厦大《高代》讲义第9章+内积空间

第九章内积空间Inner Product Space
§9.1 目的与要求
•掌握内积、内积空间的概念
•熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等
•熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用
厦门大学数学科学学院
网址:
•定义:设V 是R 上线性空间,存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R,有
(1). ( x , y ) = ( y , x )
(2). ( x + y , z ) = (
x ,z ) + (y , z )
(3). ( cx , y ) = c ( x , y )
(4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间.
有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间).
R V V →⨯对称线性非负（实）内积空间
•定义:设V 是C 上线性空间,存在映射( , ):使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C,有
(1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z )
(3). (cx , y ) = c ( x , y )
(4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.
则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.
•注1:对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.•注2:在复内积空间中, (,)(,)
x y y x =a a =(,)(,)
x cy c x y =R V V →⨯（复）内积空间
•例1:R n ×1是n 维欧氏空间, 若, 定义内积如下:
该内积称为R n ×1上的标准内积.
C n ×1是n 维酉空间, 若, 定义内积如下:
该内积称为C n ×1上的标准内积.
1122(,)...n n
x y y x x y x y x y '==+++例子
1
,C n x y ⨯∀∈1,R n x y ⨯∀∈1122(,)...n n
x y y x x y x y x y '==+++
•例2:R 2×1上对1) 是内积
2) 非线性, 非内积
3) 未必非负, 非内积11211222
(,)4x y x y x y x y x y =--+例子
1122,x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∀== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1,2(,)max(||,||)i i i x y x y ==1212
(,)x y x x y y =+++
•例3:设, 定义则c [a , b ]是无限维内积空间. •例4:设G 为n 阶正定阵, 对, 定义
则R n ×1是R 上n 维欧氏空间. G =I 即例1.•例5:R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 若是, 它是几维的?
例子
(,)'x y x Gy
=(,)()()b a f g f x g x dx =⎰(),()[,]f x g x c a b ∈1,R n x y ⨯∀∈
•定义:设V 实内积空间, 设x , y ∈V, 定义x 的长度为:定义x 与y 的距离为:当V
是实空间时, 定义x , y 的夹角
θ的余弦为:当V 是复空间时, 定义x , y 的夹角θ的余弦为:
当( x , y ) = 0时, 称x 与y 正交, 记x ⊥y .
(,)
x x x =(,)d x y x y
=-(,)cos x y x y
θ=(,)cos x y x y θ=(实)内积空间_2
•定理:设V 是实的或复的内积空间,设x , y ∈V, c 为常数(实数或复数), 则
(1) (2) (Cauchy-Schwarz 不等式)当且仅当x , y 线性相关时, 等号成立.(3) (三角不等式)
cx c x
=(,)x y x y
≤x y x y
+≤+
在R n×1中
•注1:x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和自己正交; 只有零向量的长度为0;
•注2:||x+y||= ||x||+||y|| x和y同向或有一为0;•注3:(x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹角(内积几何意义);
•注4:x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2=||x||2+||y||2 (勾股定理);
•注5:若两两正交, 即则1)2)•注6:x 称为单位向量, 若. 一般地, 若x ≠0, 则x /|| x ||是单位向量(称把x 单位化).•注7:Cauchy-Schwarz 不等式具体形式:
内积空间_5
12,,...,m ααα(,)0,i j i j αα=∀≠122...m m
k k ααα⊥++2222
1212......m m
αααααα+++=+++1x =()
222221111...(...)(...)
n n n n
x y x y x x y y ++≤++++2
2
2
(()())()()b b
b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx
≤⎰⎰⎰
例子
•例6:证明下列不等式成立1)2) 若A =(a ij )n ×n 是(对称)正定阵, 则
)
)(()(11
11
2
11
j i n i n
j ij j i n i n j ij n i n j j i ij y y a x x a y x a ∑∑∑∑∑∑======≤2
2211
11
11
()()()
n
n
n
n
n
n
ji ji ji
ji
i j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑
厦门大学数学科学学院网址:
作业
•作业p294 1, 2, 3, 6, 7
补充: R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 为什么? 若是, 它是几维的?并证明下列不等式：
•选做p295 5
2
2211
11
11
()()()
n
n
n
n
n
n
ji ji ji
ji
i j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑
§9.2 目的与要求
•掌握标准正交基、正交补空间的概念•掌握度量矩阵与内积的关系
•掌握两标准正交基的过渡矩阵与正交阵的关系
•熟练掌握矩阵为正交阵的充要条件
•掌握向量组的Gram-Schmidt正交化的计算
标准正交基_1
•定义:设是n 维内积空间V 的一
组基, 若
, 则称这组基是V 的一组正交基, 若
,则称这组基是V 的一组标准正交基.
•引理:内积空间V 中任意一组两两正交的非零向量必线性无关.
12,,...,n εεε(,)0,i j i j εε=∀≠(,)i j ij εεδ=
标准正交基_2
•定理: 设V 是内积空间, 是V 中m 个线性无关的向量, 则在V 中存在两两正交的向量, 使得
•Gram-Schmidt 正交化:
12,,...,m ξξξ12,,...,m ηηη1212(,,...,)(,,...,).m m L L ξξξηηη=11
ηξ=,11,11,(,)
...,,11
(,)
i j i i i i i i i j j j k k k j i ξηηξηηηη--=+++=-≤≤-
Schmit 正交化
u
u 2
211
k v -v 2
322
k v -121211111
221
2(,)
(,)
u u u k v v u v v v v v ==--=v 1
2
v 311
k v -3
v 3
u 3311322
3331
3221u u k v k v k k v v v --=--=211
k v v 1311
k v 322k v 3322
u k v -
标准正交基_3
•注: 任意线性无关向量组必可正交化, 且正交化后的向量组与原向量组等价.
•推论: 任意n 维内积空间有一组标准正交基.•注: 标准正交基可以简化内积的运算.
设是内积空间V 的标准正交基, 若, 则, 即
又若, 则
12,,...,n εεε(,)i i x x ε=1122(,)....
n n x y x y x y x y =+++1122...n n x x x x εεε=+++111222(,)(,)...(,)n n n x x x x εεεεεε=+++1122...n n y y y y εεε=+++
例子
•例1:R 1×2, 在标准内积下e 1, e 2是标准正交基, 任意向量x =(x 1, x 2), 则x 1=(x , e 1), x 2=(x , e 2).
•例2:设V 是四维行向量空间, 内积为标准内积, 又. 试用Gram-Schmidt 方法将化为V 的一组标准正交基.
•例3:设, 问是否为的一
组基? 一组标准正交基?
1234(1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,u u u u ==-==1,1,1)--1234,,,u u u u 12(1,0),(0,1)u u ==12,u u 12
R ⨯
正交补
•定义:设U是内积空间V的子空间,令
U⊥={v∈V| (v, u)=0,对任意u∈U},
则U⊥是V的子空间, 称为U的正交补空间.
•定理:设Ｖ是n维内积空间, U是Ｖ的子空间,则
(1) V = U U⊥;
(2) U上任意一组标准正交基必可扩为V 的标准正交基;
(2’) V上任意一组标准正交向量组必可扩为V 的标准正交基.
例子
•
例5:若, 且对都有, 则•例6:(Bessel 不等式) 设是n 维内积
空间V 的正交向量组, y 是V 的任一向量, 则且等号成立的充要条件是•例7:设线性子空间U 是齐次线性方程组Ax =0的
解空间, 求U ⊥适合的线性方程组.
12,,...,m v v v 2
221|(,)|||||
||||m k k k y v y v =≤∑12(,,...,).m y L v v v ∈12V U W U W =⊕=⊕11U, W u w ∀∈∈22W w ∈12(,)(,)0u w u w ==12W W U .⊥==
度量矩阵_1
设V 是n 维欧氏空间,是V 的一组基,令
由内积定义知G 是一个实对称矩阵, 称为度量矩阵. 设
则( x , y ) = (x 1, …, x n ) G (y 1, …, y n ) = X ’GY 这里X ’= (x 1, …, x n ), Y = (y 1, …, y n )’.
因为当x ≠0时, 必有(x , x ) >0, 所以Ｇ是正定阵.
111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n G ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
11,n n i i i i
i i x x y y ξξ====∑∑,,...,12n ξξξ
度量矩阵_2
•注1:在n 维实线性空间V 的基固定情况下
{V 上的内积} {实正定矩阵}.
•注2:设是欧氏空间V 的一组基, 则
为正交基⇔G 为(正定)对角阵；
为标准正交基⇔G 为单位阵.
←−−→１：１,,...,12n ξξξ,,...,12n ξξξ,,...,12n ξξξ
正交矩阵_1
设u 1, u 2, …, u n 和v 1, v 2, …, v n 是n 维欧氏空间V 的两个标准正交基, T 是从基u 1, u 2, …, u n 到v 1, v 2, …, v n 的过渡矩阵,即(v 1, v 2, …, v n )
=(u 1, u 2, …, u n )T.则由于,故有T ’T =I .
•定义:实n 阶方阵T 称为正交阵, 如果T -1=T ’.1(,)i j
n ij si sj s v v t t δ===∑
正交矩阵_2
•注1:设u
1,u2,…,u n是维欧氏空间的一个标准
正交基, T是正交阵, 且有
(v1,v2,…,v n)=(u1, u2, …, u n)T.
则v
1
,v2,…,v n是V的标准正交基.
•注2:T是正交阵 T 的列向量是标准内积空间R n×1的标准正交基.
正交矩阵_3
•例4:
(1) 单位阵是正交阵.
(2) 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素
为±1.
(3) 上(下)三角阵是正交阵的充分必要条件是它是
对角阵且对角元素为±1.
(4)是正交阵且二阶矩阵能作为正交阵的只能是如上两种形式.
(5) 置换阵是正交阵.
cos sin cos sin ,sin cos sin cos θθθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
正交矩阵_4
•命题:设T, S为正交阵, 则
(1) |T | = ±1.
(2) T 可逆且T -1为正交阵.
(3) T *为正交阵.
(4) –T 为正交阵.
(5) TS 为正交阵.
(6) T 的特征值的模长为1.
§9.3 目的与要求
•了解伴随变换的概念
•掌握伴随变换的矩阵表示与性质
伴随_1
•定义:设V 是数域K 上线性空间, 从V 到K 的线性映射称为线性函数. V 上线性函数的全体称为V 的共轭空间, 记做V *.
•注:设V 是n 维欧氏空间,内积为(-,-). 固定0≠v ∈V, 则
是V 上线性函数. 反之, 任一线性函数均可由上面方式实现.
:.f V K (,)
x x v
伴随_2
•引理:设f 是n 维欧氏空间V 的线性函数,则必存在V 上唯一向量v ,使对任意x ∈V, 均有f (x )=(x ,v ).
•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性变换算子,则存在唯一线性变换算子,使得对任意u ,v ∈V, 有
•注1: 称为的伴随变换.
•注2: 欧氏空间上线性变换称为线性算子.ϕ*ϕ((),)(,*()).
u v u v ϕϕ=*ϕϕ
伴随_3
•定理:设u 1,u 2,…,u n 是n 维欧氏空间V 的一组标准正交基,若V 的线性变换在这组基下的表示矩阵为A ,则的伴随算子在这组基下的表示矩阵为A ’.
•定理:设是n 维内欧氏空间V 的两个线性变换,c 为常数,则
ϕ*ϕϕ2)()**
c c ϕϕ=1)()***ϕψϕψ+=+3)()***ϕψψϕ=4)(*)*ϕϕ
=,ϕψ
§9.4 目的与要求
•掌握内积空间的（保积）同构的概念•熟练掌握内积空间的同构的等价命题•掌握正交算子的概念
•熟练掌握正交算子的等价命题
•掌握正交阵在正交相似下的标准型及相应的正交算子命题
正交算子_1
•引理:设是维欧氏空间V 到W 的线性映射,则下列条件等价:
(1) 保持内积,
(2) 保持范数,(3) 保持距离, •定义:设V,W 是n 维欧氏空间是线性映射.如果是线性空间同构且保持内积,即
则称是欧氏空间的同构,记:V W ϕ→ϕϕϕϕ((),())(,).x y x y ϕϕ=().
x x ϕ=((),())(,).d x y d x y ϕϕ=ϕ((),())(,),
x y x y ϕϕ=ϕV W.
≅
正交算子_2
•定理: 设V, W 是n 维欧氏空间, 是线性映射,则下列条件等价:
(1) 保持内积.
(2) 保持范数.
(3) 保持距离.
(4) 是欧氏空间同构.
(5) 将V 的任一标准正交基变成W 的标准正交基.
(6) 将V 的某一标准正交基变成W 的标准正交基.
:V W ϕ→ϕϕϕϕϕϕ
正交算子_3
•推论:设V, W 是欧氏空间,则 dimV = dimW.
•注1:两个欧氏空间是否同构与其上定义的内积无关, 只与维数有关.
•注2:欧氏空间的同构是等价关系.
•注3:任意n 维欧氏空间都同构于标准内积空间R n .•意义:对一般n 维欧氏空间的研究可转化为对标准内积空间R n 的研究.
V W
正交算子_3
•定义: n 维欧氏空间V 上保持内积的线性算子称为正交算子或正交变换.
•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性变换,则下列条件等价:
(1) 是正交算子. (2) 保持距离.
(3) 保持范数. (4) 是V 的自同构.(5) 可逆且(6) 将V 的任意标准正交基变为另一标准正交基.
(7) 将V 的一组标准正交基变为另一标准正交基.
(8) 在V 的任意标准正交基下的矩阵是正交阵.
(9) 在V 的某组标准正交基下的矩阵是正交阵.
ϕϕϕϕϕ1*.
ϕϕ-=ϕϕϕϕϕ
正交算子_4
•注1:n 阶正交阵可视为某n 维欧氏空间V 上正交变换在V 的某标准正交基下的表示矩阵;
•注2:n 阶正交阵还可视为某n 维欧氏空间V 中某两标准正交基的过渡矩阵.
•注3:若是正交算子, 则1) 可逆, 且也是正交算子;2)
为正交算子;3) 若|c |=1, 则为正交算子.
,ϕψϕ1ϕ-ϕψc ϕϕ
正交相似_1
设是n 维欧氏空间V 上线性变换, u 1, …, u n 和v 1, …, v n 分别是V 的两组标准正交基,
则•定义:设A , B ∈R n ×n , 若存在正交阵T , 使则称A , B 是正交相似的.
ϕ1212(,,...,)(,,...,)n n v v v u u u T =1212(,,...,)(,,...,)n n u u u u u u A ϕ=1212(,,...,)(,,...,)n n v v v v v v B
ϕ=1
.
B T AT T AT -'==1,B T AT T AT -'==
正交相似_2
•注1:设A, B∈R n×n, 则A与B是正交相似的充分必要条件是A, B是n维欧氏空间V上同一个线性算子在不同标准正交基下的矩阵.•注2:正交相似是等价关系.
•注3:设A与B正交相似, A是正交阵, 则B也是正交阵.
•注4:若B由矩阵A互换i,j两行, 再互换i,j两列得到, 则A, B正交相似.
•注5:两对角阵仅对角元顺序不同, 则他们正交相似.
正交算子_5
•引理:设A 为正交阵,为A 的一个复特征值, (b ≠0), 为对应的特征向量, 则且•注:因, 故可设cos sin (,),(,)sin cos Ax x y Ay x y θθθθ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
a i
b λ=+u x iy =+.
x y =x y ⊥221,a b +=1λ=cos ,sin .
a b θθ==-cos sin (,).sin cos A x y θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭
正交算子_6
•定理:设A 为正交阵, 则存在正交阵T , 使
T -1AT •定理:设是n 维欧氏空间V 的正交算子, 则存在一组标准正交基, 使得在此基下的矩阵是
1111cos sin cos sin {,,,...,}.sin cos sin cos l l s t l l diag I I θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1111cos sin cos sin {,,,...,}.sin cos sin cos l l s t l l diag I I θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ϕϕ
例子
•例1:设是欧氏空间V 的线性变换, 则下列命题中___不能作为是正交变换的等价命题.
A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵;
B. ;
C. 保积同构;
D. 保持距离不变.
A
1*ϕϕ-=
例子
•例2:和矩阵正交相似的矩阵是___.
A.
B. C.
D.A 1001M ⎛⎫= ⎪-⎝⎭0110⎛⎫ ⎪⎝⎭1100-⎛⎫ ⎪⎝⎭1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭0110⎛⎫ ⎪-⎝⎭
例子
•例3:设是n 维欧氏空间的线性变换, 分别是的伴随变换, 则下列命题中错误的有___个.
①是单的线性变换, 则是满的线性变换
②③, 对任意的④是同构变换, 则也是同构变换
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
A
,ϕψ*,*ϕψ,ϕψϕ*ϕ*dimIm dimIm ϕϕ
=ϕ*ϕ*((),)((),)ϕαβϕβα=,V
αβ∈
例子
•例4:三阶正交矩阵在正交相似下的所有
可能的标准形是___.
111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
cos sin sin cos 1θθθ
θ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭cos sin sin cos 1θθθθ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
例子
•例5:设为n 阶正交矩阵, 且则矩阵方程的解x = ___.
要点:1. 因为A 是正交阵, 故A 可逆, 问题的解唯一; 2.又因A 是正交阵, 且故A 的第一列为-e 1, 从而.
()ij n n A a ⨯=111,
a =-1Ax e =1
e -111,
a =-11()A e e -=
§9.5 目的与要求
•掌握自伴随算子的概念及与对称矩阵的关系
•熟练掌握对称矩阵的正交相似标准型•掌握对称矩阵相似/合同/正交相似的全系不变量
•一些相关的计算和证明
对称算子_1
•定义:设V 是n 维欧氏空间,是V 的线性算子, 如果, 则称是自伴随算子(对称算子).
•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性算子, 则下列条件等价：
(1)
是对称算子;(2)(3) 在V 的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵;
(4) 在V 的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵.
*ϕϕ=ϕϕϕϕ((),)(,());
ϕαβαϕβ=ϕϕ
•定理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子,则的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交.
•定理’:设A ’=A ∈R n ×n ,则A 的特征值全为实数且属于
不同特征值的特征向量互相正交(标准内积空间R n ×1).•引理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子. U 是子空间. 则U ⊥也是子空间.
•定理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子, 则存在V 的一组标准正交基, 使在这组基下的矩阵是对角阵.•定理’:设A ’= A ∈R n ×n , 则存在正交阵T , 使T -1AT =T ’AT 为对角阵, 且对角线元素为A 的特征值.
ϕϕϕϕ-ϕ-ϕϕ
•定理:A , B 实对称矩阵, 则A , B 正交相似 A , B 的特征值相同.
•注:特征值是实对称矩阵相似的全系不变量.•定理:设是n 元实二次型,是A 的所有特征值, 则必存在正交线性替换为正交阵, 使
f 的正惯性指数等于A 的正特征值个数, f 的负惯性指数等于A 的负特征值个数, f 的秩等于A 的非零特征值的个数.
22211122(,,)n n n f x x y y y λλλ=+++ 1(,,)n f x x X AX '= 1,,n λλ ,X TY T =。