四川省棠湖中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

2020年春四川省棠湖中学高一期中考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。

1．设全集U =R ，集合{}13A x x =−<<,{}
21B x x x =≤−≥或,则()U A
C B =
A ．{}
11x x −<<
B ．{}
23x x −<<
C ．{}
23x x −≤<
D ．{}
21x x x ≤−>−或
2．在ABC ∆中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，则b = A
．
B
．C
D
．3．已知向量()()
1
331a b =−=−，，，，则a 与b 夹角的大小为 A ．
6
π
B ．
2
π C ．
23
π D ．
56
π 4．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则
5
2
S a = A ．2 B ．4 C ．
172
D ．
312
5．在ABC 中，2BD DC =，则AD =
A ．
12
33
AB AC − B ．
12
33
AB AC + C ．
21
33
AB AC − D ．
21
33
AB AC + 6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则311b b += A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
7．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2a c b +=，3sin 5sin B A =，则角C =
A ．
3
π
B ．
23
π C ．
34
π D ．
56
π 8．已知向量(
)
3,1a =
，(3,3b =−，则向量b 在向量a 方向上的投影为
A ．B
C ．-1
D ．1
9．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 依次成等比数列，则ABC 的形状为 A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形
C ．钝角三角形
D ．直角边不相等的直角三角形
10．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，()3
f x x =，则52f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
A ．27
8
−
B ．
278
C ．
18
D ．18
−
11．若,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且sin α=,()sin αβ−=,则sin β=
A ．10
B ．
2
C ．
12
D ．
110
12．设函数()sin (0)3f x wx w π⎛⎫
=+
> ⎪
⎝
⎭，若()4f x f π⎛≤⎫
⎪⎝⎭
对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为
A ．
12
B ．
23
C ．
34
D ．1
第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知sin 2sin αα=，0,
2a π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则tan α=________． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =−，510S =−，则n S 的最小值为______．
15．设数列{}n a 满足1226a a ==，
，且211
22n n n n n
a a a
b a ，++−+==，则数列{}n b 的前n 项和n S =_______________.
16．在直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(1,1)时，OP 的坐标为________．
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD CD ==，3AB =，
（Ⅰ）若AC AB BD λ+=，求实数λ的值；
（Ⅱ）若AD BC ⊥，求数量积AC BD ⋅的值
18．（12分）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为(
)*
n S n N
∈。

{}n
b 是等差数列，已知
2433315732,4,,3a a a a b b a b b ==+=+=+。

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n n S b +的前n 项和为(
)*
n T n N ∈，求n
T 。

19．（12分）已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛
⎫
=−
− ⎪⎝
⎭
． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤
∈−
⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域．
20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12
n n n S +=
，*n N ∈.
（Ⅰ）求证：数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T .
21．（12分）设{}n a 是一个公比为q 的等比数列，且14a ，23a ，32a 成等差数列. （Ⅰ）求q ；
（Ⅱ）若数列{}n a 前4项的和415S =，令2n n b na =（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T .
22．（12分）已知函数6
()4f x x x
=−
+． （Ⅰ）若不等式(ln )ln 0f x a x −≥在2
1,1e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
上恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若函数()(
)2
22
22
log 49log
4y f x b x ⎡⎤=++⋅−⎣⎦+恰好有三个零点，求b 的值及该函数的零点．
2020年春四川省棠湖中学高一期中考试
数学试题参考答案
1．A
2．A
3．D
4．D
5．B 6．D
7．B
8．A
9．A
10．D
11．B
12．B
13
14．10−
15．
1
n n +
16．(1sin1,1cos1)−−
17．（Ⅰ）因为AC AB BD λ+=，所以AD DC AB BA AD λ++=+,1
03
AB AB AB λ++=, 因此43
λ=−
， （Ⅱ）()()()()()2
2
2
2
2
·
·······3?3 3.AC BD AD DC BC CD AD CD DC BC CD AD BC CD CD AB BC CD BC CD CD CD CD CD CD CD =++=+−=−−=++−−=−+−=−=−
18．解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，
∵22a =，∴22
432244202a a a q a q q q q =+⇒=+⇒−−=⇒=或1q =−（舍）
∴2
122n n n a a q
−−=⋅=
由3311157
3121
3341,a b b b d b a b b b d d =++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=++==⎩⎩⎩，∴()111n b n n =+−⨯=
∴{}n a 的通项公式为1
2n n a -=，{}n b 的通项公式为n b n =
（2）∵()11121121222112
n n n n n
S a a a −⨯−=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅==−−
∴21n
n n S b n +=+−
∴()()
21
212012
212
2
2
n n n
n n n n T +−+−−=+
=−+
−
19．
(1) 1
()sin 2cos 2sin 222f x x x x ⎫=−−⎪⎪⎭
1sin 222x x =−sin 23x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，
T π=；
(2) 4
4
x π
π
−
≤≤
Q ，∴52636πππ
−
≤−≤x ，∴11sin 232x π⎛⎫−≤−≤ ⎪⎝
⎭， ()f x ∴的值域为11,2⎡⎤
−⎢⎥⎣⎦
.
20．解：（1）∵()12
n n n S +=
，当1n =时，111a S ==，
当2n ≥时，1n n n a S S −=−()()1122
n n n n +−=
−
n =， ∴n a n =，*n N ∈；
（2）∵11n n n b a a +=
()11n n =+111
n n =−+，
∴11111122334n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−
+−+−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎝⎭⎭11...1n n ⎛⎫+− ⎪+⎝⎭
111n =−+1n n =+．
21．（1）因为{}n a 是一个公比为q 的等比数列，所以1
1n n a a q −=.
因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+即2320
q
q −+=.
解得2q =，1q =.
（2）①若2q =，又它的前4和4
15s =，得
()411151a q q
−=−，解得11a =
所以12n n a -=，因为22n
n n b na n ==⋅，（n *∈N ），
∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+
+⨯，
()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+−⨯+⨯，
∴23
122222n n n T n +−=+++
+−⋅，
∴()11122212212n n n n T n n +++⎛⎫
−=−−⋅=−⋅+
⎪−⎝⎭
②若1q =，又它的前4和4
15s =，即1415a =，115
4
a ∴=
因为2n n b na =，（n *∈N ），所以()()1515
123124
n T n n n =
++++=+L L . 22．（1）令ln t x =,由21,1e x ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
可得[)2,0t ∈− 则不等式(ln )ln 0f x a x −≥在2
1,1e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
上恒成立,可化为()0f t at −≥在[)2,0t ∈−上恒成立 即640t at t −+−≥,变形可得2641a t t ≥−++所以2115633
a t ⎛⎫≥−−+ ⎪⎝⎭
因为[)2,0t ∈−,则11,2
t ⎛⎤∈−∞− ⎥⎝
⎦
所以根据二次函数的图像与性质可知
实数a 满足22max
115115
566332332a t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥
≥−−+=−−−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 所以实数a 的范围为5
2
a ≥−
（2）令(
)
2
2log 4m x =+,则由对数的性质可知2m ≥
函数()()
2
22
22
log 49log
4y f x b x ⎡⎤=++⋅−⎣⎦+的三个零点需满足0y = 所以()()2
2222log 490log 4f x b x ⎡⎤++⋅−=⎣⎦+,化简可得()290f m b m
+⋅−= 即62490b m m m
−
++−= 化简可得25260m m
m b −+−=
因为()()
2
2222log 490log 4f x b x ⎡⎤++⋅−=⎣⎦+恰好有三个实数根 则必有一根为0x =（否则根据函数的对称性可知会有四个根） 即()2log 042m =+=
代入方程25260m m
m b −+−=可解得6b =
则方程可化为256
0m
m m −+=,解方程可得2m =或3m =
当3m =时,即()
2
2log 43x +=,解得2x =± 综上可知,6b =,函数的三个零点分别为0,2,2−。