一元二次方程根与系数的关系及应用题

一元二次方程根与系数的关系及应用题
一、 根与系数的关系(韦达定理)；
1、定理来源，用配方法推导出来的一元二次方程的求根公式中，由两个根的相互运算而得，
2、定理内容，（1）12b x x a +=- （2） 12c
x x a
=
3、定理特征：和与积的形式特点。

4、定理的延伸：当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积为常数项。

5、解一元二次方程的又一种方法：
观察法，总结观察法的知识要点：用了根的定义和韦达定理，是一种综合性题目，是竞赛中常见
的一种题型。

若0a b c ++=，则有：11x =，2c x a =
，（2）若0a b c -+=，则有：11x =-，2c
x a
= 这里的0a b c ++=是指各项系数不变号和为零的情况，这里的0a b c -+=是指要改变一次项系数符号后和为零的情况。

如: （1）2543215432210x x ++= （2）()2
19981997199910x x -⨯-=
例1.(1)如果x x 12、是方程3x x 2
720-+=的两个根，那么x x 12+=_______ x x 12=_______. (2)如果x x 12、是方程2x x 2
350--=的两个根，那么x x 12+=________ x x 12=________. (3)如果方程20542
=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +________ 21x x =_________.
例2 已知32-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一根是 ；
例3 已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为βα、，求： （1）
11
αβ
+；
（2）()()33++βα的值； （3）22αβ+； （4）αβ-.
例 4 已知βα、是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足
1-1
1=+β
α，求m 的值.
例5 △ABC 的一边长为4，另外两边是方程23150x x m -+=的两根，求m 的取值范围.
变式练习：
1.设1x ，2x
是方程220x -+=的两根,求12
11
x x +的值.
2.下列方程中，两根均为正数的有 个。

（1）x 2 –11 x + 24 =0 （2）3x 2 +10x –9 =0 （3）x 2 + 10x +9 =0 （4）x 2 –10x + 9 =0
3.若方程2450x x --=的两根为12,x x ，求22
11222x x x x -+的值.
4.已知方程22310x x --=的两根为12,x x ，求22
12x x +．
5.已知一元二次方程2340x x +-=的两根为12,x x ，求221122x x x x ++的值.
二、列一元二次方程解应用题
解应用题的一般步
骤（1）找出题中的等量关系；
（2）设未知数；
（3）根据等量关系列出方程；
（4）解一元二次方程；
（5）将方程的解代入原方程检验，回到实际问题中检验；（6）作答结论
注意：求出x值后需要检验是否符合实际意义
草坪问题在一个长30m、宽20m的长方形ABCD
上修建三条同样宽的通道，剩余部分
面积为468m2，那么通道的宽应设计
成多少m？
设通道的宽为x m，列方程
（30-2x）（20-x）=468
篱笆问题利用围墙的一段，砌成一个矩形花园
ABCD（围墙MN最长可利用25m），
现在已备足可以砌50m长墙的材料，
恰好用完，试求AB的长，使矩形花
园的面积为300m2
设m
AB x
=，则()
502m
BC x
=-
由题意，
()
502m25m
BC x
=-≤
列方程，()
502300
x x
-=
解得：
1
10
x=（舍去）
2
15
x=
15
x
∴=
增长率某商品经过两次降价，每盒零售
价由168元降为128元，求两次
降价的平均百分率
设降价的平均百分率为x，列方程
()2
1681=128
x
-
降价销售核桃进价为40元/kg，售价为60
元/kg，平均每天售出100千克，
单价每降低2元，平均每天销量
增加20 kg，若想平均每天获利
2240元，每千克核桃应降价多少
元？
设每千克核桃应降价x元
降价后售价：60-x
单价降2元，销量增加20kg
单价降x元，销量增加
20
2
x
⋅kg
（60-x-40）（100+
2
x
×20）=2240
比赛问题有x支球队参加篮球比赛，共比
赛了45场，已知每两队之间都比
赛一场，求x
∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间
都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴
(1)
2
x x-
=45
传染问题有一人患了流感，经过两轮传染
后共有64人患了流感。

求每轮传
染中平均一个人传染了几个人？
设每轮传染中平均每人传染了x人，
一轮传染：此时共有()
1+x人得病
二轮传染：()
1+x x⋅
∴1+x+x（x+1）=64
x=7或x=-9（舍去）
例1．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？
举一反三：
1．如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，道路的宽为多少米？
例2．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，求榣栏AB的长.
举一反三：
例2.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。

①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

③若墙长为a m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用?
例3.厚辉广场九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
例4.某公司一月份营业额100万元，第一季度总营业额为331万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
例5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，则每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
举一反三：
1.某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？
例6.参加一次足球联赛的每两队之间进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛。

例7.我国中国超级足球联赛（打主客场）比赛中，共比赛132场比赛，请你计算共有多少个队参加比赛。

举一反三：
1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？
2.某次同学聚会中共有若同学聚会，相见时每人都握手问好，某同学发现共握手66次，问这次同学聚会共有多少名同学？
例8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少人。

举一反三：
1.有1个人得了流感，经过两轮传染共有144人患流感，则第三轮后共有多少人患流感?
例9.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3 ，且个位上的数字的平方等于这个两位数，求这个两位数？
举一反三：
1.一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．
例10.某同学存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，求这种存款的年利率．
举一反三：
1.某学生将100元按一年定期存入银行，到期后取出50元，剩余的50元及应得的利息又按一年定期存入，若利率不变，到期后得本利66元，求这种存款的利率？。