内情况（国外仅有个别学校开设此课） • 酝酿: 面向21世纪课程改革体系研究项目(1995前后) 理工科非数学类4门基础课之一 • 尝试: 清华、北大、北师大等（1997前后） 教材:《数学实验》(姜启源等编，高教社，1999)
19
例1 汽车刹车距离
实验数据：车速v (km/h)与刹车距离d (m)
v d
200 200
150 150
20 6.5
40 17.8
60 33.6
80 57.1
100 83.4
120
140
118.0 153.5
100 100
50 0 20 20
d 与v不是 线性关系
40
60
80 80
100 100
常数 制动力使汽车作匀减速运动
21
例1 汽车刹车距离 假设与建模
• 刹车距离 d = 反应距离 d1 + 制动距离 d2 • 反应距离 d1与车速 v 成正比：d1= k1 v , k1~反应时间 • 刹车使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变 F d2= m v2/2 • F使车作匀减速运动： F = ma
• 网址：
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我国CUMCM竞赛规模
中国大学生数学建模竞赛 1000 800
校数
12000 10000 8000 6000 校数 队数
队数
600 400 200 0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解得到 x=20, y=5.
答：船速每小时20千米
16
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x~船速, y~水速）；
• 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 网络学堂 (公告/作业/讨论等)
12
如何学好数学实验课？
数学建模是桥梁，
贯穿全课有主线。 MATLAB和LINGO， 软件辅助做实验。 计算优化与统计， 一条主线
两个软件
三大内容 四个过程
应用数学乐无边。 预习听课再复习， 动手动脑是关键。
• 数学建模贯穿整个课程，每个内容都从实际问题 引出，并归结于问题的解决； • 训练应用能力，上机和实验报告时间要保证。
10
实验报告格式的基本要求
系别、班级、学号、姓名
实验目的
计算题 应用题
题号，算法设计(包括计算公式)，程序， 计算结果(计算机输出)，结果分析，结论。 题号，问题分析，模型假设，模型建立， 算法设计(包括计算公式)，程序，计算结果 (计算机输出)，结果的数学分析，结果的实 际意义，结论。
4000 2000 0
年份
28
竞赛内容与形式
内容 • 赛题：工程、管理中经过简化的实际问题
• 答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求 解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文
形式 • 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛
• 可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等), 但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）
实际问题
数学
• 美国大学生数学建模竞赛(MCM) • 中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)
• 竞赛内容与形式简介
24
（美国大学生）数学建模竞赛(MCM)
• 1985年开始举办，每年一次(2月)；“国际竞赛” • 1999年起又同时推出交叉学科竞赛 （Interdisciplinary Contest in Modeling – ICM) • 我国(清华等校) 1989年开始每年参加，英文答卷 • MCM-2006有10个国家(地区)748队参赛，其中我国 占62%; ICM-2006有224队参赛，其中我国占87% • 每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志
标准 假设的合理性，建模的创造性，
结果的正确性，表述的清晰性。
宗旨
创新意识
团队精神
重在参与
公平竞争
29
竞赛的反响（一例）
IBM 中国研究中心- 招聘条件 Position title: Business Optimization(BJ) 1．Background in industrial engineering, operations research, mathematics, Artificial Intelligence, management science etc. 2. Knowledge in network design, job scheduling, data analysis, simulation and optimization 3．Award in mathematical contest in modeling is a plus 4. Experience in industry is a plus 5. Experience in eclipse or programming model / architecture design is a plus
120 120
140 140
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例1 汽车刹车距离
问题分析
刹车距离 = 反应距离 + 制动距离 反应距离: “司机决定刹车到制动器开始起作用”的距 离 制动距离: “制动器开始起作用到汽车完全停止”的距 离 反应 距离 制动 距离 反应时间 司机状况 制动系统灵活性
车速 制动器作用力
车重、车速 道路、气候… 常数
• 发展: 深受欢迎，迅速发展，广泛影响，不断探索
已出版几十种教材，内容不尽相同，各有特色
8
为什么要学习数学实验课?
…… 数学美学 数学哲学 数学精神
…… 随机数学 代数与几何 微积分
…… 应用数学 数学技术 数学实验
数学应用 数学发现
数学知识 数学技巧
数学素质 数学文化
9
课程的内容安排
• 介绍一些解决实际问题的常用数学方法：计算方法、 优化方法、统计方法等的基本原理和算法； • 选用合适的数学软件——MATLAB和LINGO，能 方便地实现以上内容的主要算法；
83.92 116.49 154.33
用实验数据对k1 , k2 作拟合: k1=0.6522，k2=0.0853 反应时间为k10.65s 刹车时的减速度a=1/2k2 6m/s2
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数学建模竞赛(MCM )简介
Mathematical Contest in Modeling
Mathematical Modeling
数学实验 Mathematical Experiments / Experiments in Mathematics 实验数学 Experimental Mathematics /
Mathematics by Experiments 两层含义: 通过实验(当前主要是计算机实验)：
研究 / 探索 / 发现数学知识
• 求解, 得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米）。
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数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的, 作出必要的简化假设，根据对象的内在规律， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
总数 赛（CUMCM）
• 1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织
• 1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月) • 2006年有30省/市/区和香港的864所学校9982队参加 • 赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识” （2001年起刊登于当年“工程数学学报”） • 奖励：证书 （“一次参赛，终身受益”） • 等级：全国一等~3%、二等~ 7%；赛区奖~1/3
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型(Prototype)的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
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你碰到过的数学模型 ——“航行问题”
甲乙两地相距750公里， 船从甲到乙顺水航行需30小时, 从乙到甲逆水航行需50小时， 问船的速度是多少。
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：