2014年北京高考理科数学试题及参考答案

第1页 2014年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

(1) 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，若A

B =

(A) {0} (B) {0,1} (C) {0,2} (D) {0,1,2} (2) 下列函数中，在区间(0,}+∞上为增函数的是

(A) y (B) 2=(1)y x - (C) 2x y -= (D) 0.5log (1)y x =+

(3) 曲线1cos 2sin x y =-+⎧⎨=+⎩

θ

θ ，（θ为参数）的对称中心

(A) 在直线2y x =上 (B) 在直线2y x =-上 (C) 在直线1y x =-上 (D) 在直线1y x =+上 (4) 当7m =,3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 (A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840

(5) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递 增数列的

(A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件

(6) 若,x y 满足20

200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

且z y x =-的最小值为4-，则k 的值是

(A) 2 (B) 2- (C) 12 (D) 12

-

S k

(7) 在空间坐标系O xyz -中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,1D ，若1S ，

2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 则坐标平面上的正投影图形

的面积，则

(A) 1S =2S =3S (B) 1S =2S 且31S S ≠ (C) 1S =3S 且32S S ≠ (D) 2S =3S 且13S S ≠

(8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩

不低于B 同学，且至少有一颗成绩比B 高，则称 “A 同学比B 同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生

(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 (9) 复数2

11i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭

_____ ． (10) 已知向量a 、b 满足||1a =，a 、(2,1)b =且0a b +=λ，则||=λ_____ ．

(11) 在设曲线C 经过点(2,2)，且2214

y x -=具有相同渐近线，则C 的方程是 ．

(12) 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =______时，

{}n a 的前 n 项和最大．

(13) 把5件不同的产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻 ，且产品A 与产品C 不相邻，

则不同的摆法有_____ 种．

(14) 设函数 ()sin()f x A x =+ωϕ（,,A ωϕ是常数，0,0A >>ω），若()f x 在区间[

,]62

ππ

上具有单调性，且2()(

)-()2

36

f f f π

ππ

==，则()f x 的最小正周期为 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 (15)（本小题13分） 如图，在ABC ∆中，3B ∠=π，8AB =，点D 在BC 边上，且CD =2，1cos 7

ADC ∠= （Ⅰ）求sin BAD ∠． （Ⅱ）求BD ，AC 的长．

李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）

（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过0.6的概率；

（Ⅲ）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这

E X和x的大小。

场比赛中的命中次数，比()

如图，正方形AMDE 的边长为2， B ，C 分别为AM 和MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为PE 的中点，平面ABC 与棱PD ，PC 分别相较于点G 、H ．

（Ⅰ）求证：//AB FG ；

（Ⅱ）若PA ⊥平面ABCDE ，且A 为垂足，求直线BC 与平面ABF 所成的角，并求线段P

的长

E

D

C M

F

B

A

P

H

G

已知函数()cos sin f x x x x =-，[0,]2

x ∈π

（Ⅰ）求证：()0f x ≤； （Ⅱ）若sin x

a b x

<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．

已知椭圆C ：22

24x y +=．

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在椭圆G 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB

与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．