专题21 三角形压轴题之线段数量与位置关系(解析版)

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专题21 三角形压轴题之线段数量与位置关系
知识对接
考点一、利用三角形全等判断线段的关系的方法 两条线段的关系要从数量关系和位置关系两个方面考虑.
1.数量关系一般是相等,可通过证明三角形全等得到;位置关系一般是平行或垂直,从图中可直接看出.
2.证线段平行时,通常转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补,这些角的关系一般根据全等三角形的性质得到;证明线段垂直的方法通常是证明线段所在直线所夹的角是90°.
专项训练
一、单选题
1．（2021·北京东城·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，点A （1，3与⊙O 的位置关系是（ ） A ．在⊙O 上 B ．在⊙O 内 C ．在⊙O 外 D ．不能确定
【答案】A 【分析】
根据点A 的坐标，求出OA =2，根据点与圆的位置关系即可做出判断． 【详解】
解：⊙点A 的坐标为（13， ⊙由勾股定理可得：OA ()
2
21+3，
又⊙⊙O 的半径为2， ⊙点A 在⊙O 上． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离d 和圆的半径r 间的大小关系确定的：（1）当d r 时，点在圆外；
（2）当d r =时，点在圆上；（3）当d r <时，点在圆内．
2．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4
cos 5
A =，以点
B 为圆心，r 为半径作B ，当3r =时，B 与A
C 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
【答案】B 【分析】
根据Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4
cos 5
A =
，求出AC 的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC 与半径r 的大小，即可得出B 与AC 的位置关系． 【详解】
解：⊙Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4cos 5
A =， ⊙cosA=
4
5
AC AB = ⊙5AB =， ⊙AC=4
3
当3r =时，B 与AC 的位置关系是：相切 故选：B 【点睛】
本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC 是解题的关键．
3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，点A 的坐标为（2，1），将线段OA 绕O 点顺时针旋转90°．得到线段OB ．若正比例函数y ＝kx 图象经过点B ，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．﹣1
D ．﹣2
【答案】D 【分析】
如图，过A 点作AC ⊙x 轴于C ，过B 点作BD ⊙x 轴于D ，先证明AOC △⊙OBD ，得到OD
3
＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，则B 点坐标可求，最后将点B 的坐标代入函数y kx =，即可求解． 【详解】
解：如图，过A 点作AC ⊙x 轴于C ，过B 点作BD ⊙x 轴于D ，
⊙点A 的坐标为（2，1）， ⊙OC ＝2，AC ＝1，
⊙线段OA 绕O 点顺时针旋转90°得到线段OB ， ⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝90°， ⊙⊙AOC +⊙BOD ＝90°， ⊙AC ⊙x 轴， BD ⊙x 轴， ⊙⊙ACO ＝⊙BDO ＝90°， ⊙⊙AOC +⊙OAC ＝90°， ⊙⊙BOD ＝⊙OAC ． 在AOC △和OBD 中
ACO BDO OAC BOD OA BO ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ⊙AOC △⊙OBD （AAS ）， ⊙OD ＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2， 又⊙点B 在第四象限， ⊙B 点坐标为（1，﹣2），
将点B 的坐标代入函数y ＝kx ，得：﹣2＝k ， 解得：k ＝﹣2， 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，证明
AOC △⊙OBD 是解答此题的关键．
4．（2021·江门市第二中学九年级）如图，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且AM BN =，3AD AM =，E 为BC 边上一动点，连接DE ，将DCE
∆
沿DE 所在直线折叠得到⊙DC E '，当C '点恰好落在线段MN 上时，NE 的长为( )
A ．
B ．5
C ．3
D ．【答案】A 【分析】
设CE =x ，则C ′E =x ，证明四边形MNCD 是矩形，由矩形的性质得出⊙DMN =⊙MNC =90°，MN =CD =10，由折叠的性质得出C ′D =CD =10，求出6MC '=，则4NC '=,在Rt NEC '中，由勾股定理得出222(8)4x x --=，解方程可得出答案． 【详解】
解：设CE =x ，则C ′E =x ， ⊙矩形ABCD 中，AB =10，
⊙CD =AB =10，AD =BC =12，AD∥BC ，
⊙点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM =AD ，BN =AM ， ⊙DM =CN =8，
⊙四边形CDMN 为平行四边形， ⊙⊙NCD =90°，
⊙四边形MNCD 是矩形，
⊙⊙DMN =⊙MNC =90°，MN =CD =10， 由折叠知，C ′D =CD ,10，
⊙6MC '==， ⊙1064CN '=-=， ⊙EN =CN -CE =8-x ， ⊙C ′E 2-NE 2=C ′N 2， ⊙222(8)4x x --=， 解得，5x =，
即853NE CN CE =-=-=． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5
5．（2021·江苏九年级）已知线段a ，b ，c ，求作：ABC ，使BC a =，AC b =，AB c =．下面的作图顺序正确的是（ ）
⊙以点A 为圆心，以b 为半径画弧，以点B 为圆心，以a 为半径画弧，两弧交于C 点； ⊙作线段AB 等于c ；
⊙连接AC ，BC ，则ABC 就是所求作图形． A ．⊙⊙⊙ B ．⊙⊙⊙ C ．⊙⊙⊙ D ．⊙⊙⊙
【答案】C 【分析】
先画AB c =，确定A 、B 点位置，然后通过画弧确定C 点位置，从而得到ABC ． 【详解】
⊙先作线段AB 等于c ，⊙再以点A 为圆心，以b 为半径画弧，以点B 为圆心，以a 为半径画弧，两弧交于C 点，⊙然后连接AC ，BC ，则ABC 就是所求作图形． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了作图，作一个三角形，使这个三角形的三边等于已知的三条线段，其实质是作一条线段等于已知线段，原理是全等三角形的边边边判定定理．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图问题分解成基本作图来解决． 6．（2021·河北九年级）在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()2,B m -，当线段AB 最短时，m 的值为（ ） A ．5 B ．3 C ．4 D ．0
【答案】C 【分析】
根据两点之间的距离公式即可求得m 的值． 【详解】
解：根据两点之间的距离公式得 222(32)(4)(4)25AB m m ++-=-+⊙当4m =时，AB 最小 故答案为C ． 【点睛】
此题考查了平面直角坐标系中动点问题，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 7．（2021·山东九年级模拟预测）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：⊙作线段AB ，分别以A ，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧的交点为C ；⊙以C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ；⊙连接BD ，BC ．下列结论不正确的是（ ）
A ．30CBD ∠=︒
B ．点
C 是AB
D △的外心
C ．2ABD
S
AB =
D ．22sin cos 1A D +=
【答案】D 【分析】
根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】
解：由作图可知：AC AB BC ==， ⊙ABC 是等边三角形，60A ABC ∠=∠=︒， 由作图可知：CB CA CD ==，
⊙点C 是ABD △的外心，90ABD ∠=︒，BD =，
⊙30D CBD ∠=∠=︒，2ABD S AB =△，
⊙AC CD =，⊙2BDC S AB =
△，
⊙2
2
223
sin cos 2A D +=+=⎝⎭⎝⎭
， 故A 、B 、C 正确，不符合题意；D 不正确，符合题意， 故选：D ． 【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角函数，三角形面积的求法等，根据作图找到相应的边角条件是解题的关键．
8．（2021·山东九年级）如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB ，⊙B 是锐角，AE ⊙BC 于点E ，F 是AB 的中点，连接DF ，EF ．若⊙EFD ＝90°，则线段AE 的长为（ ）
7
A ．2
B ．1
C 3
D 5【答案】D 【分析】
延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE x =，首先证明2DQ DE x ==+，利用勾股定理构建方程即可求解． 【详解】
解：如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE x =，
四边形ABCD 是平行四边形， //DQ BC ∴，
Q BEF ∴∠=∠,
,AF EB AFQ BFE =∠=∠， ()QFA EFB AAS ∴≌， ,AQ BE x QF EF ∴===， 90,EFD DF QE ∠=︒∴⊥， 2DQ DE x ∴==+， ,//AE BC BC AD ⊥，
,90AE AD AEB EAD ∴⊥∠=∠=︒，
22222AE DE AD AB BE =-=-， 22(2)46x x ∴+-=-，
解得：121,3x x ==-（舍去）
1BE ∴=，
22615AE AB BE ∴--=
故选：D ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握相关知识点，添加辅助线、构造全等三角形来解决问题．9．（2021·浙江九年级期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，按以下步骤作图：⊙以点B 为圆心，适当的长为半径作弧，交AB，BD于E，F两点；⊙分别以点E和点F为圆心，
以大于1
2
EF的长为半径作弧，两弧交于点P；⊙作射线BP，交线段AD于点M．此时点M
恰好是线段AD的中点，则CM的长为（）
A B C．D．3
【答案】B
【分析】
根据作图证明⊙ABD为等腰三角形，根据菱形的性质证明⊙ABD为等边三角形，再证明MBC
∆是直角三角形,根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：由作图步骤⊙⊙⊙步可得：BP为⊙ABD的平分线，
又⊙M为AD的中点，
⊙⊙ABD为等腰三角形，AB=BD
⊙四边形ABCD是菱形，且边长为2
⊙AB=BC=CD=DA=2
⊙⊙ABD为等边三角形，
⊙⊙ABD=⊙BAD=60°
⊙⊙ABM=⊙DBM=30°，⊙DBC=60°
⊙⊙MBC=⊙MBD+⊙DBC=30°+60°=90°
又⊙AD=2，M为AD的中点，⊙ABD为等边三角形
⊙AM=1
1 2
AD=
⊙
BM
在Rt⊙MBC中，CM==故选：B．
【点睛】
9
此题主要考查了菱形的性质、等腰三角形和等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明⊙ABD 为等边三角形是解答此题的关键．
10．（2021·广东广州·执信中学九年级模拟预测）如图，一次函数2y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30交x 轴于点C ，则线段AC 长为（ ）
A 62
B ．32
C ．23
D 32【答案】A 【分析】
根据一次函数表达式求出点A 和点B 坐标，得到⊙OAB 为等腰直角三角形和AB 的长，过点C 作CD ⊙AB ，垂足为D ，证明⊙ACD 为等腰直角三角形，设CD =AD =x ，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD ，得到关于x 的方程，解之即可． 【详解】
解：⊙一次函数2y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， 令x =0，则y 2y =0，则x =2 则A （2-，0），B （02，
则⊙OAB 为等腰直角三角形，⊙ABO =45°， ⊙AB ()()
2
2
22+，
过点C 作CD ⊙AB ，垂足为D ， ⊙⊙CAD =⊙OAB =45°，
⊙⊙ACD 为等腰直角三角形，设CD =AD =x ， ⊙AC 22AD CD +2， ⊙旋转， ⊙⊙ABC =30°， ⊙BC =2CD =2x ，
⊙BD 22BC CD -3， 又BD =AB +AD =2+x ， ⊙2+x 3
， 解得：x 3，
x）
⊙AC
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
二、填空题
11．（2021·江苏省天一中学九年级）如图，直线y＝x+b（b>0)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在第一象限内，⊙OPB=45o，则线段OP、AP、BP满足的数量关系式为______．
【答案】BP2+2OP2=AP2
【分析】
以OP为边作等腰直角三角形OPQ，证明⊙AOP⊙⊙BOQ，得到AP=BQ，证明⊙BPQ为直角三角形，得到BP2+PQ2=BQ2，再利用等量代换即可得到结论．
【详解】
解：如图，以OP为边作等腰直角三角形OPQ，
则OP=OQ，⊙POQ=90°，⊙OPQ=⊙OQP=45°=PQ，
⊙直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=b，令y=0，则x=-b，
即A（-b，0），B（0，b），即OA=OB=b，
⊙⊙OAB是等腰直角三角形，⊙OAB=⊙OBA=45°，
⊙⊙AOB+⊙POB=⊙POQ+⊙POB，即⊙AOP=⊙BOQ，
OA=OB，OP=OQ，
11
⊙⊙AOP ⊙⊙BOQ （SAS ）， ⊙AP =BQ ， ⊙⊙OPB =45°，
⊙⊙BPQ =⊙OPB +⊙OPQ =90°， ⊙在⊙BPQ 中，BP 2+PQ 2=BQ 2， ⊙BP 2+2OP 2=AP 2，
故答案为：BP 2+2OP 2=AP 2．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，有一定难度，解题的关键是添加辅助线，构造出全等三角形． 12．（2021·清远市清新区凤霞中学九年级一模）如图，点D 是锐角AOB ∠内一点，DE OA ⊥于点E ，点F 是线段OE 的一个动点，点G 是射线OB 的一个动点，连接DF 、FG 、GD ，当DFG 的周长最小时，FDG ∠与AOB ∠的数量关系式是________．
【答案】2180FDG AOB ∠+∠=︒ 【分析】
作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时⊙DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，根据轴对称的性质得出⊙GOD ⊙⊙GOD ″，⊙FOD ⊙⊙FOD ′，即可得出⊙BOD =⊙BOD ′，⊙ODG =⊙OD ″G ，⊙DOA =⊙AOD ′，⊙ODF =⊙ODF ′，由⊙D ′OD ″=2⊙AOB ，⊙GDF =⊙ODF ′+⊙ODG ″根据三角形内角和定理即可得出2⊙AOB +⊙GDF =180°． 【详解】
解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时⊙DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，
由轴对称的性质可知，⊙GOD⊙⊙GOD″，⊙FOD⊙⊙FOD′，
⊙⊙BOD=⊙BOD″，⊙ODG=⊙OD″G，⊙DOA=⊙AOD′，⊙ODF=⊙OD′F，
⊙⊙D′OD″=2⊙AOB，⊙GDF=⊙OD′F+⊙OD″G，
⊙⊙D′OD″+⊙OD′F+⊙OD″G=180°，
⊙2⊙AOB+⊙GDF=180°，
故答案为2⊙AOB+⊙GDF=180°．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．13．（2021·石家庄市第二十八中学九年级）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP再将PCQ
△，ADQ
△分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）AD与BC所在直线的位置关系______；
（2）PAQ
的大小为______°；
（3）当四边形APCD是平行四边形时，AB
QR
的值为______．
【答案】//
AD BC30° 【分析】
13
（1）根据折叠性质和平角定义证得180D C ∠+∠=︒，再根据平行线的判定可得AD 与BC 所在直线的位置关系；
（2）根据折叠性质和平角定义证得90B AQP ∠=∠=︒，再根据平行线的性质证得90B DAB ∠=∠=︒，进而由DAQ QAP PAB ∠=∠=∠求解即可；
（3）根据折叠性质和平行四边形的性质证得AR PR =，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得1
2
QR AP =
，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求得2AP PB =， PB QR =，223AB AP PB PB -，进而求解即可． 【详解】
解：（1）由折叠的性质可得：B AQP ∠=∠，DAQ QAP PAB ∠=∠=∠，DQA AQR ∠=∠，
CQP PQR ∠=∠，D ARQ ∠=∠，C QRP ∠=∠，
⊙180QRA QRP ∠+∠=︒， ⊙180D C ∠+∠=︒， ⊙//AD BC ， 故答案是：AD ⊙BC ；
（2）⊙180DQR CQR ∠+∠=︒，DQA AQR ∠=∠，CQP PQR ∠=∠， ⊙90DQA CQP ∠+∠=︒， ⊙90AQP ∠=︒， ⊙90B AQP ∠=∠=︒，
由（1）结论知180B DAB ∠+∠=︒， ⊙90DAB ∠=︒，
⊙30DAQ QAP PAB ∠=∠=∠=︒， 故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：AD AR =，CP PR =， ⊙四边形APCD 是平行四边形， ⊙AD PC =， ⊙AR PR =， 又⊙90AQP ∠=︒，
⊙1
2
QR AP =
， ⊙30PAB ∠=︒，90B ∠=︒， ⊙2AP PB =， ⊙PB QR =，
⊙
AB =，
⊙
AB AB
QR PB
==
【点睛】
本题考查折叠性质、平行线的判定与性质、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平角定义，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系是解答的关键．
14．（2021·连云港市新海实验中学九年级）如图，正方形ABCD 中，AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =4，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ，则线段OF 长的最小值为_____
【答案】4． 【分析】
连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ，证明⊙EDO ⊙⊙FDM ，
可得FM ＝OE ＝4，由条件可得OM ＝OF +MF ≥OM ，即可得出OF 的最小值． 【详解】
解：如图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ， ⊙⊙EDF ＝⊙ODM ＝90°， ⊙⊙EDO ＝⊙FDM ， ⊙DE ＝DF ，DO ＝DM ， ⊙⊙EDO ⊙⊙FDM （SAS ）， ⊙FM ＝OE ＝4，
⊙正方形ABCD 中，AB ＝O 是BC 边的中点，
⊙OC ＝
15
⊙OD 22(45)(25)+10， ⊙OM 221010+102 ⊙OF +MF ≥OM ， ⊙OF ≥24，
⊙线段OF 长的最小值为1024． 故答案为：1024．
【点睛】
本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质、正方形的性质和两点之间距离，熟练掌握并准确应用是解题的关键．
15．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级）已知．在ABC 中，42AB =45ABC ∠=︒，
5AC =，则线段BC 的长为___________．
【答案】7或1 【分析】
作AD ⊙BC 于点D ，分类讨论点C 在BD 延长线上或BD 上，通过勾股定理进行求解即可． 【详解】
解：作AD ⊙BC 于点D ，
⊙当点C 在BD 延长线上时， ⊙45ABC ∠=︒，90ADB ∠=︒， ⊙ABD △为等腰直角三角形，
⊙222AD BD AB +=，即(2
2242AD =， ⊙4=AD ，
在Rt ACD △中，由勾股定理得：2222543CD AC AD -=-，
⊙7BC BD CD =+=；
⊙当点C '在BD 上时，同⊙可得：4AD BD ==，3C D '=， ⊙1BC BD C D ''=-=． 故答案为：7或1． 【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，无图形时注意考虑是否需要分类讨论． 三、解答题
16．（2021·江苏南通市·）（1）甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？ （2）如图，点C ，D 在线段AB 上，CE ⊙AB ，DF ⊙AB ，AC =BD ，AE =BF ，点G 为AB ，EF 的交点，求证CD 与EF 互相平分．
【答案】（1）甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；（2）见解析 【分析】
（1）利用甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1．5倍设乙厂每天加工x 套防护服，则甲厂每天加工1.5x 套防护服，根据等量关系是乙工作量除以以的工作效率-甲工作量除以甲工作效率=4天列方程解之即可；
（2）连结ED ，CF ，CE ⊙AB ，DF ⊙AB ，可得⊙ECA =⊙FDB ，可证⊙ACE ⊙⊙BDF （HL ）可得CE =DF ,且CE∥DF ,可证四边形CFDE 为平行四边形，可得CD 与EF 互相平分． 【详解】
（1）解：设乙厂每天加工x 套防护服，则甲厂每天加工1.5x 套防护服， 根据题意，得600600
41.5x x
-=， 解得x ＝50，
经检验：x ＝50是所列方程的解， 则1.5x ＝75．
答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服．
17
（2）证明：连结ED ，CF ， ⊙CE ⊙AB ，DF ⊙AB ， ⊙⊙ECA =⊙FDB =90°， 在Rt ⊙ACE 与Rt ⊙BDF 中，
AC BD
AE BF =⎧⎨
=⎩
， ⊙⊙ACE ⊙⊙BDF （HL ）， ⊙CE =DF ，
又⊙⊙ECD =⊙FDC =90°， ⊙CE∥DF ，
⊙四边形CFDE 为平行四边形， ⊙CD 与EF 互相平分．
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，与三角形全等判定与性质，平行四边形判定与性质，掌握列分式方程解应用题，与三角形全等判定与性质，平行四边形判定与性质是解题关键． 17．（2021·河南郑州外国语中学九年级）在ABC 中，3AC BC ==120ACB ∠=︒，在ADE 中，90DAE ∠=︒，30AED ∠=︒，1AD =，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ． （1）如图1，当顶点D 在边AB 上时，线段BE 与线段CF 的数量关系是______，线段BE 与线段CF 的位置关系是 ；
（2）将ADE 绕点A 旋转，转到图2的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
（3）在ADE 绕点A 旋转的过程中，线段AF 的最大值为______；当//DE CF 时，线段CF 的长为______．
【答案】（1）BE =，BE CF ⊥；（2）仍然成立，见解析；（3）1
2,2
或1
【分析】
（1）过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，连接GD 并延长交BE 于点H ，证明ADG
⊙AEB ，得
BE AB
GD AG
=AGD ABE ∠=∠，再证明CF 为BGD 的中位线即可证明结论； （2）与（1）同理可证明结论仍然成立；
（3）延长AF 到点K ，使FK AF =，连接BK ，通过SAS 证明AFD ⊙KFB ，得1BK AD ==，在ABK 中，利用第三边小于两边之和，得AK AB BK <+，求出AK 最大为4，则AF 最大为2即可，当//DE CF 时，由（1）中证明可知//DG CF ，则G ，D ，E 三点共线，分点E 在D 下方，或点E 在点D 上方两种情形，分别画图进行计算即可． 【详解】
解：（1）过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，，连接GD 并延长交BE 于点H ，
AC BC =，120ACB ∠=︒， 30CAB CBA ∴∠=∠=︒，
60GAC AGC ∴∠=∠=︒， AC CG BC ∴==，
∴点C 为BG 的中点，
AG AD AB AE == 且DAG EAB ∠=∠，
ADG ∴⊙AEB ，
BE AB
GD AG
∴
==AGD ABE ∠=∠，
19
3BE DG ∴=，
点C ，F 分别是BG ，BD 的中点，
CF ∴为BGD 的中位线，
//CF GD ∴，1
2CF GD =，
3BE CF ∴=，
又ADG BDH ∠=∠，
90BHD GAD ∴∠=∠=︒， GH BE ∴⊥， //CF GD ， CF BE ∴⊥，
故答案为：23BE CF =，CF BE ⊥， （2）（1）中结论仍然成立，
过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，，连接GD 并延长交BE 于点H ，设GD 交AB 于点O ，
由（1）同理可证ADG ⊙AEB ， 3BE AB
GD AG
∴∴
==AGD ABE ∠=∠， 3BE DG ∴=，
点C ，F 分别是BG ，BD 的中点，
CF ∴为BGD 的中位线，
//CF GD ∴，1
2CF GD =，
3BE CF ∴=，
又AOG BOH ∠=∠，
90BHD GAO ∴∠=∠=︒， GH BE ∴⊥， //CF GD ， CF BE ∴⊥，
故答案为：BE =，CF BE ⊥，
（3）如图，延长AF 到点K ，使FK AF =，连接BK ，
DF BF =，AF FK =，AFD BFK ∠=∠， AFD ∴⊙KFB ， 1BK AD ∴==，
在ABK 中， AK AB BK <+，
4AK ∴<，
∴当4AK =时，AF 最大为2，
当//DE CF 时，由（2）中证明可知//DG CF ，
G ∴，D ，E 三点共线，如图，当点E 在点D 下方时，
AG AE ==30E ∠=︒，
3GE ∴=，
21
1GD ∴=，
1122
CF DG ∴=
=， 当点E 与G 重合时，此时//DE CF ，
1
12
CF DE ∴=
=， 综上：1CF =或1
2，
故答案为：2，1或1
2
．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了含30角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识，是作辅助线，构造三角形相似或者全等是解题的关键，综合性较强，难度较大．
18．（2021·长沙市北雅中学）（1）如图1，正方形ABCD 和正方形DEFG （其中AB DE >），连接CE ，AG 交于点H ，请直接写出线段AG 与CE 的数量关系________，位置关系________； （2）如图2，矩形ABCD 和矩形DEFG ，2AD DG =，2AB DE =，AD DE =，连接AG ，CE 交于点H ，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG ，CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD 和矩形DEFC ，26AD DG ==，28AB DE ==，直线AG ，CE 交于点H ，当点E 与点H 重合时，请直接写出线段AE 的长．
【答案】（1）相等，垂直；（2）不成立，CE=2AG，AG⊙CE，理由见解析；（3）
16 5
【分析】
（1）根据正方形的性质，证明⊙GDA⊙⊙EDC即可得到打啊；
（2）证明⊙GDA⊙⊙EDC，即可求解；
（3）分⊙当点E在线段AG上时；⊙当G在线段AE上时；两种情况进行讨论求解即可.【详解】
解：（1）在正方形ABCD和正方形DEFG中，⊙ADC=⊙EDG=90°，
⊙⊙ADE+⊙EDG=⊙ADC+⊙ADE，
即⊙ADG=⊙CDE，
⊙DG=DE，DA=DC，
⊙⊙GDA⊙⊙EDC（SAS），
⊙AG=CE，⊙GAD=⊙ECD，
⊙⊙COD=⊙AOH，
⊙⊙AHO=⊙CDO=90°，
⊙AG⊙CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE=2AG，AG⊙CE，理由如下：
设AD与CE交于M，
由（1）知⊙ADE+⊙EDG=⊙ADC+⊙ADE，即⊙ADG=⊙EDC，
⊙AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，
又⊙四边形ABCD是矩形，
⊙AB=CD，
⊙
1
2 DG DE DE
AD AB CD
===，
⊙⊙GDA⊙⊙EDC，
23
⊙
1
2
AD AG CD CE ==，⊙ECD =⊙GAD ， ⊙CE =2AG ， ⊙⊙CMD =⊙AMH ， ⊙⊙AHM =⊙CDM =90°， ⊙AG ⊙CE ；
（3）⊙当点E 在线段AG 上时，如图所示， ⊙AD =2DG =6，AB =2DE =8， ⊙DG =3，ED =4， ⊙四边形DEFG 是矩形， ⊙⊙EDG =90°，
⊙225EG DG DE +=， 过点D 作DP ⊙AG 于P ，
⊙⊙DPG =⊙EDG =90°，⊙DGP =⊙EGD ， ⊙⊙DGP ⊙⊙EGD ， ⊙
DG PG PD
EG DG DE
==即3534PG PD ==，
⊙95
PG =，12
5PD =，
⊙22621
AP AD PD =
-=
⊙62116
AE AG GE AP GP GE -=-=+-=
⊙当G 在线段AE 上时，如图所示， 过点D 作DP ⊙AG 于P ，
⊙DPG =⊙EDG =90°，⊙DGP =⊙EGD ，
同理得125PD =
，AP =
由勾股定理得165
PE ==
⊙AE AP PE =+=
综上所述：AE =
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
19．（2021·扬州中学教育集团树人学校）如图1，在⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ． （1）当BD ＝1时，AN ＝ ，NM 与AB 的位置关系是 ； （2）当2＜BD ＜4时，
⊙依题意补全图2；⊙判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论； （3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．
25
【答案】（110
（2）⊙画图见分析；⊙不会发生变化，证明见分析；（3）BD 的长为3时，ME 的长最小，最小值为1． 【分析】
（1）根据已知条件得到1CD =，根据勾股定理得到22125AD +到ADE 是等腰直角三角形，求得10DE =根据直角三角形的性质得到110
2AN DE ==
1
22
AM AB =
=ACD AMN ∽，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）⊙根据题意补全图形即可；⊙根据等腰直角三角形的性质得到45CAB B ∠=∠=︒，求得
45CAN NAM ∠+∠=︒，根据旋转的性质得到AD AE =，90DAE ∠=︒，推出ACD AMN ∽，
由相似三角形的性质得到AMN ACD ∠=∠，即可得到结论；
（3）连接ME ，EB ，过M 作MG EB ⊥于G ，过A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于K ，得到AKB △是等腰直角三角形，推出ADK ABE △≌△，根据全等三角形的性质得到45ABE K ∠=∠=︒，证得BMG △是等腰直角三角形，求出2BC =，22AB =2MB ，由ME MG ≥，于是得到当ME MG =时，ME 的值最小，根据等量代换即可得到结论． 【详解】
解：（1）⊙90ACB ∠=︒，2AC BC ==，1BD =， ⊙2CD =，
⊙225AD AC CD +
⊙将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ， ⊙ADE 是等腰直角三角形， ⊙210DE AD == ⊙N 为ED 的中点， ⊙110
2AN DE =
=
⊙M 为AB 的中点，
⊙1
2
AM AB =
=
⊙
AN AD ==，AM AC = ⊙
AN AM
AD AC
=， ⊙45CAB DAN ∠=∠=︒， ⊙CAD BAN ∠=∠， ⊙ACD AMN ∽， ⊙90AMN C ∠=∠=︒， ⊙MN AB ⊥．
（2）⊙补全图形如下图所示；
⊙（1）中NM 与AB 的位置关系不会发生变化． 理由如下：
⊙90ACB ∠=︒，AC BC =， ⊙45CAB B ∠=∠=︒， ⊙45CAN NAM ∠+∠=︒，
⊙将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ， ⊙AD AE =，90DAE ∠=︒， ⊙N 为ED 的中点，
⊙1
452
DAN DAE ∠=∠=︒，AN DE ⊥，
⊙45CAN DAC ∠+∠=︒ ⊙NAM DAC ∠=∠，
在Rt AND △中，452
AN cos DAN cos AD =∠=︒=
，
同理
45AC cos AB =︒，
27
⊙
AC AN
AB AD
=， ⊙45DAC CAN MAN ∠=︒-∠=∠， ⊙ACD AMN ∽， ⊙AMN ACD ∠=∠， ⊙D 在BC 的延长线上， ⊙18090ACD ACB ∠=︒-∠=︒， ⊙90AMN
∠=︒，
⊙MN AB ⊥．
（3）连接ME ，EB ，过M 作MG EB ⊥于G ，过A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于K ，则AKB △是等腰直角三角形， 在ADK △与ABE △中，
AK AB
KAD BAE AD AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ⊙ADK ABE △≌△， ⊙45ABE K ∠=∠=︒， ⊙BMG △是等腰直角三角形， ⊙2BC =，
⊙22AB =2MB ⊙451MG cos MB =︒=， ⊙90G ∠=︒， ⊙ME MG ≥，
⊙当ME MG =时，ME 的值最小， ⊙1ME BE ==， ⊙1DK BE ==， ⊙2CK BC ==， ⊙1CD =， ⊙3BD =，
⊙BD 的长为3时，ME 的长最小，最小值为1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（2021·湖北十堰市·九年级）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC 、BE ，点P 为DC 的中点．
（1）观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是______，位置关系是______；
（2）把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；
（3）把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若6DE =，10BC =，请直接写出线段AP 长的取值范围． 【答案】（1）12AP BE =
，AP BE ⊥；（2）1
2
AP BE =，AP BE ⊥仍成立，理由见解析；（3）
AP ≤ 【分析】
（1）证明⊙BAE ⊙⊙CAD ，继而结合直角三角形中斜边中线的性质即可得答案； （2）延长PA 交BE 于N ，延长AP 到M 使PM AP =，连接CM ，用三角形全等推出1
2
AP BE =
，再得到//AD CM ，用平行线的性质和判定就可以证明AP BE ⊥． （3）利用三角形三边关系求出AM 的范围即可确定线段AP 长的取值范围． 【详解】 （1）1
2
AP BE =
，AP BE ⊥；理由如下： ⊙AB =AC ，⊙BAE =⊙CAD =90°，AD =AE ， ⊙⊙BAE ⊙⊙CAD ， ⊙BE =CD ，⊙ABE =⊙ACD ， 又⊙P 为CD 中点， ⊙AP =CP =1
2CD ，
29
⊙1
2
AP BE =
，⊙ACD =⊙CAP ， ⊙⊙ABE +⊙AEB =90°， ⊙⊙CAP +⊙AEB =90°， ⊙⊙ANE =90°， ⊙AP BE ⊥
（2）成立．1
2
AP BE =，AP BE ⊥． 理由如下：
延长PA 交BE 于N ，延长AP 到M 使PM AP =，连接CM ，
DPA CPM ∠=∠，
⊙点P 为DC 的中点，⊙DP PC = 则ADP MCP ≅△△，
⊙AD CM AE ==，DAP M ∠=∠， ⊙//AD CM ，
⊙M DAP ∠=∠，180DAC ACM ∠+∠=︒． 又⊙90BAC DAE ∠=∠=︒， ⊙180DAC BAE ∠+∠=︒， ⊙ACM BAE ∠=∠， 又⊙AB AC =， ⊙BAE ACM ≅△△，
⊙M AEB DAP ∠=∠=∠，BE AM =， ⊙1
2AP AM =， ⊙1
2
AP BE =
． 又⊙90EAN DAP ∠+∠=︒， ⊙90EAN AEB ∠+∠=︒， ⊙90ENA ∠=︒， 即AP BE ⊥．
（3）⊙⊙AED ，⊙ABC 都是等腰直角三角形，6DE =，10BC =，
⊙AD =AE ，AC =AB ，
又由（2）知，CM =AD ⊙
AM ≤
⊙AM ≤ ⊙1
2
AP AM =
，
AP ≤ 【点睛】
此题考查的是三角形的旋转和相似三角形的综合题，熟悉掌握三角形旋转和相识三角形的性质和灵活的作品辅助线是解题的关键．
21．（2021·北京市三帆中学）已知点P 为线段AB 上一点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转α，得到线段AC ；再将线段BP 终点B 逆时针旋转180α︒-，得到线段BD ；连接AD ，取AD 中点M ，连接BM ，CM ． （1）当60a =︒．
⊙如图1，点P 为AB 中点时，补全图形，直接写出线段BM 与CM 的位置关系______．数量关系______．
⊙如图2，当点P 不为AB 中点时，写出线段BM 与CM 的数量关系与位置关系，并证明．
（2）如图3，当45α=︒，点P 为AB 中点时，直接写出线段AP ，BP ，BC 的数量关系______．
【答案】（1）⊙BM ⊙CM ；；⊙BM ⊙CM ；，见解析；（2）22
22
2BC BC AP BP ==+【分析】
（1）⊙延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，通过证明⊙CAE⊙⊙CPB，证明
⊙CEB是等边三角形，利用等腰三角形三线合一思想计算即可；⊙的结论不变，证明方法与
⊙类似；
（2）延长BM到点G，使得BM=MG，连接AG，CG，DG，证明三角形ACG是等腰直角
三角形即可
【详解】
（1）⊙如图1, 延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，
⊙M是AD的中点，
⊙AM=MD，
⊙BM=ME，
⊙四边形AEDB是平行四边形，
⊙AE=BD，AE∥BD，
⊙PB=BD，
⊙PB=AE，
⊙⊙CAP=60°，AC=AP，
⊙⊙APC是等边三角形，
⊙AC=PC，⊙ACP=⊙APC=60°，
⊙⊙CPB=120°，
⊙⊙CAP=60°，
⊙⊙PBD=120°，
⊙⊙BAE=60°，
⊙⊙CAE=120°，
⊙⊙CAE=⊙CPB，
⊙⊙CAE⊙⊙CPB，
⊙CE=CB，⊙ACE=⊙PCB，
⊙⊙ACE+⊙PCE=⊙PCB+⊙PCE，
⊙⊙ACP=⊙BCE=60°，
⊙⊙CEB是等边三角形，
⊙BM=ME，
31
⊙BM⊙CM，
⊙tan60°=CM BM
，
⊙CM；
故答案为：BM⊙CM；CM；
⊙关系为：BM⊙CM；CM；理由如下：
如图2, 延长BM到点F，使得BM=MF，连接AF，CF，DF，⊙M是AD的中点，
⊙AM=MD，
⊙BM=MF，
⊙四边形AFDB是平行四边形，
⊙AF=BD，AF∥BD，
⊙PB=BD，
⊙PB=AF，
⊙⊙CAP=60°，AC=AP，
⊙⊙APC是等边三角形，
⊙AC=PC，⊙ACP=⊙APC=60°，
⊙⊙CPB=120°，
⊙⊙CAP=60°，
⊙⊙PBD=120°，
⊙⊙BAF=60°，
⊙⊙CAF=120°，
⊙⊙CAF=⊙CPB，
⊙⊙CAF⊙⊙CPB，
⊙CF=CB，⊙ACF=⊙PCB，
⊙⊙ACF+⊙PCF=⊙PCB+⊙PCF，
⊙⊙ACP=⊙BCF=60°，
⊙⊙CFB是等边三角形，
33
⊙BM =MF ，
⊙BM ⊙CM ， ⊙tan 60°=
CM
BM
， ⊙CM 3；
（2）如图3, 延长BM 到点G ，使得BM =MG ，连接AG ，CG ，DG ， ⊙M 是AD 的中点， ⊙AM =MD ， ⊙BM =MG ，
⊙四边形AGDB 是平行四边形， ⊙AG =BD ，AG∥BD ， ⊙PB =BD ， ⊙PB =AG ， ⊙AP =PB =AC
⊙AP =PB =AG =AC =BD ， ⊙⊙CAP =45°， ⊙⊙PBD =135°， ⊙⊙BAG =45°， ⊙⊙CAG =90°，
⊙⊙CAN =⊙GAN ，⊙ANC =90°，
⊙AN =NC =NG ， ⊙在直角三角形BCN 中， 222CN BN BC +=，
⊙222))PB PB BC ++=，
⊙2222
2BC BC AP BP ==【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角函数，熟练运用上面的知识，准确推理是解题的关键．
22．（2021·河南信阳·）在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，点Р为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点Р顺时针方向旋转α︒，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．
（1）（观察发现）如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是___________，BC 与CE 的位置关系是___________．
（2）（猜想证明）如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若8AB =，AP =CE 的长． 【答案】（1）BP CE =，BC CE ⊥；（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系
为CE =，见解析；（3）2或14 【分析】
（1）连接AE ，证明⊙ABC 、⊙APE 为等边三角形， 再证明ABP ACE ∆∆≌，根据全等三角形的性质可得BP=CE ，ABP ACE ∠=∠，再求得30ABP ACE ∠=∠=︒，即可得
90ACE ACB ∠+∠=︒，所有BC CE ⊥．
（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为CE =．
选图2证明：连接AE ，
易证BAP CAE ∆∆∽，根据相似三角形的性质可得
CE CA
BP BA
==ACE ABP ∠=∠，根据等腰直角三角形的性质可得45ABD CBD ACB ACE ∠==︒∠∠==∠，由此可得
35
90BCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒，结论可证；选图3证明，类比图2的证明方法即可；
（3）分图2和图3两种情况求CE 的长即可． 【详解】
（1）如图，连接AE ，
⊙BA BC =，且60ABC ∠=︒， ⊙⊙ABC 为等边三角形，
⊙60ABC BAC ACB ∠=∠=∠=︒，AB =AC ， ⊙PE PA =，且60APE α∠==︒， ⊙⊙APE 为等边三角形， ⊙60PAE ∠=︒，AP =AE ，
⊙BAC PAC PAE PAC ∠-∠=∠-∠， ⊙BAP CAE ∠=∠； 在⊙BAP 和⊙CAE 中， AB AC BAP CAE AP AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ⊙ABP ACE ∆∆≌，
⊙BP=CE ，ABP ACE ∠=∠，
⊙BD AC ⊥，BA BC =， 60ABC ∠=︒， ⊙⊙ABP =30°，
⊙30ABP ACE ∠=∠=︒， ⊙90ACE ACB ∠+∠=︒， ⊙BC CE ⊥．
故答案为：BP CE =，BC CE ⊥．
（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为2CE BP =． 理由如下：
选图2证明：连接AE ，。