三角函数公式大全及详细推导过程

三角函数公式大全及推导过程
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．
一点),(y x P ，记：2
2y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y
=αtan 余切：y x =
αcot 正割：x
r
=αsec 余割：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+ 倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα 商数关系：αααcos sin tan =
，αααsin cos cot =，αααsin tan sec =，α
α
αtan sec csc = 以上公式，均可由定义直接证明。

六角形记忆法：
构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。

（1）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和
等于下面顶点上的三角函数值的平方。

（2）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（3）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上
函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。

由此，可得商数关系式。

三、诱导公式
公式一： （同终边的角）
设α为任意角，终边相同的角的同一类三角函数的值相等：
ααπsin )2k sin(=+ ααπcos )cos(2k =+ ααπtan )tan(2k =+
公式二： （x 轴对称角）
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
αα-sin )-sin(= ααcos )cos(-= αα-tan )tan(-=
公式三： （中心对称角）
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
ααπ-sin )sin(=+ ααπ-cos )cos(=+ ααπtan )tan(=+
公式四： （y 轴对称角）
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
ααπsin )-sin(= ααπ-cos )-cos(= ααπ-tan )-tan(=
公式五： （同x 轴对称角）
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
ααπsin )-2k sin(= ααπcos )-cos(2k = ααπ-tan )-tan(2k =
公式六： （垂直关系角或y=x 对称或y=-x 对称角）
2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：
ααπcos )2sin(=+ ααπ-sin )2cos(=+ ααπ
-cot )2tan(=+
ααπcos )-2sin(= ααπsin )-2cos(= ααπ
cot )-2
tan(=
ααπcos -)23sin(=+ ααπsin )23cos(=+ ααπ
-cot )23tan(=+ ααπcos -)-23sin(= ααπ-sin )-23cos(= ααπ
cot )-23tan(=
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为： 对于Z)k (2
k ∈±•
απ
的个三角函数值，
①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，
即sin →cos ；cos →sin ；tan →cot ；cot →tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，
可以记住口诀“一全正；二正弦；三正切；四余弦”．
四、两角和差公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=
+， βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=
-
——)cos(βα-（利用两点距离公式推导），然后利用诱导公式推导)cos(
βα+， 利用平方关系式可推导)sin(βα+，再利用诱导公式推导)sin(βα-.
)tan(βα+的推导如下：
β
αβαβαβαβαβ
αβ
αβαβ
αβαβ
αβαβαβαβαtan tan 1tan tan cos cos sin sin cos cos cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )-(sin )(sin )tan(⋅-+=
⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅=⋅-⋅⋅+⋅=
+=
+ 亦可利用下图推导)cos(
βα+或)sin(βα+
证明正弦、余弦的和差角公式
五、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
——由)sin(αα+推导出α2sin
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=……)(*
——由)(cos αα+推导出，再结合平方关系.
α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
六、半角公式：
七、辅助角公式：
)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （其中a
b
=
ϕtan ） 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上Z k ∈)
.
b
tan sin cos )
sin(cos sin sin cos cos sin cos sin 2
222222
22
2
2
2
2
2a b a b b a a x b a x x b a x b
a b x b
a a
b a x b x a =+=+=++=++=++
++=+ϕϕϕϕϕϕ，即，其中，）（）
（
八、万能公式：
ααα2tan 12tan sin2+=，ααα22tan 1tan -1cos2+=，α
α
α2tan -12tan tan2=
运用两角和公式与平方关系式可推导.
α
α
ααααααααααααα2222222tan 12tan /cos sin cos cos /cos 2sin sin cos cos 2sin cos 2sin sin2+=+=+==）（）（
（常用平方关系式：1cos sin 22=+αα）
α
α
ααααααααααααα2
222222222222
2
tan 1tan -1/cos sin cos cos /sin -cos sin cos sin -cos sin -cos cos2+=+=+==）（）（ αα
α
ααα
ααα2
222tan -12tan tan 1tan -1tan 12tan cos2sin2tan2=++== 九、三倍角公式
1、 αααααααααααααααα
αααααα
αα3323
2
2
3sin 4sin 3sin 2sin )sin 1(sin 2sin 2sin cos sin 2sin )sin 21(cos cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2(sin sin 4sin 3sin3-=-+-=-+=-+=+=+=-=
2、 α
ααααααααααααααα
αααααα
ααcos 3cos 4cos 2cos 2cos cos 2cos )cos 1(2cos )1cos 2(sin cos sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2(cos cos 33cos 4cos33332
2
2
-=+--=---=--=-=+=-=
3、 α
ααα
ααα
ααααααααα
α
ααα
α
ααα
αααα23222322223223tan -1tan -3tan tan -13tan -1tan -1tan -3tan tan -12tan -tan -1tan -1tan -tan 2tan tan tan -12tan -1tan tan -12tan tan tan2-1tan tan2)2(tan tan3=
=+=⋅+=⋅+=+=
或 α
ααα
αααααααααααααααααα
αααα
αααααα2332333
22233223tan -1tan -3tan cos cos 3sin cos cos sin cos sin 3cos sin 2-cos sin cos sin sin cos cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin 2cos cos 2sin 3cos sin3tan3=--=⋅--+=-+=
=
十、积化和差公式
由βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- 两式相加，得βαβαβαcos sin 2)sin()sin(⋅=-++
所以,）（)sin()sin(21
cos sin βαβαβα-++=⋅
两式相减,得）（)sin(-)sin(2
1
sin cos βαβαβα-+=⋅
由βαβαβαsin sin cos cos )(cos ⋅-⋅=+，βαβαβαsin sin cos cos )(cos ⋅+⋅=- 两式相加，得βαβαβαcos os 2)cos()(cos ⋅=-++c
所以,）
（)cos()(cos 21
cos os βαβαβα-++=⋅c 两式相减,得）
（)(os -)cos(2
1
-sin sin βαβαβα-+=⋅c 十一、和差化积公式
有了积化和差的四个公式,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的βα+设为x ,βα-设为y ,
那么2/)(y x +=α,2/)(y x -=β
把βα、分别用y x 、表示就可以得到和差化积的四个公式:
2-cos 2sin
2sin sin y x y x y x +=+ 2-sin
2cos 2sin sin y
x y x y x +=- 2-cos 2cos
2cos cos y x y x y x +=+ 2
-sin 2sin 2cos cos y
x y x y x +=- 十二、其它公式： 1、正弦定理：R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB
C ∆外接圆半径） 2、余弦定理
A bc c b a cos 2222⋅-+=
B ac c a b cos 2222⋅-+=
C ab b a c cos 22
22⋅-+=
3、三角形的面积公式
高底⨯⨯=∆2
1ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 2
1sin 2
1sin 2
1===∆（两边一夹角）
十二、一些特殊角的三角函数值。