大学物理习题守恒与刚体

2
24
13 MRv MRu 8
第二十三页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
M 1 MgR L 13 MRv MRu
2
8
根据角动量定理有: M dL
dt
1 MgR d (13 MRv MRu)
2
dt 8
du 0 dt
a dv 4 g dt 13
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(C) 3F0 R 2 (D) 4F0 R 2
第十四页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题14：一小珠可以在
半径为 R 的竖直圆环上作
无摩擦滑动。今使圆环以
角速度 w 绕圆环竖直直径转
动。要使小珠离开环的底部 而停在环上某一点，则角速
m
度 w 最小应大于：
g/R
O
R
O
第十五页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
mgL = (½)Jω2 + (½)mgL
棒与球碰撞前后，棒、球系统对轴O的角动量守恒
，设 ωˊ为棒碰撞后的角速度，则有：
Jω= Jωˊ+ mυL 此过程中系统机械能守恒，则有：
(½) Jω2 = (½) Jω’2 + (½) mυ2
T m• R o
mg y
解： T mg
cos
周期 2R
v
张力在该过程中虽然大小不变，但方
向改变。
水平方向张力大小为 Tsinθ ，由于对
称性，在一周内水平方向张力冲量之和
为零。
竖直方向张力大小为 Tcosθ=mg 为常量，因而：
I T cos mg 2R 方向向上。
v
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习题2：用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木 板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在 铁锤敲打第一次时，能把钉子敲入 1 cm。如果铁锤
第二次敲打的速度与第一次完全相同，那么第二次敲 入的深度为:
（A）0.41 cm
（C）0.73 cm
（B）0.50 cm （D）1.00 cm
习题3：在水塔水面下方 1.8m处有小洞，水塔的直 径远大于小洞直径，水从小洞中流出的速度是多少。
O
x1
第十六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
解：(1)参看图 (a)，取上板的平衡位置为 x 轴的原点
，并设弹簧为原长时上板处在 x0位置。系统的弹性势
能:
E pe
1 2
k(x
x0 )2
1 2
kx02
1 2
kx 2
kxx0
系统的重力势能: E pg m1 gx
x
x0 x
F
x2
O
x1
第十七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
T m• R o
mg y
习题1：如图，圆锥摆摆球的质量为 m，以匀速率 v 在水平面内做圆周运动 ，半径为R，则此小球绕中心一周中 张力的冲量大小为：
A. mg 2R ; B. mg 2R ; C. mg 2R ; D.mg 2R
tan v
sin v
cos v
v
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对人的拉力也就可以改变，但若甲、乙二人受力情况总是相同
，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人总是
同时到达顶点。
若以二人为系统，因二人是加速上
升，所受合外力 2(T mg) ，0故系统
的动量不守恒。
以人和地球为系统，张力 T 对系统
做功，因而系统的机械能不守恒。显然
人在上升过程中机械能增加；但甲、乙 甲
习题15：用一弹簧将质量分别为m1和m2的上下两水平木 板连接如图所示，下板放在地面上。（1）如以上板在
弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点，试写 出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。（2）对上板加 多大的向下压力 F ，才能因突然撤去它，使上板向上跳而 把下板拉起来？
x
x0 x
F
x2
代入解得: F m1 m2 g
这就是说 F （m1+m2)g 时，下板就能被拉起 。
第二十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题 16. 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角
速度为ω0，设它所受的阻力矩与转动角速度成正比，
即M= -kω（k为正的常数），若它的角速度从ω0 变为
ω0 /2 ，则所需的时间 t =
不变速率 v 沿图中正三角形 ABC 的水平光滑轨道运动。质点越过 A
角时，轨道作用于质点冲量的大小 为：
3mv
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题6：对功的概念有以下几种说法： 保守力作正功时，系统内相应的势能增加； 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功 为零； 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以 两者所作功的代数和必为零。在上述说法中：
I T cos mg 2R 方向向上。
v
T m• R o
mg y
或者，根据冲量定理：
I I 0
T
P
2R
I mg j
P
v
I
I
mg
2R
j
方向向上。
T
P
v
第三页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
扩展：已知m,v, R,求质点由a到b饶半周，张力的冲量I
出发点：动量定理
外力：mg,T
（2）参看图(b)，以加力F 时为初态，撤去力F 而弹
簧伸长最大时为末态，则
初态 Ek1 0
末态 Ek 2 0
x
E p1
1 2
kx12
Ep2
1 2
kx22
x0 x
F
x2
O
x1
第十九页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
根据能量守恒定律，应有:
1 2
kx12
12时，k(x2-x0)=m2g，而kx1=F, kx0=m1g
(D) vA < 0，vB = 0
(E) vA > 0，vB > 0
第十三页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题13：一质点 在如图所示的坐标平面内作圆周运动
，有一力
F F0 (作xi用在y质j )点上。在该质点从
坐标原点运动到（0，2R）位置过程中，力对它所作的
功为：
(A) F0 R 2 (B) 2F0 R 2
，使该物体之转动半径减为0.1 m，则物体的角速度
为：
12rad/s
第十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题9：如图，轻弹簧的一端固定在倾角为 的光 滑斜面的底端 E，另一端与质量为 m 的物体 C 相连， O点为弹簧原长处，A点为物体 C的平衡位置， x0 为弹
簧被压缩的长度。如果在一外力作用下，物体由A点沿斜
所以总势能为:
E ＝E ＋E 1 kx2 kx x m gx
p
pe
2 pg
0
1
考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得kx0=m1g，代 入上式得:
Ep
1 2
kx 2
可见，如选上板在弹簧上静止的平衡位置为原点和势
能零点，则系统的总势能将以弹性势能的单一形式出现。
第十八页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
(g =10m/s2)
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题4：有一质量为 m = 0.5 kg的质点，在 xy 平面
内运动，其运动方程为 x=2t+t2，y=3t (SI)，在t=1s至
t=3s这段时间内，外力对质点所作的功为：
（A）12J （B）30J （C）40J （D）58J
习题5：质量为 m 的质点，以
所以二人的加速度相同。二人的初始状态
和运动相同，所以二人(绝对)速度为：
v v0
t
adt
0
tT
0
mg dt m
甲
乙
其中v0 = 0，即二人在任一时刻的速度相
同，上升的高度也相同，同时到达顶点。
第二十五页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
说明：人用力上爬时，人对绳子的拉力可改变，因此绳
第二十七页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
习题19：长为 L 的均匀细杆可绕过端点的固定水平 光滑轴转动。把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位 置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。球的质量和杆 相同(m)。设碰撞为弹性，求碰后小球获得的速度。
解: 棒与地球系统机械能守恒，以地面为势能零点， 设ω为棒在竖直位置的角速度，则有：
。
解：
① 用转动定律求；
② 依题意，有-kω=Ja ；
③ 分离变量，得- k/J dt = dw/w，并积分，
初始条件为 t = 0,ω =ω0
答案：t =(J/k)In2
第二十一页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
习题17：一轻绳绕过一半径 为 R 质量为 M/4 的滑轮。质量为 M的人抓住了绳的一端，而在绳 的另一端系了一个质量为 M/2 的
(SI )
3
习题11：湖面上有一小船静止不动，船上有一打渔
人质量为60 kg。如果他在船上向船头走了 4.0米，但相
对于湖底只移动了 3.0米，(水对船的阻力略去不计) ，则小船的质量为 :
180 kg
第十二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题12：A、B两条船质量都为M，首尾相靠且都
静止在平静的湖面上，如图所示。A、B两船上各有一质
重物，如图所示。求当人相对于绳 匀速上爬时，重物上升的加速度是 多少？
RM 4
M
M 2
第二十二页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
解: 选人、滑轮与重物为系统，所受的外力
矩（对滑轮轴）为: M 1 MgR 2
设 u 为人相对绳的匀速度，v 为重物上升
的速度。则该系统对轴的角动量为:
L M vR M (u v)R (1 M R2 )
P
2
2v
mTva
•
a •o
R
mg
•b
mvb
y
mva a•
IT (mvb mva ) I P
mvb
IP
mva
2mv mgR / v
IT
I
的大小
T
（2mv)2 (mgR / v)2
• b mvb
I
的方向
T
tan
2mv
2v 2
mgR / v gR
第五页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
此结果也可用角动量守恒得到：
mv1R mv2R 0
v1 v2
设绳子的牵连速度为 v0，滑轮逆时针向
甲
乙
转动，则滑轮左侧绳子的 v0向下，而滑
轮右侧的 v0向上。按速度合成原理有：
v1 u v0; v2 u / 2 v0
所以：u v0 u / 2 v0
v0 u / 4; v1 v2 3u / 4
量均为 m的人，A船上的人以相对于A船的速率 u跳到 B船上，B船上的人再以相对于 B船的相同速率 u 跳到A 船上。取如图所示 x 坐标，设 A、B船所获得的速度 分别为 vA、vB，下述结论中哪一个是正确的?
(A) vA = 0，vB = 0 (B) vA = 0，vB > 0
(C) vA < 0，vB > 0
乙
二人相对滑轮轴的合外力矩等于零：
M TR TR mgR mgR 0
故系统对轴的角动量守恒。
第二十六页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
2）当甲相对绳的运动速度 u 是乙相对绳的速度的 2
倍时，甲、乙二人的速度各是多少？
解：设甲的速度为 v1、乙的速度为 v2，从1）知二人的速度相等： v1 v2
面向上缓慢移动了2x0距离而到达B点，则该外力所作功
为：
2 mg x0 sin
第十一页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题10：质量为0.25 kg的质点，受力 (SI)的作用
，式中t为时间．t = 0时该质点以 (SI)的速度通过坐标原
点，则该质点任意时刻的位置矢量是 ：
2
t
3i
2t
j
I
T ,I
mTva
•
a •o
R
mg
•b
mvb
y
mva
a
•
PT
I I mv mv
P
T
b
a
mvb
mva
水平面内向右
mvb
mva
IP
IT
重力冲量: I mg mg 2R
• b mvb
P
2
2v
第四页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
重力冲量竖直平向下: I mg mg 2R
(A) (1)、(2)是正确的； (B) (2)、(3)是正确的； (C) 只有(2)是正确的；
(D) 只有(3)是正确的。
第八页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题7：质点的质量为 m，置于
光滑球面的顶点A处(球面固定不动)， 如图所示。当它由静止开始下滑到球 面上B点时，它的加速度的大小为：
习题18：一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮
，质量皆为m 的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度
静止开始加速上爬，如图所示。 问：1）二人是否同时达
到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否
守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒
？
解：1）根据题意，甲、乙二人受力
情况相同：受绳的张力均为 T，重力 mg，
(A) a 2g(1 cos )
(B) a g
(C) a g sin
(D) a 4g 2 (1 cos )2 g 2 sin 2
第九页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
习题8：质量为0.05 kg的小块物体，置于一光滑水
平桌面上。有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中
心的小孔（如图所示）。该物体原以3 rad/s的角速度 在距孔0.2 m的圆周上转动。今将绳从小孔缓慢往下拉