正切函数教案1

§6 正切函数（2课时）

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法

类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观

使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点

重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质

难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题

三、学法与教学用具

我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板

第一课时正切函数的定义、图像及性质

一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】

1．正切函数的定义

在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠

2

π

＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值a

b

是角α的函数，我们

把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2

π

＋k π，k∈Z.

比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2

π

＋k π，k∈Z).

由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称

为三角函数。

下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.

如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A （1 ,0），任意角α

的终边与单位圆交于点P ，过点A （1 ,0）作x 轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于T 点。从图中可以看出：

当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方； 当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方。 分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两

个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT 的值相等。因此， 我们称有向线段AT 为角α的正切线。

2．正切函数的图象 （1）首先考虑定义域：()z k k x ∈+

≠2

π

π

（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：

()()()⎪⎭

⎫

⎝⎛∈+≠∈=--=++=

+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且

∴⎪⎭

⎫

⎝

⎛∈+

≠∈=z k k x R x x y ,2,tan π

π且的周期为π=T （最小正周期） （3）因此我们可选择⎪⎭

⎫

⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数R x x

y ∈=tan ，

x

y o T A 210︒ 30︒ P

x

y

2

π-

2

πO

y

且()z k k x ∈+≠

ππ

2

的图像，称“正切曲线”

从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x ＝2

π

＋k π(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。

3．正切函数y ＝tanx 的性质 引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ

， （2）值域：R

观察：当x 从小于()z k k ∈+

2

π

π，2

π

+π−→−k x 时，∞−→−

x tan 当x 从大于

()z k k ∈+ππ

2

，ππ

k x +−→

−2

时，-∞−→−

x tan 。 （3）周期性：π=T

（4）奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。 （5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭

⎫

⎝⎛++-

ππππ2,2内，函数单调递增。

二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那

些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

三、课后反思

第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？

【探究新知】

观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，－α的正切函数值有何关系？

y