河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题

河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题
一、单选题
1．已知集合{}()11,2,3,4,51lg 12A B x x ⎧⎫==-≤-≤⎨⎬⎩
⎭，，则A B =I （ ） A ．11510x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．{2,3,4} C ．{2,3} D ．11310x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
2．已知函数()()22sin x x f x m x -=+⋅，则“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不
充分也不必要条件 3．已知21,e e u r u u r 是单位向量，1212
e e ⋅=-u r u u r ，则122e e +u r u u r 与2e u u r 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π3
4．艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为12cm ，则该圆锥的体积为（ ）
A
．3cm B ．3124πcm C
．3cm D ．3168πcm
5．已知数列{}{}n n a b ，
均为等差数列，其前n 项和分别为n n S T ，，满足(23)(31)n n n S n T +=-，则789610
a a a
b b ++=+（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．6
6．已知双曲线C ：22221()00a x y a b
b >-=>，，圆221:(2)4O x y -+=与圆222:(1)1O x y +-=的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为（ ）
A
B ．2 C
D
7．已知sin(3)sin()tan(2)tan m n αβαβαβα-=--=，
，则m ，n 的关系为（ ） A ．2m n = B ．1m n m += C ．1m n m =- D ．11
m n m +=-
8．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为213325
，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（ ）
A ．13
B ．2
3 C ．813 D ．1013
二、多选题
9．复数πcos isin 4z θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，其中π02θ<<，设z 在复平面内的对应点为P ，则下列说法正确的是（ ）
A ．当π4θ=时，z =
B ．当π4θ=时，12
z =-- C ．对任意θ，点P 均在第一象限 D ．存在θ，使得点P 在第二象限
10．已知函数32()f x x mx =-，2x =是函数()f x 的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A ．3m =
B ．函数()f x 在区间(1,2)-上单调递减
C ．过点(1,2)-能作两条不同直线与()y f x =相切
D ．函数[()]2y f f x =+有5个零点 11．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，点M 为11A D 的中点，点P 为正方形1111D C B A 内一点（包含边界），且//BP 平面1AB M ，球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，下列说法正确的是（ ）
A ．球O 的体积为4π3
B ．点P 的轨迹长度为
C ．异面直线1CC 与BP 所成角的余弦值取值范围为⎣⎦
D ．三棱锥11M AA B -外接球与球O 内切
三、填空题
12．()()7222x y x y +-的展开式中46x y 的系数为（用数字作答）
13．已知112x =是函数π()sin(3π)02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝
⎭的一条对称轴，()f x 在区间(,)(0)t t t ->内恰好存在3个对称中心，则t 的取值范围为．
14．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，焦距为6，点(1,1)M ，直线2MF 与C 交于A ，B 两点，且M 为AB 中点，则1AF B △的周长为．
四、解答题
15．某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下22⨯列联表：
(1)根据表中数据，依据小概率值0.005α=的独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的满意度是否与性别有关；
(2)若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体职工情况，频率近似概率．若该企业为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助，求企业本次发放总费用X 数学期望． 附：2
2
()n ad bc n a b c d χ-==+++，
16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 是矩形，122BB BC AB ===，
1160BCC AC ∠=︒，
(1)求证：1B C ⊥平面1ABC ；
(2)求平面1AB C 与平面11A BC 所成角的余弦值．
17．已知数列{}n a 满足：1212122n n n a a a a a ++==+=,,．
(1)请写出324354a a a a a a ---，，的值，给出一个你的猜想，并证明；
(2)设213n n b na +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18．已知()e x f x x =-．
(1)求()f x 的单调区间和最值；
(2)定理：若函数()f x 在(,)a b 上可导，在[]a b ，上连续，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f ξb a
-'=-．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题： 若0m n <<，求证：()2e e 111m n m n m n m ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭
． 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为π6
的直线l 与C 交于A ，B 两点．直线1l ，2l 与C 相切，切点分别为A ，B ，1l ，2l 与x 轴的交点分别为D ，E 两点，
且||DE =． (1)求C 的方程；
(2)若点P 为C 上一动点（与A ，B 及坐标原点均不重合），直线3l 与C 相切，切点为P ，3l 与1l ，2l 的交点分别为G ，H ．记DFG V ，EFH △的面积分别为1S ，2S ． ①请问：以G ，H 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
②证明：
12
S S 为定值．。