河北省唐山市滦南县中考数学模拟试卷(3)(含解析)

2016年河北省唐山市滦南县中考数学模拟试卷（3）
一.选择题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
1．﹣的绝对值是（）
A．﹣ B．C．﹣ D．
2．下列运算正确的是（）
A．（a2）3=a5B．（π﹣3.14）0=1 C． +=D．3﹣2=﹣6
3．国家体育场“鸟巢”工程总占地面积21公顷，建筑面积258 000m2．将举行奥运会，残奥会开闭幕式，田径比赛及足球比赛决赛．奥运会后将成为北京市具有地标性的体育建筑和奥运遗产．其中，258 000m2用科学记数法表示为（）
A．258×103B．25.8×104C．2.58×105D．0.258×106
4．小亮观察下边的两个物体，得到的俯视图是（）
A．B．
C．D．
5．已知：如图，∠DAC是△ABC的一个外角，∠DAC=85°，∠B=45°，则∠C的度数为（）
A．50° B．45° C．40° D．35°
6．在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）
A．B．
C ．
D ．
7．一个暗箱里装有10个黑球，8个红球，12个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前了8天完成任务．设原计划每天铺设管道x 米，根据题意，则下列方程正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题（本大题共7小题每空3分，共21分）
9．当x ≠ 时，分式
有意义．
10．若点P （m ，1）在第二象限，则点B （﹣m+1，﹣1）必在第 象限．
11．不等式组
的解集是 ．
12．已知在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4cm ，BC=3cm ，sin ∠A= ．
13．双曲线y=经过点（2，﹣3），则k= ．
14．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ．
15．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第n 个图形中需要黑色瓷砖 块（用含n 的代数式表示）．
三．解答题（本大题共9个小题，共75分）
16．计算：2﹣1﹣（2008﹣π）0+cos30°．
17．解方程：
18．如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：
猜想：；
证明：．
19．有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别划有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．
20．九（3）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛，老师将学生的成绩按10分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数分布直方图．
九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表：
（1）频数分布表中a= ，b= ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）学校设定成绩在69.5分以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本15本及奖金50元，二等奖奖励作业本10本及奖金30元，已知这部分学生共获得作业本335本，请你求出他们共获得的奖金．
21．如图，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E．DE=15cm，AD=14cm．求半径OA的长．（精确到0.1cm）
参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36．
22．如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
（1）作出关于直线AB的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°；
（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．
23．“一方有难，八方支援”．在抗击“5.12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费．
24．如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
2016年河北省唐山市滦南县周各庄中学中考数学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
1．﹣的绝对值是（）
A．﹣ B．C．﹣ D．
【考点】绝对值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣|=．
故选B．
【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．下列运算正确的是（）
A．（a2）3=a5B．（π﹣3.14）0=1 C． +=D．3﹣2=﹣6
【考点】负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、幂的乘方和二次根式计算四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，最后作出正确判断．
【解答】解：A、（a2）3=a6，故错误；
B、符合0指数的意义，正确；
C、+，不是同类二次根式，不能合并，故错误；
D、3﹣2=，故错误．
故选B．
【点评】涉及知识：负指数幂为正指数幂的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简；幂的乘方与积的乘方．
3．国家体育场“鸟巢”工程总占地面积21公顷，建筑面积258 000m2．将举行奥运会，残奥会开闭幕式，田径比赛及足球比赛决赛．奥运会后将成为北京市具有地标性的体育建筑和奥运遗产．其中，258 000m2用科学记数法表示为（）
A．258×103B．25.8×104C．2.58×105D．0.258×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】应用题．
【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于258 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答】解：258 000=2.58×105．
故选C．
【点评】把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：
（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
4．小亮观察下边的两个物体，得到的俯视图是（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】压轴题．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看是左边一个圆和里面圆心一点，右边是一个矩形，故选A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．已知：如图，∠DAC是△ABC的一个外角，∠DAC=85°，∠B=45°，则∠C的度数为（）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据“三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可知∠C=∠DAC﹣∠B．【解答】解：∵∠DAC=∠B+∠C，∠DAC=85°，∠B=45°，
∴∠C=∠DAC﹣∠B=85°﹣45°=40°．
故选C．
【点评】此题考查了三角形的内角和外角的关系．三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）
A．B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，
一次函数y=kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y=（k≠0）的图象经过一、三象限，
故B选项的图象符合要求，
②当k＜0时，
一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y=（k≠0）的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：B．
【点评】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
7．一个暗箱里装有10个黑球，8个红球，12个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】所有机会均等的可能共有30种．而不是白球的机会有18种，因此从中任意摸出一球，不
是白球的概率是．
【解答】解：P（不是白球）=．
故选D．
【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前了8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意，则下列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】关键描述语为：“提前了8天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时=8．
【解答】解：原计划用时为天，而实际用时天．那么方程应该表示为．
故选B
【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
二．填空题（本大题共7小题每空3分，共21分）
9．当x≠ 3 时，分式有意义．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】分式有意义的条件为分母不为0．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0．解得：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握．分式有意义的条件：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．
解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．
10．若点P（m，1）在第二象限，则点B（﹣m+1，﹣1）必在第四象限．
【考点】点的坐标．
【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数．应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断所在的象限．
【解答】解：∵点P（m，1）在第二象限，
∴m＜0．∴﹣m+1＞0，
故点B（﹣m+1，﹣1）必在第四象限．故填：四．
【点评】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来考查．
11．不等式组的解集是1＜x＜2 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：由（1）得：x＜2．由（2）得：x＞1．∴不等式组的解集是：1＜x＜2．【点评】求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12．已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=4cm，BC=3cm，sin∠A= ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理求出AB的长；根据三角函数的定义求解．
【解答】解：由题意知，AB==5，
∴sin∠A==．
【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．
13．双曲线y=经过点（2，﹣3），则k= ﹣6 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】把x=2，y=﹣3代入双曲线解析式即可求得k的值．
【解答】解：∵双曲线y=经过点（2，﹣3），
∴k=2×（﹣3）=﹣6，
故答案为﹣6．
【点评】考查用待定系数法求反比例函数解析式；用到的知识点为：点在反比例函数解析式上，点的横纵坐标适合函数解析式．
14．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为2cm ．
【考点】圆锥的计算．
【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．
【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则L==2πR，
解得：R=2cm，
故答案为：2cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
15．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖10 块，第n个图形中需要黑色瓷砖3n+1 块（用含n的代数式表示）．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】压轴题．
【分析】分析几何模型，进行合理的运算，图形的变换作出正确解答．
【解答】解：本题考查的是规律探究问题．从图形观察每增加一个图形，黑色正方形瓷砖就增加3块，
第一个黑色瓷砖有3块，
则第3个图形黑色瓷砖有10块，
第N个图形瓷砖有4+3（n﹣1）=3n+1（块）．
故答案为：10；3n+1．
【点评】本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型．
三．解答题（本大题共9个小题，共75分）
16．计算：2﹣1﹣（2008﹣π）0+cos30°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意2﹣1=，（2008﹣π）0=1．
【解答】解：原式=﹣1+×=1．
【点评】本题需注意的知识点是：a﹣p=．任何不等于0的数的0次幂是1．
17．解方程：
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】观察可得最简公分母是（2x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：原方程可化为：，
方程的两边同乘（2x﹣1），得
2﹣5=2x﹣1，
解得x=﹣1．
检验：把x=﹣1代入（2x﹣1）=﹣3≠0．
∴原方程的解为：x=﹣1．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
18．如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：
猜想：BE∥DF，BE=DF ；
证明：连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，AO=CO，
又∵AF=CE，
∴AE=CF，
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，BE=DF ．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】探究型．
【分析】首先连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．由四边形ABCD是平行四边形，可得BO=OD，AO=CO，又由CE=AF，可得OE=OF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，则可得BE∥DF，BE=DF
【解答】答：猜想：BE∥DF，BE=DF．
证明：证法一：如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BC=AD，∠1=∠2，
∵在△BCE和△DAF中，
，
∴△BCE≌△DAF（SAS），
∴BE=DF，∠3=∠4，
∴BE∥DF．
证法二：如图2，
连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，AO=CO，
又∵AF=CE，
∴AE=CF，
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，BE=DF．
故答案为：BE∥DF，BE=DF；
连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，AO=CO，
又∵AF=CE，
∴AE=CF，
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，BE=DF．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
19．有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别划有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．
【考点】列表法与树状图法；中心对称图形．
【专题】阅读型．
【分析】（1）画出树状图分析数据、列出可能的情况．
（2）根据中心对称图形的概念可知，当摸出圆和平行四边形时为中心对称图形，除以总情况数即可．【解答】解：（1）
共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，
即：（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）
（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）
（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）
（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）；
（2）其中两张牌都是中心对称图形的有4种，即
（B，B）（B，C）（C，B）（C，C）
∴P（两张都是中心对称图形）==．
【点评】正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．九（3）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛，老师将学生的成绩按10分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数分布直方图．
九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表：
（1）频数分布表中a= 2 ，b= 12.5% ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）学校设定成绩在69.5分以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本15本及奖金50元，二等奖奖励作业本10本及奖金30元，已知这部分学生共获得作业本335本，请你求出他们共获得的奖金．
【考点】频数（率）分布直方图；一元一次方程的应用；频数（率）分布表．
【专题】图表型．
【分析】（1）由成绩频数分布表可以看出，b=100%﹣5%﹣22.5%﹣25%﹣35%=12.5%；由频率=得，总数==40人，则a=40×0.050=2人；
（2）由数据补全直方图；
（3）由表得，有29名同学获得一等奖或二等奖；设有x名同学获得一等奖，则有（29﹣x）名同学获得二等奖，根据题意得关系式15x+10（29﹣x）=335可求得x的值；再根据关系式50x+30（29﹣x）可求得获得的奖金．
【解答】解：（1）由频数分布表可知总数为： =40人
则a=40×0.05=2人，
b=100%﹣5%﹣22.5%﹣25%﹣35%=12.5%；
（2）如图所示：
（3）由表得，有29名同学获得一等奖或二等奖，
设有x名同学获得一等奖，则有（29﹣x）名同学获得二等奖，根据题意得：
15x+10（29﹣x）=335，
解得x=9，
∴50x+30（29﹣x）=1050．
所以他们得到的奖金是1050元．
【点评】本题考查读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查解方程得能力．读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
21．如图，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E．DE=15cm，AD=14cm．求半径OA的长．（精确到0.1cm）
参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】计算题．
【分析】在Rt△ODE中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE的余弦值，即可求得OD长，减去AD即为OA．
【解答】解：在Rt△ODE中，DE=15，∠ODE=67°，
∵cos∠ODE=，
∴OD≈≈38.46（cm），
∴OA=OD﹣AD≈38.46﹣14≈24.5（cm）．
答：半径OA的长约为24.5cm．
【点评】本题首先把实际问题转化成数学问题，主要利用了三角函数中余弦定义来解题．
22．如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
（1）作出关于直线AB的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°；
（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
【专题】网格型．
【分析】画轴对称图形时，要明确对称轴，对称点的位置，画出图形后要体会对称性；旋转90°，
要明确旋转中心，旋转方向，充分利用网格作90°的旋转．
【解答】解：如图．
【点评】本题考查了网格里的旋转，轴对称，通过补全图形，体会图形变换的美感，提高学习兴趣．
23．“一方有难，八方支援”．在抗击“5.12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费．
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题；方案型．
【分析】（1）装运生活用品的车辆数为（20﹣x﹣y），根据三种救灾物资共100吨列出关系式；（2）根据题意求出x的取值范围并取整数值从而确定方案；
（3）分别表示装运三种物质的费用，求出表示总运费的表达式，运用函数性质解答．
【解答】解：（1）根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，
那么装运生活用品的车辆数为（20﹣x﹣y），
则有6x+5y+4（20﹣x﹣y）=100，
整理得，y=﹣2x+20；
（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，20﹣2x，x，
由题意，得，
解这个不等式组，得5≤x≤8，
因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8．
所以安排方案有4种：
方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；
方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；
方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；
方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆．
（3）设总运费为W（元），
则W=6x×120+5（20﹣2x）×160+4x×100
=16000﹣480x，
因为k=﹣480＜0，所以W的值随x的增大而减小．
要使总运费最少，需x最大，则x=8．
故选方案4．
W最小=16000﹣480×8=12160元．
最少总运费为12160元．
【点评】此题运用一次函数的性质求最值重在求自变量的取值范围；方案设计是在自变量的取值范围中取特殊值来确定．
24．如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；开放型；分类讨论．
【分析】（1）抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值；
（2）四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知点P到直线AB的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；
（3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC和∠MGA是直角，
只需证明或即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．
【解答】解：（1）令y=0，
得x2﹣1=0
解得x=±1，
令x=0，得y=﹣1
∴A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1）；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠CBO=45°．
∵AP∥CB，
∴∠PAB=∠CBO=45°．
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1）．
∵点P在抛物线y=x2﹣1上，
∴a+1=a2﹣1．
解得a1=2，a2=﹣1（不合题意，舍去）．∴PE=3．
∴四边形ACBP的面积S=AB•OC+AB•PE =×2×1+×2×3=4；
（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3
设M点的横坐标为m，则M（m，m2﹣1）
①点M在y轴左侧时，则m＜﹣1．（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有．∵AG=﹣m﹣1，MG=m2﹣1．
即
解得m1=﹣1（舍去）m2=（舍去）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有，
即．
解得：m=﹣1（舍去）m2=﹣2．
∴M（﹣2，3）．
②点M在y轴右侧时，则m＞1
（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有
∵AG=m+1，MG=m2﹣1
∴
解得m1=﹣1（舍去）m2=．
∴M（，）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有，
即．
解得：m1=﹣1（舍去）m2=4，
∴M（4，15）．
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（﹣2，3），（，），（4，15）．
【点评】考查抛物线与数轴交点求解问题，以及抛物线与三角形，四边形之间关系转换问题，相似三角形问题，要特别注意在第三问时要分情况讨论．。