高等数学试题及答案2

《高等数学》
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一、判断（每小题 2 分，共 20 分）
1. f(x)在点x 0处有定义是f(x)在点x 0处连续的必要条件. ( )
2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. ( )
3. y=f(x)在x 0处可导,则y=|f(x)|在x 0处也可导. ( )
4. 初等函数在其定义域内必连续. ( )
5. 可导函数f(x)的极值点一定是f(x) 的驻点. ( )
6. 对任意常数k,有⎰dx x kf )(=k ⎰dx x f )(. ( )
7. 若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界. ( )
8. 若f(x,y)在区域D 上连续且区域D 关于y 轴对称,则当f(x,y) 为关于x 的奇函数时,⎰⎰D
dxdy y x f ),(=0. ( )
9. )(y '2=-2x -e x
的通解中含有两个独立任意常数. ( )
10. 若z=f(x,y)在P o 的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P 0连续. ( )
二、填空（每空 2 分，共20 分）
1.∞→x lim [xsin x 1+x
1sinx+(x x +2)x ]= . 2. 函数f(x)=x x -3在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值ξ= .
3. 设f(x)=⎩⎨⎧≥+<0
0x x a x e x 当a= 时,f(x)在x=0处连续.
4. 设z=e y x 22+ ,则dz | (0,0)= .
5. 函数f(x)=e x -x -1在 内单调增加;在 内单调减少.
6. 函数32y ax bx cx d =+++满足条件 时, 这函数没有极值.
7.dx d
⎰b
a x 2sin dx = 其中a,
b 为常数.
8. f '(x)=1且(0)0f =,则
⎰dx x f )(= . 9.若I=⎰⎰1
02),(x
x y x f dx dxdy 交换积分次序后得 .
三、计算（每小题 5 分,共 40 分）
1. 求0lim →x (21x -xtgx
1) ； 2. dt t t x e ⎰1ln +dt t y )3(cos 1⎰+=2,求dy ； 3. 求dx x x ⎰+)1(1； 4. 求dx x ⎰--1431
11 ； 5. 求dx xe x ⎰∞+-02； 6. 设z=ln(x 2+y 2
) 求x z ∂∂,y x z ∂∂∂2； 7. 计算 I=⎰⎰D xdxdy .其中D 是由圆x
2+y 2=4围成的区域；
8. 求微分方程-ydx+(x+y 3)dy=0的通解.
四、应用题(每题7分,共14分)
1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.
2. 求由y=
x
1,x=1,x=2与x 轴所围成的图形的面积及该图绕x 轴旋转一周的旋转体的体积.
五、证明(本题6分)
证明:当x >0时,不等式1+x x +>12
1成立. 高等数学参考答案
一、判断正误（每题2分，共20分）
1 √ ；
2 √ ；
3 ╳ ；
4 ╳ ；
5 √ ； 6╳ ； 7 √ ； 8 √ ； 9 ╳ ； 10 ╳.
二、填空题（每题4分，共20分）
1. 21e +；
2. 2 ；
3. 1 ；
4. 2dx ；
5.[0)∞，+，,0]∞（- ；
6. 2
30b ac -<；
7.0； 8. 212x c + ； 9. 10(,)y dy f x y dx ⎰⎰ .
三、计算题与证明题（共计60分）
1. 2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=20tan lim tan x x x x x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭=30tan lim x x x x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭
=20sec 1lim 3x x x →-⎛⎫= ⎪⎝⎭202sec tan 1lim 63
x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2. 方程两边同时对x 求导得：
则 ln (cos 3)0x
x x e e y y e
'++= (cos 3)0x y ++=
cos 3
x y y '=-+ cos 3x dy dx y =-
+
3. ⎰
=21d x +⎰
=2
=c 4、 令
212t
x t dx tdt ==-=- 当 34x =时12
t =；当1x =时0t = 原式=112
21t dt t --⎰=112200122111t dt dt t t =+--⎰⎰ =1
202[ln 112ln 2t t +-=- 5.⎰⎰∞+-∞
+-'-=0202)21(dx e x dx xe x x ⎰∞+-+∞----=020
2)21()21(dx e e x x x 414
102=-=+∞-x
e 6. 2
222222)(1y x x y x y x x z +='++=∂∂ 2
222222)(42)(2y x xy y y x x y x z +-=+-=∂∂∂ 7.令 ⎩⎨⎧==θ
θsin cos r y r x ，
⎰⎰⋅=πθθ202
0cos rdr r d I 0]31[][sin cos 2032020202=⋅==⎰⎰r dr r d ππθθθ
8.解： 2
1y x y dy dx =-
)(1
21
c dy e y e x dy
y dy y +⎰⎰⎰=-
)21
(2c y y +=
∴ 原方程的通解为：)21
(2c y y x +=
四、（每题7分，共14分）
1.解：设长方形的长和宽分别为x 和y ，面积为s ，则202=+y x 即 y x 220-= 2220y y xy s -== )0(>y
0420=-='y s ，得5=y
04<-=''s
∴当长10=x M ；宽5=y M 时，面积最大。

五、（本题6分） 令x x x f +-+=121
1)( 0121
21)(>+-='x x f
∴ 0)0()(=>f x f
即x x +>+121
1。