高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 平均值不等式(二)课件5高二选修45数学课件

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典例剖析
知识点1 利用三个正数(zhèngshù)的算术—几何平均不等式证明不等式
【例 1】 已知 a、b、c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1.求证：a＋1 b
＋b＋1 c＋c＋1 a≥92. 证明 a＋b＋c＝1⇒(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2，[(a＋b)＋(b＋c)＋
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【反思(fǎn sī)感悟】 注意平均不等式应用的条件是三个正数在求最值时， 一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数 的值，则最值不存在.
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2.求 y＝sin xcos2x，x∈0，π2 的最大值. 解 ∵x∈0，π2 ，∴sin x>0，y>0. y2＝sin2xcos4x＝2sin2xco2s2xcos2x
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1.已知 a，b，c 都是正数，求证：3a＋3b＋c－3 abc≥ 2a＋2 b－ ab. 证明 ∵3a＋3b＋c－3 abc－2a＋2 b－ ab
＝a＋b＋c－a－b－33 abc＋2 ab＝c－33 abc＋2 ab
＝ ab＋ ab＋c－33 abc≥33 abc－33 abc＝0， ∴原不等式成立.
∴1＋x≤43，即 x≤13，
对比所给数据，只有①③满足条件，故选 B.
答案(dáàn) B
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3.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流 速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均 车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F＝v2＋76180v00＋v20l.
答案(dáàn) 25
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3.用长为16 cm的铁丝(tiě sī)围成一个矩形，则可围成的矩形的最大 面积是________ cm2.
解析 设矩形长为 x cm(0<x<8)，则宽为(8－x) cm， 面积 S＝x(8－x).由于 x>0，8－x>0， 可得 S≤x＋82－x2＝16，当且仅当 x＝8－x 即 x＝4 时，Smax ＝16. 所以矩形的最大面积是 16 cm2.
≤122sin2x＋co3s2x＋cos2x3＝12233＝584＝247.
故 y≤ 247＝293，此时，2sin2x＝cos2x，tan2x＝12，
y
有最大值2
3 9.
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知识点3 平均(píngjūn)不等式的实际应用
【例 3】 某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n ＝1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百 分率为 P1，第三年比第二年增长的百分率为 P2，第四年比 第三年增长的百分率为 P3，且 P1＋P2＋P3＝1.给出如下数据： ①27，②25，③13，④12，⑤23， 则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是
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课堂(kètáng)小结
利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解(lǐjiě)题意，设出变量， 一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建
立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.
答案(dáàn) D
（x－2）（x－1 2）＝1.
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2.已知a，b为正数(zhèngshù)，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y ＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________.
解析 ∵直线 ax＋by－6＝0 与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0 互 相平行，∴a(b－3)－2b＝0 且 5a＋12≠0，∴3a＋2b＝ab， 即2a＋3b＝1，又 a，b 均为正数，∴2a＋3b＝(2a＋3b)·2a＋3b ＝4＋9＋6ba＋6ab≥13＋2 6ba·6ab＝25. 当且仅当 a＝b＝5 时上式等号成立.
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随堂演练(yǎn liàn)
1.已知 x≥52，则 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5有(
)
A.最大值54
B.最小值54
C.最大值 1
D.最小值 1
解析 f(x)＝（2x（－x2－）22）＋1＝12（x－2）＋（x－1 2），
又∵x≥52，x－2≥12，则 f(x)≥12·2
答案(dáàn) 16
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内容(nèiróng)总结
§3 平均值不等式(二)。1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.。a3＋b3＋ c3≥3abc。知识点1 利用三个正数的算术—几何平均不等式证明不等式。【反思感悟】 认真观察要证的不等式的
No 结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均不等式的式子.。(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为
______辆/时。(2)建立相应(xiāngyīng)的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题
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自主(zìzhǔ)探究
1.设a，b，c为正数，你能证明(zhèngmíng)a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a ＝b＝c时等号成立)吗？
提示 a3＋b3＋c3≥3abc⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0
⇔(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)≥0
§3 平均值不等式(二)
学习(xuéxí)目标 1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题单的实际问题.
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预习(yùxí)自测
1.定理3：对任意(rènyì)三个正数a，b，c，有__a_3＋__b_3_＋_c_3_≥__3a_b_c____ (此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号).
(1)如果(rúguǒ)不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时； (2) 如 果 限 定 车 型 ， l ＝ 5 ， 则 最 大 车 流 量 比 (1) 中 的 最 大 车 流 量 增 加 ________辆/时.
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解析 把所给 l 值代入，分子分母同除以 v，构造基本不
() A.①②
B.①③
C.②③④ D.②⑤
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解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为
x (x>0)，
则 a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3) ≤1＋P1＋1＋3P2＋1＋P33＝433.
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知识点2 利用三个正数(zhèngshù)的算术—几何平均不等式求最值
【例2】 若正数a，b满足(mǎnzú)ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.
解 法一 ∵a，b∈(0，＋∞)，且 ab＝a＋b＋3≥33 3ab， ∴a3b3≥81ab.又 ab>0，∴a2b2≥81.∴ab≥9(当且仅当 a＝b 时，取等号).∴ab 的取值范围是[9，＋∞). 法二 ∵ab－3＝a＋b≥2 ab，∴ab－2 ab－3≥0 且 ab>0， ∴ ab≥3，即 ab≥9(当且仅当 a＝b 时取等号) ∴ab 的取值范围是[9，＋∞).
(2) 当
l＝5
时
，
F
＝
76 000v v2＋18v＋100
＝
76 000 v＋10v0＋18
≤
2 v7·6 0100v00＋18＝2706＋00108＝2 000.当且仅当 v＝10 米/秒时等
号成立，此时车流量最大为 2 000 辆/时.比(1)中的最大车流
量增加 100 辆/时.
答案(dáàn) (1)1 900 (2)100
⇔12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0.
由于 a＋b＋c>0 且(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
因而12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0 成立.
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立.
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2.你能利用刚证明了的不等式证明如果 a，b，c 为正数，则 a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立吗？ 提示 ∵a＋b＋c＝(3 a)3＋(3 b)3＋(3 c)3， ∴a＋b＋c≥33 a·3 b·3 c＝33 abc. 即a＋3b＋c≥3 abc， 当且仅当3 a＝3 b＝3 c，也即 a＝b＝c 时等号成立.
(c＋a)]a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥33 （a＋b）（b＋c）（c＋a）·
3 3
1
＝9⇒a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92.
（a＋b）（b＋c）（c＋a）
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【反思感悟】 认真观察(guānchá)要证的不等式的结构特点，灵活利用 已知条件构造出能利用平均不等式的式子.
等式的形式求最值.
(1) 当
l ＝ 6.05
时
，
F
＝
76 000v v2＋18v＋121
＝
76 000 v＋12v1＋18
≤
2 v7·6 0102v01＋18＝2726＋00108＝1 900.当且仅当 v＝11 米/秒
时等号成立，此时车流量最大为 1 900 辆/时.
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2.定理 4：对任意三个正数 a，b，c 有_a_＋__3_b_＋__c≥___3_a_b_c_ (此式当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”号).
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3.一般地，对 n 个正数 a1，a2，…，an(n≥2)，我们把数值 a＋a2＋n…＋an，n a1a2…an分别称为这 n 个正数的_算__术__(s_u_àn_sh_ù)_平_均值 与__几__何__(_jǐ _hé_)平__均__值，且有__a_1＋___a_2＋_n_…__＋__a_n_≥__n__a_1a_2_…__a_n_. 此式当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时取“＝”号，即 n 个正数的算 术平均值不小于它们的几何平均值.