【教育资料】秋沪科版九年级数学上册23.1.2.30°,45°,60°角的三角函数值教案学习专用

23．1锐角的三角函数
2.30°，45°，60°角的三角函数值课题 2.30°，45°，60°角的三角函数值授课人
教学目标知识技能
1.记住特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值；
2.能由特殊角求三角
函数值和由三角函数值求角度. 3.了解互余两角的三角函数间的关系．数学思考
在探究特殊角的三角函数值的基础上既要会由角度求三角函数值，又要会由三角函数值求角度，同时注意思考角的度数的变化引出的三角函数
值的变化．
问题解决
通过观察、测量直角三角形的30°，45°，60°角的各边的长度，探究出特殊角的三角函数值，并能进行简单的应用．
情感态度
培养学生数形结合的能力和探究问题的能力，体验三角函数的应用价值．
教学
重点
特殊角的三角函数值.
教学
难点
准确计算由特殊角的三角函数组成的式子的值．
授课
类型
新授课课时
教具多媒体
教学活动
教学步骤师生活动设计意图
回顾
1.已知：如图23－1－62，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
那么sin A＝__
a
c__，cos A＝__
b
c__，tan A＝__
a
b__．
图23－1－62图23－1－63
2.如图23－1－63，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝
30°，a＝2，那么c＝__4__，b＝__2_3__.
学生回忆并回答，为本
课的学习提供迁移或类比
方法.
活动一：创设情境导入新课【课堂引入】
1．设你手上的30°角的三角板的最短边长是1，则最长
边长是__2__，第三边长是3，那么sin30°＝__
1
2__，
cos30°＝__
3
2__，tan30°＝__
3
3__；sin60°＝__
3
2__，
cos60°＝__
1
2__，tan60°＝__3__．
2．设你手上的45°角的三角板的直角边长是1，则斜边
长是__2__，那么sin45°＝__
2
2__，cos45°＝__
2
2__，
tan45°＝__1__.
鼓励学生独立解决问
题，让学生初步感受30°，
45°，60°角的三角函数值，
同时让学生根据三角板活
记这些特殊角的三角函数
值.
活动二：实践探究交流新知【探究1】如图23－1－64，观察一副三角板：
图23－1－64
它们共有几个锐角？分别是多少度？
(1)sin30°等于多少？
(2)cos30°等于多少？
(3)tan30°等于多少？
与同伴交流你是怎么想的，又是怎么做的．
(5)sin45°，sin60°等于多少？
(6)cos45°，
cos60°等于多
少？
(7)tan45°，
tan60°等于多
少？
【活动总结】
α30°45°60°
sinα
1
2
2
2
3
2
cosα
3
2
2
2
1
2
tanα
3
3
1 3
1.本探究的设计意图在于
引导学生通过自主探究，
合作交流，对具体问题从
形象到抽象认识，训练学
生从实际问题中抽象出数
学知识．旨在培养学生的
问题意识，提高学生的抽
象思维能力．同时不妨设
两个三角板的最短边长为
单位1，推导出特殊角的
三角函数值. 2.对于特殊
角的三角函数表，最好让
学生自己填写，并记住.
活动二：实践探究交流新知
【探究2】已知锐角α，那么下列结论正确的个数是(A)
(1)sinα的值比0大，但比1小；(2)tanα的值是正值；(3)0＜cos
α＜1；(4)sin2α＋cos2α＝1.
A．4B．3C．2D．1
图23－1－65
[解析] 把锐角α放在Rt△ABC中，如图23－1－65，
(1)∵sinα＝
∠A的对边
斜边
＝
BC
AB＞0，BC＜AB，∴sinα＜1；
(2)∵tanα＝
∠A的对边
∠A的邻边
＝
BC
AC，
3.同角的三角函数
间的关系可针对
学生的情况，酌情
添加.
∴tan α＞0；
(3)∵cos α＝AC
AB ＞0，AC ＜AB ，∴0＜cos α＜1；
(4)∵sin α＝BC AB ，cos α＝AC
AB
，BC 2＋AC 2＝AB 2.
∴sin 2
α＋cos 2
α＝BC 2AB 2＋AC 2AB 2＝BC 2＋AC
2
AB 2
＝1.
∴(1)(2)(3)(4)均正确，故选A .
【活动总结】
1．互余两角的三角函数间的关系：
sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)．
2．同角的三角函数间的关系：
sin 2α＋cos 2α＝1；tan α＝
sin α
cos α
. 教师深入到学生中对需要帮助的学生进行指导. 活动 三： 开放 训练 体现 应用
【应用举例】
1．利用特殊角的三角函数值计算
例1 计算：(1)2sin 30°＋3cos 60°＋tan 45°＝__7
2__；
(2)sin 30°＋cos 30°＝__1＋3
2
__；
(3)sin 260°－2sin 60°＋1＋||1－sin 30°＝__3－3
2__．
2．已知特殊角的三角函数值求锐角
例2 (1)已知sin A ＝1
2，则∠A ＝__30°__；
(2)已知tan A ＝1，则∠A ＝__45°__； (3)已知cos B ＝1
2，则∠B ＝__60°__；
(4)
3
2
＝sin __60°__＝cos __30°__； 1.熟记特殊角的三角函数值是解答此类题的关键，学会准确地计算此类问题，教学中要特别强调准确．
(5)已知β为锐角且3sin (β－15°)＝3
2
，则β＝__75°__；
2.可以安排学生做些前边的变式题，
(6)已知()2sin A －12
＋⎪
⎪⎪
⎪
tan B －
33＝0，∠A ，∠B 为△ABC 的内角且为锐角，则∠C ＝__105°__；
(7)已知α为锐角，且tan 2α－(1＋3)tan α＋3＝0，则α＝__45°
或60°__．
3．利用同角三角函数的关系求三角函数值
例3 已知sin A ＝3
5，∠A 是锐角，求：(1)cos A ；(2)tan A.
解：(1)因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos 2A ＝1－sin 2A.
所以cos A ＝
1－sin 2
A ＝
1－⎝⎛⎭⎫352
＝45.
(2)因为tan A ＝sin A cos A ，所以tan A ＝sin A cos A ＝3
4
.
例3酌情讲解.
【拓展提升】
例4 计算：1sin 60°－cos 45°＋1
sin 45°＋cos 30°
.
[答案] 4 3
例5 [湛江中考] 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin 30°＝12，cos 30°＝3
2，则sin 230°＋cos 230°＝__1__；①
sin 45°＝22，cos 45°＝2
2，则sin 245°＋cos 245°＝__1__；② sin 60°＝
32，cos 60°＝1
2
，则sin 260°＋cos 260°＝__1__；③ … 观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin 2A ＋cos 2
A ＝__1__．④ (1)如图23－1－66，在锐角三角形ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想；
(2)已知∠A 为锐角(cos A ＞0)且sin A ＝3
5
，求cos A.
图23－1－66 图23－1－67
[解析] 先具体计算，从计算中归纳出规律，再进行证明，最后再加以运用．
解：(1)如图23－1－67，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，
例4通过复杂三角函数值的计算，培养学生认真细
致的计算能力．
例5主要是借助特殊角的三角函数值培养学生的阅读能力和归纳探
究能力.
(续表)
活动三：开放训练体现应用则BH2＋AH2＝AB2，sin A＝
BH
AB，cos A＝
AH
AB，∴sin
2A ＋cos2A＝
BH2
AB2＋
AH2
AB2＝
BH2＋AH2
AB2＝1.
(2)∵sin2A＋cos2A＝1，sin A＝
3
5，
∴cos2A＝1－⎝⎛⎭⎫
3
5
2
＝
16
25.
∵cos A>0，∴cos A＝
4
5
. 活动四：课堂总结反思【当堂训练】
1.课本P118中的练习．
2.课本P119中的练习．
当堂检测，及时反馈学
习效果.
【知识网络】
特殊角的三角函数值表
互余两角的三角函数间的关系：sinα＝cos(90°－α)，cos
α＝
sin(90°－α)．
三角函数
锐角α
sinαcosαtanα
30°
1
2
3
2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2 3
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课先根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
的一半和勾股定理求出直角三角形的三边长，再根据锐角三角
函数的定义，求出30°，60°角的三角函数值，类比的方法，
求出45°角的三角函数值.
②[讲授效果反思]
授课主要是应用特殊角的三角函数值进行计算，建议把前边教
材母题的变式变形和命题角度中的中考题，适时地安排给学生
反思，更进一步提升练习，这样更有利于培养学生的计算能力，也突出了学生为主
体、训练为主线.
③[师生互动反思]
___________________________________________________
___________________________________________________
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
.。