(微积分)第十章课后习题全解

5 B0 = − 72 , 12 B0 + 2 B1 = 0, ⇒ ⇒ B = 5, 12 B1 = 5, 1 12
2. 选择题. (1)下列微分方程中是一阶线性微分方程的是(
A
).
A. xy ′ = y + x 2 B. xy ′ ⋅ e y = 1 C. y ′′ = x D. ( xy − x 2 ) y ′ = y 2
∴ 特解为 y = (1 − 3 x ) e3 x .
( 5) 求微分方程y′′ − 3 y′ +
9 y = e x的通解; 4
解 属于二阶常系数非齐次微分方程, 通解形式为 y = y (齐次通解) + y* ( 非齐次一个特解 ) ,
一个特解的形式为 y* = Ae x ,
x
9 9 3 ′′ − 3 y′ + y = 0, 特征方程为r 2 − 3r + = 0, r − = 0, 对于齐次方程 y 4 2 4 3 3 x 特征根为r1 = r2 = , 齐次方程通解 y = ( c + c x ) e 2 , 1 2 2 9 对于y′′ − 3 y′ + y = e x ,由于λ =1 ≠ r1,2 , 4
1 1 d ( u 2 − 2u − 1) = − ln x + ln C1 , 2 ∫ u 2 − 2u − 1 y 2 2 y 2 2 − − 1 ⋅ x = C12 , ln ( u − 2u − 1) + 2 ln x = 2 ln C1 , x x
*
5 5 ( 5 ) 差分方程2 yt +1 + 10 yt − 5t = 0的通解为 y = A ( −5) − 72 + 12 t
t
对应齐次方程2 yt +1 + 10 yt = 0, 特征方程: 2λ + 10 = 0,
特征根λ = −5, 齐次通解为解为 y = A ( −5 )t ,
非齐次方程2 yt +1 +10 yt = 5t ⋅1t ,
( 2 ) 函数y = e
A. y′ − y = e
x
∫
0 x
e dt + ce x是微分方程( B )的解.
t2
x + x2
B.
x
y ′ − y = −e
y ′ = −e
x
x + x2
C. y′ + y = e
x + x2
D. y′ + y = −e
x + x2
y = −e
x
∫
x
0
e dt + ce ,
y′ = 3 ( c1 + c2 x ) e3 x + c2e3 x = e3 x ( 3c1 + c2 + 3c2 x ) , c1 = 1, c1 = 1, 将y (0) = 1， ′(0) = 0代入, 3c + c = 0, ⇒ c = −3, y 1 2 2
通解为 y = ( c1 + c2 x ) e3 x .
A yt = (−1)t A + B 4t
yt = (−1)t + B 4t
B
yt = (−1)t B
D yt = A4t.
分析 yt − 3 yt −1 − 4 yt − 2 = 0特征方程λ t − 3λ t −1 − 4λ t − 2 = 0,
⇒ λ 2 − 3λ − 4 = 0.
等价方程为yt + 2 − 3 yt +1 − 4 yt = 0 特征方程 λ t + 2 − 3λ t +1 − 4λ t = 0,
∫ ( x + 1) e ∫ dx dx + C = e − x z=e ∫
− dx
( 3)
( x ln x − ∫ dx + C )= e
(
ln x ⋅ e − sin x ⋅ e ∫ cos xdx dx + C ∫ − sin x ∫ ln xdx + C = e x ln x − ∫ xd ln x + C
特征根为r1 = 1, r2 = −1, * 而非齐次方程y′′ − y = e x , λ = 1 = r1 , 特解形式为y1 = axe x ,
而非齐次方程y′′ − y = 1 (即e0⋅ x ) , λ = 0 ( 不是特征根 ) ,
* 特解形式为y2 = b, ∴ y′′ − y = e x + 1的一个特解的形式为axe x + b. ( 4 ) 与差分方程yt +1 − yt = 2t 2等价的是 ( C )
⇒ λ 2 − 3λ − 4 = 0 特征根为λ1 = − 1或λ2 =4,
通解为 y = ( −1) A + B ⋅ 4t.
t
3. 解答题.
1) 求解微分方程 ( x3 + y 3 )dx − 3 xy 2 dy = 0; (
(1)
求解微分方程 ( x3 + y 3 )dx − 3 xy 2 dy = 0;
t2
x + x2
∫
x
0
e dt − e ⋅ e + ce x ,
t x x2
y ′ − y = −e
,
3) 微分方程y′′ − y = e x + 1的一个特解应具有形式 ( D (
)
x
A ae + b
x
B axe + bx
x
C ae + bx D axe + b.
x
对应齐次方程y′′ − y = 0, 特 征 方程 r 2 − 1 = 0,
xdu 1 2u = 2− , dx 3u 3 u2 dx 3∫ du = ∫ , 3 1 − 2u x
2 y3 x2 − = C, x
通解为 x3 − 2 y 3 = Cx.
′ + y cos x = (ln x)e− sin x ; ( 2 ) 求解微分方程y
解 属于一阶线性非齐次微分方程
y=e ∫
y 2 − 2 xy − x 2 = C. ( C = C12 )
( 3)
微分方程y ′′ + 5 y′ + 6 y = 0的通解为
y = C1e −2 x + C2 e −3 x
特征方程为 r 2 + 5r + 6 = 0,
其特征根为r = −2或r = −3, 通解为y = C1e −2 x + C2 e −3 x , ( 其中C1 , C2为任意常数 ) .
0 x 0
0 x
0
x
ϕ ′ ( x ) = − sin x − ∫ ϕ (u )du, ϕ ′′ ( x ) = − cos x − ϕ ( x ) ,
0
0 x
(二阶常系数非齐次微分方程 )
特征根为 r1,2 = 0 ± i,
A
yt − yt −1 = 2t 2
B
yt + 2 − yt +1 = 2t 2
2
C yt − yt −1 = 2(t − 1) 2
D yt − yt −1 = 2(t + 1) 2
令yt = zt −1 , ⇒ zt − zt −1 = 2 ( t − 1) .
(5)
C
差分方程yt − 3 yt −1 − 4 yt − 2 = 0的通解为 ( A )
又λ =2是其一个单根, 所以设非齐次一个特解形式为 y = Axe , * ′′ * ′ 2x y = Ae (1 + 2 x ) , y = 2 Ae 2 x (1 + 2 x + 1) = 2 Ae 2 x ( 2 + 2 x ) ,
2x
( )
化简得 3A = 1,
1 A= . 3
1 2x 所以一个特解为 y = xe . 3
0
x
求ϕ ( x); x x 解 ϕ ( x) = cos x − ∫ xϕ (u )du + ∫ uϕ (u )du ,
ϕ ′ ( x ) = − sin x − ∫ ϕ (u )du − xϕ ( x) + xϕ ( x),
ϕ ′′ ( x ) + ϕ ( x ) = − cos x,
ϕ ( x) = cos x − x ∫ ϕ (u )du +x 3 y 3 x
解 属于齐次式方程
y xdu + udx 1 u 令 = u , y = ux, dy = udx + xdu , = 2+ , x dx 3u 3
xdu 1 1 − 2u 3 = , 2 dx 3 u d (1 − 2u 3 ) 1 ⇒− ∫ = ln x + ln C1 , 3 2 1 − 2u 1 1 3 2 2 3 ln (1 − 2u ) + ln x = ln 2 , x (1 − 2u ) = C C = 2 , C1 C1
Q1 ≠ λ = −5, 设特解形式为y* = ( B0 + B1t ) ⋅1t = B0 + B1t , 代入非齐次方程得:
2 B0 + B1 ( t + 1) + 10 ( B0 + B1t ) = 5t ,
12 B0 + 2 B1 + 12 B1t = 5t ,
*
5 5 y = − + t.∴ 非齐次的通解为y = A ( −5 )t − 5 + 5 t. 72 12 72 12
=e
− cos xdx
= e − sin x
− sin x
求解微分方程(cos y ) y ′ = x + 1 − sin y; 解 原方程变形为 ( cos y ) y′ + sin y = x + 1, 令 z = sin y, dz dy dz = (cos y ) ⋅ , 得 + z = x + 1, dx dx dx
2
代入非齐次方程得
1 A = 1, A = 4, 特解为 y* = 4e x , 4
9 x Ae − 3 Ae + Ae = e x , 4
x
3 x 2
原非齐次微分方程通解为 y = ( c1 + c2 x ) e + 4e x .
( 6)
设ϕ ( x)为二次可微函数,且ϕ ( x) = cos x − ∫ ( x − u )ϕ (u )du ,
y ( 4 − x ) = Cx.
4
y 2 − 2 xy − x 2 = C ( 2 ) 微分方程( x + y )dx − ( y − x)dy = 0的通解为 y 1+ dy x, dy x + y = 化为齐次式方程为 = , dx y −1 dx y − x x y 令 = u ,y = ux , dy = udx + xdu, udx + xdu = 1 + u , x dx u −1 2 xdu 1 + u u −1 dx xdu 1 + 2u − u = − u, du = − ∫ , = , ∫ 2 u − 2u − 1 x dx u − 1 dx u −1
2x
( 4 ) 微分方程y′′ − y′ − 2 y = e
的一个特解为
Q其对应齐次线性方程为y′′ − y′ − 2 y = 0, 特征方程为r 2 − r − 2 = 0, 特征根为r = 2或r = −1,
1 2x y = xe 3
*
( )
代入方程得 2 Ae 2 x ( 2 + 2 x ) − Ae 2 x (1 + 2 x ) − 2 Axe 2 x = e 2 x ,
( xe − ∫ e dx + e
x x
x
+C = e
)
−x
( xe
x
−e + e +C)
x x
( 4)
求微分方程y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0满足初始条件y (0) = 1， ′(0) = 0的特解; y
解 属于二阶常系数齐次微分方程, 特征方程为：r 2 − 6r + 9 = 0, 特征根为r1 = r2 = 3,
复习题十 1. 填空题.
y 4 ( 4 − x ) = Cx. (1) 微分方程ydx + ( x − 4 x)dy = 0的通解为
2
dy dx 分离变量得 = , 2 y 4x − x
dy dx ∫ y = ∫ 4x − x2 ,
1 1 1 1 1 1 ln y = ∫ + d (4 − x)], dx, ln y = [ ∫ dx − ∫ 4 x 4− x 4 x 4− x 1 1 ln y = ln x − ln 4 − x + ln C , 4 ln y + ln ( 4 − x ) = ln Cx, 4 4
)
− sin x
(
( x ln x − x + C ) .
)
( x + 1) e x dx + C ∫
=e
−x
∫
= e − x xe x − ∫ e x dx + e x + C xde + e + C
x x
(
)
=e
−x
= e − x ( xe x + C ) 通解为 sin y = e − x ( xe x + C ) .