2.6《平面向量数量积的坐标表示》教案 北师大版必修4

2.6平面向量数量积的坐标表示

一.教学目标： 1.知识与技能

（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 2.过程与方法

通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.

3.情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点

重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题. 三.学法与教学用具

学法：(1)自主性学习法+探究式学习法

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】

[展示投影]引入：

请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】

平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？

1. 推导坐标公式：设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i •i = 1，j •j = 1，i •j = j •i = 0.

∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j

∴a •b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i •j + x 2y 1i •j + y 1y 2j 2

= x 1x 2 + y 1y 2

从而获得公式：a •b = x 1x 2 + y 1y 2 2.长度、角度、垂直的坐标表示

①a = (x , y ) ⇒ |a|2

= x 2

+ y

2

⇒ |a | =2

2y x +

②若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则−→

−AB =2

21221)()(y y x x -+-

③co s θ =

|

|||b a b

a ∙∙2

2

222

1

2

12121y x y x y y x x +++=

④∵a ⊥b ⇔ a •b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示） 【巩固深化，发展思维】

1.设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a •b

2.已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形.

3.教材P 114练习1、2题.

4.已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x •a = 9与x •b = -4的向量x .

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1. 教材P 113例1. 例2. 教材P 113例2. [展示投影]思考： 1.什么是方向向量？

2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例3. 教材P 114例3. 【巩固深化，发展思维】

教材P 115习题A 第1、2、3、4、5、6题. [学习小结]

①a = (x , y ) ⇒ |a|2

= x 2

+ y

2

⇒ |a | =2

2y x +

②若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则|−→

−AB |=2

21221)()(y y x x -+-

③co s θ =

|

|||b a b

a ∙∙2

2

222

1

2

12121y x y x y y x x +++=

④∵a ⊥b ⇔ a •b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0 五、评价设计

1．作业：习题2.6 B 组第1,2,3，4题． 2．（备选题）：

① 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B

求点B 和向量AB 的坐标。

解：设B 点坐标(x , y )，则−→

−OB = (x , y )，−→

−AB = (x -5, y -2)

∵−→

−OB ⊥−→

−AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2

+ y 2

-5x - 2y = 0 又∵|−→−OB | = |−→

−AB | ∴x 2

+ y 2

= (x -5)2

+ (y -2)2

即：10x + 4y = 29

由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧

=

=-==⇒⎩⎨⎧=+=--+272323272941002522112

2

y x y x y x y x y x 或

∴B 点坐标)23,27(-或)2

7

,23(；−→−AB =)27,23(--或)23,27(-

②在△ABC 中，−→−AB =(2, 3)，−→

−AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值。

解：当A = 90︒时，−→

−AB •−→

−AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2

3

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