抛物线的参数方程
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全国名校高中数学选修系列优质学案汇编（附详解）
3. 抛物线的参数方程
前面曾经得到以时刻 t作为参数的抛 物线的参数方程:
x 100 t , 1 2 y 500 g t . 2 1000 t为参数, 且0 t g
对于一般的抛物线 , 怎样建立相应的 参数方程呢?
用不同的参数方程动态 描述轨迹形成过程 .
例 3 如图2 13, O是直角 坐标 原点, A , B 是抛物线
y
A M
y 2 2 px p 0 上异于顶 点的两动点, 且 OA OB, OM AB 并与AB 相交于 点M , 求点M的轨迹方程.
看点M运动形成轨迹的过程 .
y 所以 xt1 t2 y 0, 即t1 t2 x 0 . x
⑨
因为 AM x 2 pt12 , y 2 pt1 , MB 2 pt x,2 pt2 y ,
2 2
y
A M
且A, M , B三点共线 , 所以
化简, 得yt1 t2 2 pt1t2 x 0 ⑩ y ⑧ ⑨ ⑩ 将 , 代入 , 得到 y 2 p x 0, x 即x 2 y 2 2 px 0 x 0 , 这就是点 M的轨迹方程 .
1 2 2 2
AB 2 pt t ,2 pt2 t1 .
2 2 2 1
y
A M
因为OA OB,
所以OA OB 0, 即
O
2 pt1t2 2 2 p 2 t1t2 0,
所以t1t2 1 ⑧
B
x
因为OM AB,
图2 13
2 2 2 pyt2 t1 0, 所以OM AB 0, 即2 pxt2 t1
y 因为点 M 在 的终边上 , 根据三角函数定义可得 Mx, y y ⑥ tan . x O 由⑤, ⑥解出x, y, 得到 2p x , 2 tan 图2 12 为参数 2p y . tan ⑤ 不包括顶点 的参数方程. 这就是抛物线 1 如果令 t , t ,0 0, , 则有 tan
x
x 2 pt2 , t为参数 y 2 pt .
⑦
当t 0 时,由参数方程 ⑦ 表示的点正好就是抛物 线的顶点 0,0 . 因此 ,当t , 时 , 参数方程 ⑦ 就表示整条抛物线 .参数 t表示抛物线上除顶点 外的任意一点与原点连 线的斜率的倒数 .
思考 怎样根据抛物线定义选 取参数, 建立抛物线 x 2 2 py p 0的参数方程 .
探究 在例3中,点A, B在什么位置时, AOB 的面积最小? 最小值是多少?
x 2 pt 2 pt y y 2 pt 2 pt x ,
2 1 2 1 2 2
O
x
B
图2 13
如图 2 12, 设抛物线的普通方
2
y
程为 y 2 px ⑤ Mx, y 其中 p表示焦点到准线的距离 . O x 设M x, y 为抛物线上除顶点 外任意一点 , 以射线 OM 为终 边的角记作 . 图2 12 显然,当在 , 内变化时 , 2 2 点M在抛物线上运动 , 并且对于 的每一个值 , 在 抛物线上都有惟一的点 M与之对应 .因此, 可以取 为参数来探求抛物线的 参数方程 .
O
源自文库
x
B
的坐标为 x, y , 2 pt ,2 pt1 ,
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1
解 根据条件 , 设点 M , A, B
图2 13
2 pt ,2 pt t t , 且t t 0, 则OM x, y , OA 2 pt ,2 pt , OB 2 pt ,2 pt ,
3. 抛物线的参数方程
前面曾经得到以时刻 t作为参数的抛 物线的参数方程:
x 100 t , 1 2 y 500 g t . 2 1000 t为参数, 且0 t g
对于一般的抛物线 , 怎样建立相应的 参数方程呢?
用不同的参数方程动态 描述轨迹形成过程 .
例 3 如图2 13, O是直角 坐标 原点, A , B 是抛物线
y
A M
y 2 2 px p 0 上异于顶 点的两动点, 且 OA OB, OM AB 并与AB 相交于 点M , 求点M的轨迹方程.
看点M运动形成轨迹的过程 .
y 所以 xt1 t2 y 0, 即t1 t2 x 0 . x
⑨
因为 AM x 2 pt12 , y 2 pt1 , MB 2 pt x,2 pt2 y ,
2 2
y
A M
且A, M , B三点共线 , 所以
化简, 得yt1 t2 2 pt1t2 x 0 ⑩ y ⑧ ⑨ ⑩ 将 , 代入 , 得到 y 2 p x 0, x 即x 2 y 2 2 px 0 x 0 , 这就是点 M的轨迹方程 .
1 2 2 2
AB 2 pt t ,2 pt2 t1 .
2 2 2 1
y
A M
因为OA OB,
所以OA OB 0, 即
O
2 pt1t2 2 2 p 2 t1t2 0,
所以t1t2 1 ⑧
B
x
因为OM AB,
图2 13
2 2 2 pyt2 t1 0, 所以OM AB 0, 即2 pxt2 t1
y 因为点 M 在 的终边上 , 根据三角函数定义可得 Mx, y y ⑥ tan . x O 由⑤, ⑥解出x, y, 得到 2p x , 2 tan 图2 12 为参数 2p y . tan ⑤ 不包括顶点 的参数方程. 这就是抛物线 1 如果令 t , t ,0 0, , 则有 tan
x
x 2 pt2 , t为参数 y 2 pt .
⑦
当t 0 时,由参数方程 ⑦ 表示的点正好就是抛物 线的顶点 0,0 . 因此 ,当t , 时 , 参数方程 ⑦ 就表示整条抛物线 .参数 t表示抛物线上除顶点 外的任意一点与原点连 线的斜率的倒数 .
思考 怎样根据抛物线定义选 取参数, 建立抛物线 x 2 2 py p 0的参数方程 .
探究 在例3中,点A, B在什么位置时, AOB 的面积最小? 最小值是多少?
x 2 pt 2 pt y y 2 pt 2 pt x ,
2 1 2 1 2 2
O
x
B
图2 13
如图 2 12, 设抛物线的普通方
2
y
程为 y 2 px ⑤ Mx, y 其中 p表示焦点到准线的距离 . O x 设M x, y 为抛物线上除顶点 外任意一点 , 以射线 OM 为终 边的角记作 . 图2 12 显然,当在 , 内变化时 , 2 2 点M在抛物线上运动 , 并且对于 的每一个值 , 在 抛物线上都有惟一的点 M与之对应 .因此, 可以取 为参数来探求抛物线的 参数方程 .
O
源自文库
x
B
的坐标为 x, y , 2 pt ,2 pt1 ,
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1
解 根据条件 , 设点 M , A, B
图2 13
2 pt ,2 pt t t , 且t t 0, 则OM x, y , OA 2 pt ,2 pt , OB 2 pt ,2 pt ,