拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量

实验4—2 拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量
【实验目的】
1. 掌握光杠杆测量微小长度变化的原理，掌握尺读望远镜的使用方法。

2. 学会用拉伸法测量金属丝的杨氏弹性模量。

3. 加强数据处理能力的训练。

【实验原理】
固体材料受外力作用时必然发生形变，本实验仅研究轴向形变（或称拉伸形变）。

设一根长度为L 截面积为S 的均匀金属丝，沿长度方向受外力F 的作用后，伸长量为L ∆，在弹性限度内根据胡克定律，有
F L
E
S L
∆=， 即//F S
E L L
=
∆ （4-2-1）
其中
F S 称为正应力（或叫胁强），L L
∆称为线应变（或叫胁变），E 称为材料的杨氏模量，它是材料的固有属性。

金属丝的截面积可近似地看作圆，2
14
S d π=
，代入（4-2-1）式得： 24FL
E d L
π=
∆ （4-2-2）
上式中L ∆是一个微小的长度变化量，很难用普通的方法测量，因此采用光杠杆放大法来测量。

光杠杆装置包括两部分：光杠杆和尺
读望远镜。

光杠杆（图4-2-1）由支架和平面镜组成，支架上有三个尖足组成等腰三角形，后足到两前足的垂直距离k 可以调
节。

尺读望远镜由望远镜和读数标尺组成，实验者在望远镜中可以看到通过光杠杆平面镜反射的标尺像，并通过望远镜中的读数叉丝读出当前标尺上的刻度值。

实验4—2 杨氏弹性模量的测定 61
当钢丝伸长时，固定在钢丝上的光杠杆后足会随之移动，导致光杠杆上平面镜的镜面绕两前足的连线发生转动，转动角度很小，用θ表示。

根据高等数学的知识，当θ角很小时，
sin tan θθθ≈≈。

如图4-2-2所示，在左侧的小三角形中，tan L k θθ≈=∆；在右侧的大三角形中，2tan 2l D θθ≈=，联立上述两式，可得：
2k
L l D
∆= （4-2-3） 将（4-2-3）式代入（4-2-2）式得： 2
8LDF
E
=
（4-2-4） 【实验仪器】
杨氏模量测定仪，卷尺（分度1mm ，极限误差a =1.2mm ），螺旋测微器（分度0.01mm ，极限误差0.004mm ），直尺（分度1mm ，极限误差0.1mm ），砝码（质量m=1kg ）。

【实验内容与步骤】
1. 调节测定仪底脚螺丝，使支架垂直。

2. 在钢丝下端的砝码盘上放置2个砝码，拉直钢丝。

3. 将光杠杆放置在测量平台上，并将光杠杆的后足放置在与钢丝固定在一起的小圆柱体的平面上，使之能与钢丝一起移动，调节平面镜的镜面基本竖直。

4. 粗调）上下调节望远镜镜筒，使其与光杠杆基本等高。

移动望远镜的位置，使之正对平面镜，并沿着望远镜方向能用肉眼在平面镜中看到标尺的像。

5. 细调）通过调节目镜，使望远镜中的读数叉丝清晰；通过调节调焦螺丝使望远镜中的标尺像清晰；通过调节望远镜镜筒下方的仰俯角螺丝，使标尺像处于视场中央。

大学物理实验
62 6. 在望远镜中读下初位置0l ，在砝码盘上加一个砝码，记作1l ，……直至读到9l 。

减掉一个砝码，记作'
8l ，……直至读到'
0l ，将相同砝码时的两个读数取平均值得到0l …9l ，并用逐差法算出l 。

7. 用钢卷尺测量钢丝长度L 一次，测量光杠杆镜面到标尺的距离D 一次，用螺旋测微器测量钢丝不同位置的直径d 共10次取平均值。

将光杠杆放置在平坦的纸上，印得三足的位置，前两足连线，后足往连线作垂线，用直尺测出其长度即为k 。

8. 将各测量值代入公式（4-2-4），算出杨氏模量E 。

评定并计算各测量值的不确定度，合成总不确定度()u E ，并表达测量结果()E E u E =±。

9. 将数据代入计算机中的数据处理程序，得到实验结果，验证手工处理数据的准确性。

【实验注意事项及常见故障的排除】
1． 尺读望远镜的调节中粗调很关键，望远镜对准平面镜是为了使平面镜反射的光线正好进入望远镜（因为光是沿直线传播的）；沿望远镜方向能看到平面镜中有标尺的像，是让标尺反射的光线进入望远镜，这样就能在望远镜中看到标尺的像了。

2． 通常在望远镜中找不到标尺像的情况有三种：1、平面镜的仰俯角不合适；2、望远镜没对准平面镜或平面镜中无标尺像；3、调焦不准确。

一个典型的现象是在望远镜中看到清晰的平面镜却看不到标尺，原因是此时望远镜的焦平面处在平面镜处，而本实验中平面镜只起改变光路的作用，它处于望远镜和标尺的中间，应该将焦平面调到平面镜后方的标尺虚像处（平面镜反射时，所成虚像在平面镜后方等距离处），所以应继续调焦才能找到标尺像。

3． 正确估算单次测量时B1类不确定度、查表并计算B2类不确定度、计算A 类不确定度、不确定度合成和传递的计算、有效数字的运算规则、有效数字的保留、结果的表达和末位对齐形式等等，都是数据处理过程中不可忽视的地方。

本实验中09...l l 是用逐差法计算的，在计算其A 类不确定度的时候，不应认为是9次测量，而应认为是5次测量较为合理。

4． 加砝码时，砝码缺口不能向着同一方向，否则容易使重心偏向而倾倒；每次加砝码后要使其稳定，否则会造成光杠杆晃动而使读数抖动，不易读数。

5． 不要在读取09...l l 的过程中测量D 、L 、k 、d 等其他数据，否则容易造成偏差。

【思考题】
实验4—2 杨氏弹性模量的测定 63
1. 两根材料相同，粗细、长度不同的钢丝，在相同的拉力下，伸长量是否相同？杨氏模量是否相同？
2. 本实验中，为什么用不同的工具测量l 、D 、d 、k 、L ？哪个量的误差对实验结果影响最大？
3. 怎样提高光杠杆测量微小长度变化量的灵敏度？ 【附 录】
杨氏模量实验中的数据处理方法
1. 测量结果的运算
1） L ,D , k 均为单次测量，测量值直接代入公式计算。

2） )......(10
1
110211d d d d n d n i i +++=
=∑= ##### 结果可保留4位有效数字 ##### 3） 5
5)
(...)()(491605⨯-++-+-=l l l l l l l ,表示每次加1个砝码对应钢丝伸长量的平
均值。

##### 结果保留3位有效数字 #####
4） l
k d LDF
E 2
)(8π=
，(其中797.9=F N) ##### 结果保留3位有效数字 #####
2. 不确定度的运算
1）()u L =， （L 是单次测量，只考虑B 类不确定度）
2）()u D = （D 是单次测量，只考虑B 类不确定度）
3）()u k = （k 是单次测量，只考虑B 类不确定度）
4）()u d =d 是多次测量，其总不确定度是A 类和B 类的合
大学物理实验
64 成），其中
()A u d =
10=n 。

5
）()u l =l 是多次测量，其总不确定度是A 类和B 类的合成），
其中5
1
()5
(i i A u l n n +==
∑ , （其中5=n ，即认为是5次测量较为合理，注意公
式前的
5
1。

5)(...)()(4916055l l l l l l l -++-+-= ，表示每次加5个砝码对应钢丝伸长量
的平均值）
##### 各个不确定度结果的有效数字位数均不超过3位 #####
6）总不确定度的传递公式
()u E E =若上式中某些项为高阶无穷小，可忽略不计算。

总不确定度()()u E u E E E ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
##### 总不确定度结果保留1~2位有效数字 #####
3. 结果的表达
()E E u E =±， （注意末位对齐、数量级和单位写在最后）。

如11
2
(1.960.24)10N/m
E =±⨯，或11
(1.960.08)10Pa E =±⨯，不要写成
111021.9610 2.410N/m E =⨯±⨯的形式。