第4章信号频域分析(4)

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第4章信号频域分析 (1)
4.1周期信号的频谱—傅里叶级数 (1)
4.1.1三角函数展开式 (1)
4.1.2傅里叶级数的复指数展开式 (4)
4.1.3吉布斯(Gibbs)现象 (6)
4.2 非周期信号的幅值谱密度 (7)
4.1.4 傅里叶变换的主要性质 (9)
4.4 几种典型信号的频谱 (14)
4.4.1 单位脉冲函数信号及其频谱 (14)
4.4.2单边指数函数信号的频谱 (16)
4.4.3正、余弦函数信号的频谱 (17)
4.5随机信号的功率谱密度 (18)
4-6 相干函数 (23)
4-7 倒频谱分析及其应用 (25)
第4章 信号频域分析
信号可以用时域表示也可以用频域描述。

在时域描述（describe by domain of time ）中，信号的自变量为时间，信号的历程随时间而展开。

信号的时域描述主要反映信号的幅值随时间的变化规律。

频域描述（describe by domain of frequency ）以频率为自变量，描述信号中所含频率成分的幅值和相位。

频域描述的结果是以频率为横坐标的各种物理量的谱线或曲线，从频率分布的角度出发研究信号的结构及各种频率成分的幅值和相位关系。

如幅值谱、相位谱、功率谱和谱密度等， 。

时域描述和频域描述为从不同的角度观察、分析信号提供了方便。

运用傅里叶级数、傅里叶变换及其反变换，可以方便地实现信号的时域、频域转换。

4.1周期信号的频谱—傅里叶级数
4.1.1三角函数展开式
对于满足狄利赫利条件，即在区间（-T /2,T /2）连续或只有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点的周期信号，均可展开为
)sin cos ()(001
0t n b t n a a t x n n n ωω++=∑
∞
= （4-1）
其中，常值分量
t
t x T a T T d )(12
/2
/0
000⎰
-=
（4-2）
余弦分量的幅值
t t n t x T a T T n d c o s )(2
02
/2
/0
00ω⎰
-=
（4-3）
正弦分量的幅值
t t n t x T b T T n d s i n )(2
02
/2
/0
00ω⎰
-=
（4-4）
式中： 0n n a a b 、、—傅里叶系数；
T 0—信号的周期，00/π2ω=T ；
0ω—信号的基频，用圆频率或角频率表示；
0n ω—为n 次谐波；
n —为正整数。

由式（4-3）和式（4-4）可知，n a 是n 或0n ω的偶函数；n b 是n 或0n ω的奇函数。

应用三角函数变换，可将式(4-1)正、余弦函数的同频率项合并、整理，可得信号()x t 另一种形式的傅里叶级数表达式
)sin()(1
00∑∞
=++=n n n t n A A t x φω (4-5)
其中，常值分量 =0A t t x T a T T d )(12
/2
/0
000⎰
-=
各谐波分量频率成分的幅值
2
2n
n n b a A += （4-6） 各谐波分量频率成分的初相角
)arctan(
n
n
n b a =φ (4-7) 以ω为横坐标，以n A 和n ϕ为纵坐标所作的图称为频谱（spectrum ）图。

n A —ω图称为幅值谱（amplitude spectrum ）图，n ϕ—ω图称为相位谱（phase spectrum ）图。

从式（4-1）和式（4-5）可知，周期信号可分解成众多具有不同频率的正、余弦（即谐波）分量。

式中第一项0A 为周期信号中的常值或直流分量，从第二项依次向下分别称为信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波n 次谐波，即当n =1时的谐波称为基波（fundamental wave ），n 次倍频成分)sin(0n n t n A ϕω+称为n 次谐波（harmonic ）。

n A 为n 次谐波的幅值，n ϕ为其初相角。

为直观地表示出一个信号的频率成分结构，以ω为横坐标，以n A 和n ϕ为纵坐标所作的图称为频谱（spectrum ）图。

n A —ω图称为幅值谱（amplitude spectrum ）图，n ϕ—ω图称为相位谱（phase spectrum ）图。

由于n 是整数序列，相邻频率的间隔为00/π2T ==∆ωω，即各频率成分都是ω0的整
数倍，因此谱线是离散的。

频谱中的每一根谱线对应其中一个谐波，频谱比较形象地反映了周期信号的频率结构及其特征。

例4-1 求周期方波（如图4-1a ）的频谱，并做出频谱图。

解：
周期方波x (t )在一个周期内表示式为
()00A 0t T /2x t A T /2t 0≤<⎧=⎨--≤<⎩
因x (t )是奇函数，所以有
00=a 0
=n a
////()sin d sin d cos (cos π)
π0000T 2T 2
n 00T 20
00T 200
0024b x t n t t A n t t
T T n t 4A T n 2A n 1n
-=ω=
ωω=-ω=--⎰⎰
⎪⎩⎪
⎨⎧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==2,4,6,0
1,3,5,π4n n n
A
于是，有
)5sin 51
3sin 31(sin π4)(000 +++=
t t t A t x ωωω
0)0
arctan()arctan(===n
n n n b b a φ
幅值谱和相位谱分别如图4-1b 和c 所示。

幅值谱只包含基波和奇次谐波的频率分量，
且谐波幅值以1/n 的倍数衰减；相位谱中各次谐波的相角均为零。

a) b) c)
图4-1 周期方波的频谱图
a)周期方波 b) 幅值谱图 )相位谱图
基波波形如图4-2a 所示；若将上式中第1、3次谐波迭加，图像如图4-2b 所示；若将第1、3、5次谐波迭加, 则图像如图4-2c 所示。

显然，迭加项越多，迭加后越接近周期方波，当迭加项无穷多时，则迭加成周期方波。

a) b) c)
图4-2周期方波谐波成份的叠加
a)基波波形 b) 第1，3次谐波叠加 c) 第1，3，5次谐波叠加
图4-3采用波形分解方式形象地说明了周期方波的时域表示和频域表示及其相互关系。

图4-3 周期方波信号的时和频域表示
4.1.2傅里叶级数的复指数展开式
由欧拉公式
t
n t n e t n 00j sin j cos 0ωωω±=± (4-8)
或
)
(2
j
sin )(2
1cos 0000j j 0j j 0t n t n t n t n e e t n e e t n ωωωωωω-=+=
-- (4-9)
式中： j=1- 式(4-1)可改写为
])j (21
)j (21[)(1j j 000∑∞
=--+++=n t n n n t n n n e b a e b a a t x ωω
(4-10)
令 00a c =， )j (21n n n b a c -=，)j (2
1
n n n b a c +=- 则有
)()(1j j 000∑∞
=--++=n t n n t n n e c e c c t x ωω (4-11)
即
j ()0n t
n
n x t c e
∞
ω=-∞
=
∑
2,1,0±±=n (4-12)
式中： t e
t x T
c t
n T T n d )(1
000j 2
/2
/0
ω--⎰
=
一般情况下n c 是复变函数，可以写成
n e c c c c n n n n φj Im j Re =+= (4-13)
其中n n c c Im ,Re 分别称为实频谱和虚频谱；n n c ϕ,分别称为幅值谱和相位谱。

它们之间的关系为
22)(Im )(Re n n n c c c += (4-14)
n
n
n c c Re Im arctan
=φ (4-15) 例4-2 对图4-1所示周期方波，以复指数展开形式求频谱，并做频谱图。

解：
0d )(12
/2
/0
000==
⎰
-t t x T c T T
j ////()()(cos jsin )d 00000n t
T 2
T 2
n 00T 2
T 2
11c x t e
x t n t n t t T T -ω--=
=
ω-ω⎰
⎰
⎰
-=2
/0
00
0d sin 2j
T t t n A T ω
j 1,3,5,π2,4,6,
2A n n 0
n ⎧-=±±±⎪=⎨⎪=±±±⎩
于是，幅值谱
1,3,5,π2,4,6,n 2A
n c n
n ⎧=±±±⎪
=⎨⎪=±±±⎩ 相位谱
π,,,,
πarctan
π
0,,,,
n 2A n 0n 1352n n 0n 1352
⎧->=-
⎪⎪ϕ==⎨⎪<=---⎪
⎩
幅值谱和相位谱如图4-4所示。

三角函数展开形式的频谱是单边谱(ω从0到∞)，复
指数展开形式的频谱是双边谱(ω从-∞到∞)，两种幅值谱的关系为
000a A c ==，2
212
2n n n n A b a c =+=
(4-15) n c 与n c -共轭，即n c =*
n c -，且n n φφ-=-，双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数。

周期信号频谱，无论是用三角函数展开式还是用复指数函数展开式求得，其特点是：
（1）周期信号的频谱是离散的，每条谱线表示一个正弦分量的幅值； （2）每条谱线只出现在基频整数倍的频率上；
（3）各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成正比，一般谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小，因此，在频谱分析中不必取那些次数过高的谐波分量。

图4-4 周期方波的单、双边幅值谱和相位谱
a)周期方波波形b)相位谱图c）单边幅值谱图d）双边幅值谱图
4.1.3吉布斯(Gibbs)现象
为了进一步了解信号时域与频域的关系，须要解释一种异常现象，即所谓吉布斯(Gibbs)现象，当用Fourier级数的谐波分量之和来表达具有间断点的波形时，可以清楚地看到这种现象。

图4-5表示了方波与锯齿波所呈现的吉布斯现象。

图中N表示谐波分量的项数，例如方波N＝5时，表示取基波、3次和5次谐波分量之和时的波形。

Gibbs现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛所引起的，即使在N→∞时，这一现象也依然存在。

Gibbs现象表明，当用有限项级数之和重现原波形时，所取项数愈多，其合成波形越接近原波形，并随N的增加，波形顶部逐渐平坦，而跳变峰向间断点靠近，跳变峰所包面积减小，并且当N很大时，跳变峰所包面积趋于零，而跳变峰高度将趋近于间断点处幅值的
0.08948。

图4-5吉布斯(Gibbs)现象
这一现象还表明，信号中的低频分量影响了脉冲顶部，而高频分量影响间断点处的波形。

这一现象也可以使人们得到一个启示，当从时域观察一个信号时，从波形变化的缓急程度就可以看出所包含频率的成分，即变化平缓的信号其频带窄，变化越快则频带越宽。

此外，Gibbs 现象是研究滤波器及窗函数的数学基础。

4.2 非周期信号的幅值谱密度
周期信号的频谱是离散的，谱线的角频率间隔00/π2T ==∆ωω。

当∞→0T 时，谱线间隔0→∆ω，于是周期信号的离散频谱就变成了非周期信号的连续频谱。

由式(4-12)，周期信号x (t )在区间)2,2(00T T -的傅里叶级数的复指数形式为
t jn t jn T T n n t
jn n e t e t x T e
c t x 00000)
d )(1(
)(2
/2
/0
ωωω--+∞
-∞
=+∞
-∞
=⎰
∑∑=
=
(4-16)
当周期∞→0T 时，频率间隔ωωd →∆，离散频谱中相邻的谱线无限接近，离散变量
ωω→0n ，求和运算就变成了求积分运算，于是有
ωπωωd ]d )([21)(j j t
t e t e t x t x ⎰⎰∞∞
--∞∞-= (4-17)
这就是傅里叶积分式，由于方括号内时间 t 是积分变量，所以积分后仅是ω的函数，记作X (ω)，即
⎰∞
∞
--=t e t x X t d )()(j ωω (4-18)
于是
j ()()d t
1x t X e 2∞ω-∞=
ωωπ
⎰ (4-19) 称式(4-18)中的X (ω)为x (t )的傅里叶变换，表示为F [x (t )]=X (ω)；称式(4-19)中的x (t )为X (ω)
的傅里叶逆变换，表示为F -1
[X (ω)]=x (t )。

x (t )和X (ω)称为傅里叶变换（fourier transform ）对，表示为)()(ωX t x ⇔。

把f πω2=代入式(4-18)和式(4-19)，有
⎰∞
∞
--=t e t x f X ft d )()(π2j (4-20)
f e f X t x ft d )()(π2j ⎰∞
∞
-= (4-21)
一般情况下，X (f )是实变量f 的复函数，可以写成
)(j )()(I R f X f X f X += (4-22)
或 )
(j |)(|)(f e
f X f X ϕ= (4-23) 式中，|)(|f X 称为幅值谱，简称为频谱；)(f ϕ为相位谱，它们都是连续的。

|)(|f X 的量纲是单位频宽上的幅值，也称作频谱密度或谱密度。

而周期信号的幅值谱||c n 是离散的，
且量纲与信号幅值的量纲相同，这是瞬变信号与周期信号频谱的主要区别。

例4-3 求图4-6所示矩形窗函数)(t w R 的频谱，并作频谱图。

解：矩形窗函数)(t w R 的表达式为
⎩⎨
⎧>≤=2
/0
2
/1
)(T t T t t w R
取傅里叶变换，有
图4-6 矩形窗函数及其频谱
/j π//()()d [cos(π)sin(π)]d sin(π)
cos(π)d πsin c(π)
T 2
2ft
R R T 2
T 2
0W f w t e
t 2ft j 2ft t
fT 22ft t T
fT T fT ∞
--∞
-==-===⎰⎰
⎰
)π(c sin )(fT T f W R = {
,sin ()(),sin ()0c f 0f c f 0
π>ϕ=ππ<
这里定义森克函数x
x
x sin )c(sin =。

该函数是偶函数，并且随x 增加做以π2为周期的衰减振荡，函数在x =n π (n = ,3,2,1±±±)时，幅值为零，如图4-7所示。

图4-7 sinc(x )的图形
4.1.4 傅里叶变换的主要性质
傅里叶变换是信号外析与处理中，时域与频域之间转换的基本数学工具。

掌握傅里叶变换的主要性质．有助于了解信号在某一域中变化时，在另一域中相应的变化规律，从而使复杂信号的计算分析得以简化。

表4-1中列出的各项性质均可用定义公式推导证明，以下对主要性质进行必要证明和解释。

表4-1 傅里叶变换的主要性质
02j f t
π()f
()f X
1.奇偶虚实性质
一般X f ()是实变量f 的复变函数。

由欧拉公式，有
)
(j )(d )π2sin()(j d )π2cos()(d )()(I R π2j f X f X t ft t x t ft t x t
e t x
f X ft -=-==⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-∞
∞-- (4-24)
显然，根据时域函数的奇偶性，容易判断其实频谱和虚频谱的奇偶性。

4.线性叠加性质
由傅里叶变换的定义容易证明，若)()(,)()(f Y t y f X t x ⇔⇔，有
)()()()(f bY f aX t by t ax +⇔+ (4-25)
式中： a b ,—为常数。

3.对称性质
若)()(f X t x ⇔，则有
)()(f x t X -⇔ (4-26)
证明：
f
e f X t x t f d )()(π2j ⎰∞
∞
-=
以-t 替换t ，有
f
e f X t x ft d )()(π2j ⎰∞
∞
--=-
将t 与f 互换，得)(t X 的傅里叶变换
t
e t X
f x ft d )()(π2j ⎰∞
∞
--=-
即 )()(f x t X -⇔
该性质表明傅里叶变换与傅里叶逆变换之间存在对称关系，即信号的波形与信号频谱函数的波形有互相置换的关系。

利用这个性质，可以根据已知的傅里叶变换得出相应的变换对。

图4-8是对称性应用举例。

图4-8 对称性示例
4.时间尺度改变性质
若)()(f X t x ⇔，则有
)0()(1)(>⇔
k k
f
X k kt x (4-27) 证明：
当信号x (t )的时间尺度变为kt 时
j π()j π()d ()d()()
f 2kt 2ft
k
11f x kt e
t x kt e kt X k k k -∞
∞--∞
-∞==⎰
⎰
图4-9为时间尺度改变性质的例子。

图(c )表明当时间尺度压缩(k >1)时，频谱的频带变宽，幅值变低；图(a)表明时间尺度扩展( k <1)时，其频谱的频带变窄，幅值增高。

图4-9 尺度改变性质举例 a)k =1 b) k =0.5 c) k =2
5.时移和频移性质
设)()(f X t x ⇔，若把信号在时域沿时间轴平移一常值t 0，则在其频域引起相应的相移0π2ft ，即
0π2j 0)()(t f e f X t t x ±⇔± (4-28)
证明：
)
j π(j πj πj π()d ()d()
()000
2f t t 2ft 2ft
0002f t x t t e t x t t e e t t X f e ∞
∞
-±±--∞-∞
±±=±⋅±=⋅⎰⎰
同理，在频域中将频谱沿频率轴向右平移常值f 0 ，则相当于在对应时域中将信号乘以因子 t
f e
0π2j ，即
)()(0π2j 0f f X e t x t f ⇔± (4-29)
6.微分和积分特性
若)()(f X t x ⇔，则对式(4-24)两边取时间微分，可得
)(π2j d )
(d f fX t
t x ⇔ (4-30) 这说明一个函数求导后取傅里叶变换等于其傅里叶变换乘以因子f π2j 。

一般有
)()π2j (d )
(d f X f t
t x n n
n ⇔ (4-31) 同样，将式(4-23)对频率f 微分，可得频域微分特性表达式
)()π2j (d )
(d t x t f
f X n n
n ⋅-⇔ (4-32) 积分特性表达式为
)(π2j 1
d )(f X f
t t x t
⇔
⎰
∞
- (4-33) 这说明一个函数积分后取傅里叶变换等于其傅里叶变换除以因子f π2j 。

证明：
因为 ⎰∞
-=t
t x t t x t )(d )(d d
又根据上述微分性质（式(4.35)），有
⎰⎰∞-∞-=t
t t t x fF dt t x t
F ]d )([j2π])(d d [
所以
)(π2j 1
d )(f X f
t t x t
⇔
⎰
∞
- 以上微分与积分特性在信号处理中很有用。

在振动测试中，如果测得位移、速度或加速度中任一参数，便可用傅里叶变换的微分或积分特性求其它参数的频谱。

7.卷积性质
定义
ττd t x t x ⎰
∞
∞
--)()(21为函数)(1t x 与)(2t x 的卷积，记作)()(21t x t x *。

若)()(11f X t x ⇔，)()(22f X t x ⇔，则有
)()()()(2121f X f X t x t x ⇔* (4-34)
上式说明两个时间函数卷积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的乘积。

证明：
t e d t x x t x t x F ft d ])()([)](*)([π2j 2121-∞∞
-∞
∞
-⎰⎰-=τττ
j πj π()j π2j π2()[()d(-)]d ()X (f)d X (f)()d 2f 2f t 122f 12f 1x e x t e t x e
x e ∞∞
-τ--τ-∞-∞
∞-τ
-∞
∞-τ-∞
=τ-τττ=ττ
=ττ
⎰⎰⎰
⎰
)()(21f X f X =
同理
)()()()(2121f X f X t x t x *⇔ (4-35)
上式说明两个时间函数乘积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的卷积。

4.4 几种典型信号的频谱
非周期信号的连续频谱可采用傅里叶变换的方法求得。

周期信号的离散频谱，既可利用傅里叶级数法求得(幅值谱)，又可采用傅里叶变换法间接求得(谱密度)。

下面以几个典型信号为例加以说明。

4.4.1 单位脉冲函数信号及其频谱
图4-10 矩形脉冲与δ-函数
1 单位脉冲函数的定义
在τ时间内激发一个宽度为τ，高度为1/τ的矩形脉冲)(t S τ。

定义单位脉冲函数为
)(lim )(0
t S t ττδ→= (4-36)
也可写成
()t 0
t 0t 0∞=⎧δ=⎨
≠⎩
(4-37) 若延迟到t 0时刻，有
()0
00
t t t t 0t t ∞=⎧δ-=⎨≠⎩ (4-38)
单位脉冲函数又称为-δ函数，用一个单位长的箭头表示，如图4-10所示。

-δ函数下的面积
1d )(lim d )(0==⎰⎰
∞
∞
-→∞
∞
-t t S t t ττδ (4-39)
2
-δ函数的采样性质
如果-δ函数与一个连续的函数x (t )相乘，其乘积仅在t =0处有)()0(t x δ，其余各点之乘积均为零，可得
)
0(d )()0(d )0()(d )()(x t t x t
x t t t x t ===⎰⎰⎰
∞
∞
-∞
∞
-∞
∞
-δδδ (4-40)
同理，有
)
(d )()(d )()(0000t x t
t x t t t t x t t =-=-⎰⎰
∞
∞
-∞
∞
-δδ (4-41)
3
-δ函数与其它函数的卷积
函数)(t δ与任意函数)(t x 卷积是一种最简单的卷积运算，即
)
(d )()(d )()()()(t x t x t x t t x =-=-=*⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-ττδττ
τδτδ (4-42)
同理，有
)(d )()()()(000t t x t t x t t t x ±=-±=±*⎰∞
∞
-ττδτδ (4-43)
由上两式可知：函数)(t x 与)(t δ卷积的结果相当于把函数)(t x 平移到脉冲函数发生的坐标位置，如图4-11所示。

4
-δ函数的频谱
对-δ函数取傅里叶变换，得其频谱
1d )()(0π2j ===∆⎰∞
∞
--e t e t f ft δ (4-44)
)(t δ的频谱如图4-14所示，其傅里叶逆变换为
⎰∞
∞-⋅=f e t ft d 1)(π2j δ (4-45)
由此可知，时域脉冲函数具有无限宽广的频谱，且在所有的频段上都是等强度的。

这种频谱常常称作“均匀谱”或“白色谱”。

)(t δ是理想的白噪声信号。

图4-11 δ-函数与其它函数的卷积
图4-14 δ-函数及其频谱
根据傅里叶变换的对称性及时移、频移特性，可得到下列傅里叶变换对：
时域 频域
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫-⇔⇔-=-⇔⇔-)
()()()(11)(0π2j π2j 00
f f e e
t t f f t ft ft δδδδδ (4-46)
4.4.2单边指数函数信号的频谱
单边指数函数的表达式为
⎩⎨
⎧<>≥=-0
0,0)(t a t e t x at
(4-47)
由式(4-20)，其傅里叶变换为
2
2220
)j2π(j2π0
j2π)2π(2πj )2π(j2π1d d d )()(f a f f a a f a t
e t e e t e t x
f X t f a ft at ft +-+=+====⎰⎰⎰∞
+--∞
--∞
∞
- (4-48)
于是，有
2
2
)
π2(1)(f a f X +=
(4-49)
)π2arctan(
)(a
f
f -=ϕ (4-50) 如图4-13所示，图中4-13 a 为单边指数函数时域表示，4-13b 为其幅值谱，4-13c 为其相位谱。

图4-13 单边指数函数的频谱 a)时域表示 b)幅值谱图 c)相位谱图
4.4.3正、余弦函数信号的频谱
由于周期函数不满足绝对可积的条件，不能直接应用式(4-18)或(4-20)进行傅里叶变换，进行傅里叶变换时可引用-δ函数。

用傅里叶级数法求得周期函数的频谱是离散的，用傅里叶变换法求得的频谱 (密度)亦是离散的。

根据欧拉公式，正、余弦函数可写为：
)(21
j )π2sin(00π2j π2j 0t f t f e e t f -=- (4-51)
)(2
1
)π2cos(00π2j π2j 0t f t f e e t f +=- (4-52)
应用式(4-46)，可得正、余弦函数的傅里叶变换为
)]()([21
j )π2sin(000f f f f t f --+⇔δδ (4-53)
)]()([2
1
)π2cos(000f f f f t f -++⇔δδ (4-54)
其频谱如图4-14所示。

图4-14 正、余弦函数及其频谱
4.5随机信号的功率谱密度
1．自功率谱与互谱
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行Fourier 变换。

又因为随机信号的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有统计特性的功率谱密度来作进分析。

根据维纳-辛钦公式，平稳随机过程的功率谱密度S x (ω)与自相关函数R x (τ)是一Fourier 变换偶对，即
()()ττωωτd e R S j x x -∞
∞
-⎰= (4-55)
()()ωωπ
τωτd e S R j x x ⎰
∞
∞
-=
21 (4-56)
因为自相关函数是偶函数，所以S x (ω)是非负实偶函数。

式(4-55)中谱密度函数定义在所有频率域上，一般称作双边谱。

在实际中，用定义在非负频率上的谱更为方便，这种谱称为单边功率谱密度函数G x (ω)，它们的关系(见图4-22)为：
()()()()022>==-∞
∞
-⎰ωτ
τωωωτd e R S G j x x x （4-56）
典型信号的功率谱密度函数如图4-15所示。

图4-15 单边与双边功率谱密度函数
同理可定义两个随机信号x (t )，y (t )之间的互谱密度函数：
()()ττωωτd e R S j xy xy -∞
∞
-⎰= （4-57）
()()ωωπ
τωτd e S R j xy xy ⎰
∞
∞
-=
21
（4-58）
单边互谱密度函数：
()()()()∞<<==-∞
∞
-⎰
ωτ
τωωωτ02
2d e R S G j xy xy xy （4-59）
因为互相关函数为非偶函数，所以互谱函数是一个复数，即
()()()ωωωxy xy xy jQ C G -= （4-60）
实部为： ()()τωττωd R C xy xy cos 2⎰∞
∞-= （4-61a ） 虚部为： ()()τωττωd R Q xy xy
sin 2⎰
∞
∞
-= （4-62b ）
实部称为共谱(协谱、余谱)密度函数；虚部称为正交谱(重谱、方谱)密度函数。

在实际中常用谱密度的幅值和相位来表示，即：
()()()
ωθωωxy j xy xy e
G G -= （4-63）
()()()ωωω22xy xy
xy Q C G += （4-64） ()()()
ωωωθxy xy xy C Q arctg
= （4-65）
显然，互谱表示出了幅值以及两个信号之间的相位关系。

典型的互谱密度函数如图4-23所示。

图4-23 典型的互谱密度函数
需要指出，互谱密度不象自谱密度那样具有功率的物理涵义，引入互谱这个概念是为了能在频率域描述两个平稳随机过程的相关性。

在实际中，常利用测定线性系统的输出与输入的互谱密度来识别系统的动态特性。

2．功率谱密度函数的物理意义
S x (f )和S xy (f )是在频域内描述随机信号的函数。

因随机信号的积分不收敛，不满足狄里赫利条件，因此不存在典型意义下的傅里叶变换，无法直接得到频谱。

也就是说不可能像确定性信号一样用频谱来对随机信号作频域描述。

但均值为零的随机信号的相关函数在τ→∞时是收敛的，即R x (τ→∞)=0，可满足傅里叶变换条件()x R d ττ∞
-∞
<∞⎰
，根据傅里叶变换理论,
自相关函数R x (τ)是绝对可积的。

在式（4-56）中，令τ=0，则
0(0)()()x x x R S f e df S f df ∞∞
-∞
-∞
==⎰⎰
根据自相关函数本身的定义，当τ=0时
2
001()(0)lim ()(0)lim T
T x T T x t R x t x t dt dt T T
→∞→∞=+=⎰⎰
比较以上两式，可得
20()(0)()lim T x x T x t R S f df dt T
∞-∞→∞==⎰⎰ （4-66） 式（4-7）的图解含义如图4-24所示。

图4-18 a 为原始的随机信号x (t )；图4-24 b 为x 2(t )/T 的函数曲线；图4-24 c 为x (t )的自相关函数R x (τ)；图4-18d 为R x (τ)的傅里叶变换S x (f )即自谱函数曲线。

根据式（4-7），S x (f )曲线下的总面积与x 2(t )/T 曲线下的总面积相等。

按一般的物理概念理解，x 2(t )是信号x (t )的能量，则x 2
(t )/T 是信号x (t )的功率，而20()lim T T x t dt T
→∞⎰就是信号x (t )的总功率，这一总功率与S x (f )曲线下的总面积相等，所以S x (f )曲线下的总面积就是信号x (t ) 的总功率。

由S x (f )曲线可知这一总功率是由无数的在不同频率上的功率元S x (f )df 所总合而成的，S x (f )波形的起伏表示了总功率在各频率处的功率元分布的变化情况，称S x (f )为随机信号x (t )的功率谱密度函数。

用同样的方法，可以解释互谱密度函数S xy (f )。

自功率谱密度函数和幅值谱的关系为
21()lim ()x T S f X f T
→∞= 自功率谱密度函数是偶函数，它的频率
范围是(-∞，∞)，又称双边自功率谱密度函
数。

它在频率范围(-∞，0)的函数值是其在(0，
∞)频率范围函数值的对称映射，因此，可用在f =0~∞范围内G x (f )=2S x (f )来表示信号的全部功率谱。

把G x (f )称为x (t )信号的单边功
率谱密度函数。

图4-25所示为单边谱和双边谱的比较。

4．自功率谱密度S x (f )与幅值谱的关系
自功率谱密度S x (f )为自相关函数R x (τ)的傅里叶变换，故S x (f )包含着R x (τ)中的全部信息。

自功率谱密度S x (f )反映信号的频域结构，这与幅值谱│x (f )│相似，但是自功率谱密度所反映的是信号幅值的平方，因此其频域结构特征更为明显，如图4-26所示。

图4-24自功率谱的几何图形解释
图4-25单边谱和双边谱
5.功率谱的应用
1)．功率谱密度S x (f )与系统的频率响应函数H (f )的关系
对于图4-27所示的线性系统，若输入为x (t )，输出为y (t )，系统的频率响应函数为H (f )，则有
)
()()(f X f Y f H = 其中，H (f )、Y (f )、X (f )均为f 的复函数。

如果X (f )
表示为 )(j )()(f X f X f X I R +=
X (f )的共轭值为
)(j )()(f X f X f X I R -=*
则有 2
22)()()()()(f X f X f X f X f X I R =+=* ⋅===**∙)
()()()()()()()()(f G f G f S f S f X f X f X f Y f H xx xy xx xy （4-67） 上式说明，系统的频响函数可以由输入、输出间的互谱密度函数与输入功率谱密度函数之比求得。

由于S xy (f )包含频率和相位信息，故H (f )亦包含幅频与相频信息。

此外，H (f )还可用下式求得：
2*)()()()()()()()()(f H f S f S f X f Y f X f Y f H f H x y ===*∙*
因此，输入、输出的自功率谱密度与系统频率响应函数的关系如下：
2
()()()y x S f H f S f = （4-68） )(|)(|)(2f G f H f G x y = )(/)()(f S f S f H x y =
求得频响函数之后，对H (f )取逆傅氏变换，便可求得脉冲响应函数h (t )。

但应注意，未经平滑或平滑不好的频响函数中的虚假峰值（干扰引起），将在脉冲响应函数中形成虚假的正弦分量。

通过输入、输出自谱的分析，就能得出系统的幅频特性。

但这样的谱分析丢失了相位信息，不能得出系统的相频特性。

对于如图4-27所示的单输入、单输出的理想线性系统，由式（4-67）可得
()()()xy x S f H f S f = （4-69）
故从输入的自谱和输入、输出的互谱就可以直接得出系统的频率响应函数。

式（4-69）与式（4-68）不同，所得到的H (f )不仅含有幅频特性而且含有相频特性，这是因为互相关函数中包含着相位信息。

图4-26 幅值谱和自功率谱图
图4-27 理想单输入、输出系统
2)．利用互谱排除噪声影响
图4-28为一个受到外界干扰测试系统，n 1(t )为输入噪声，n 2(t )为加于系统中间环节的噪声，n 3(t )为加在输出端的噪声。

该系统的输出y (t )为
)()()()(')(321
t n t n t n t x t y +'+'+= 式中：x ′(t )、n 1′(t )和n 2′(t )分别为系统对x (t )、n 1(t )和n 2(t )的响应。

输入与输出y (t )的互相关函数为
)()()()()(321 τττττxn n x n x x x xy R R R R R +++=''' （4-70）
由于输入x (t )和噪声n 1(t )、n 2(t )和n 3(t )是独立无关的，故互相关函数1'()xn R τ、2'()
xn R τ和3()xn R τ均为零，所以
)()( ττx x xy R R '=
故
)()()()( f S f H f S f S x x x xy ==' （4-71）
式中：H (f )= H 1(f )·H 2(f )，为系统的频率响应函数。

可见，利用互谱分析可排除噪声的影响，这是这种分析方法的突出的优点。

然而应当注意到，利用式（4-71）求线性系统的H (f )时，尽管其中的互谱S xy (f )可不受噪声的影响,但是输入信号的自谱S x (f )仍然无法排除输入端测量噪声的影响，从而形成测量的误差。

图4-28所示系统中的n 1(t )是输入端的噪声，对分离人们感兴趣的输入信号来看，它是一种干扰。

为了测试系统的动特性，有时我们故意给正在运行的系统以特定的已知扰动—输入n (t )，从式（4-10）可以看出，只要n (t )和其它各输入量无关，在测得S xy (f )和S n (f )后就可以计算出H (f )。

3)．功率谱在设备诊断中的应用
图4-29是汽车变速箱上加速度信号的功率谱图。

图4-29a 是变速箱正常工作谱图，图4-29b 为机器运行不正常时的谱图。

可以看到图4-29b 比图4-29a 增加了9.2Hz 和18.4 Hz 两个谱峰，这两个频率为设备故障的诊断提供了依据。

4．瀑布图
在机器增速或降速过程中，对不同转速时的振动信号进行等间隔采样，并进行功率谱分析，将各转速下的功率谱组合在一起成为一个转速—功率谱三维图，又称为瀑布图。

图4-30为柴油机振动信号瀑布图。

图4-30中，在转速为1480rpm 的三次频率上和1990 rpm 的6
次
图4-29 汽车变速箱功率谱图
图 4-28 受外界干扰的系统
频率上谱峰较高，也就是在这两个转速上产
生两种阶次的共振，这就可以定出危险旋转
速度，进而找到共振根源。

5．坎贝尔（Canbel ）图
坎贝尔图是在三维谱图的基础上，以谐
波阶次为特征的振动旋转信号三维谱图。

图
4-31为汽轮发电机组振动的坎贝尔图。

图
4-31中转速为横坐标，频率为纵坐标，右方
的序数1~13为转速的谐波次数，每一条斜
线代表转速在变化过程中该次谐波的谱线变化情况。

坎贝尔图的绘制方法是：先在汽
轮发电机组升速（或降速）过程中在各转速
点上取振动信号，然后作出各转速点上振动的自谱，以各条谱线的高度为半径，以该条谱线在频率轴上的点为圆心作圆，形成一个以圆大小表达的自谱图，将各转速上振动信号的圆自谱图组合起来，绘出各次谐波斜线就成为最后的坎贝尔图，该谱图可更为直观地看出随着转速的增加各次谐波频率成分的变化。

由该图可以看出在1800~2400r/min 范围内基波频率成分较大，在1500~1800 r/min 范围内第十三次谐波成分较大。

二者中尤以前者更为严重，所以可以看出危险的转速范围，并可根据它们找寻相应的振动响应过大的结构部分，加以改进。

图4-31中与水平轴平行的许多圆圈代表了机器不随转速变化的频率成分，一般表示了某些构造部分的固有频率。

4-6 相干函数
1. 相干函数的定义
相干函数是评价测试系统的输入信号和输出信号之间的因果性的指标，评价输出信号的功率谱中有多少是被测输入量所引起的响应，其定义为
图4-31汽轮发电机组振动的坎贝尔图
图4-30 柴油机振动瀑布图
)1)(0()()(|)(|)(22
2≤≤=f f S f S f S f xy y x xy xy γγ (4-72)
如果相干函数为零，表示输出信号与输入信号不相干，当相干函数为1时，表示输出信号与输入信号完全相干。

若相干函数在0~1之间，则表明有如下三种可能：1）测试中有外界噪声干扰；2）输出y t ()是输入x t ()和其它输入的综合输出；3)联系x t ()和y t ()的线性系统是非线性的。

若系统为线性系统，则
1)()()
()()()()()()()(|)(|)(2
2
2====f S f S f S f S f S f S f S f H f S f S f S f y x x y y x x y x xy xy γ
上式表明：对于线性系统，输出完全是由输入引起的响应。

2. 相干函数的应用
图4-32是船用柴油机润滑油泵压油管振动和压力脉动间的相干分析。

润滑油泵转速为n =781rpm,油泵齿轮的齿数为z =14，测得油压脉动信号)(t x 和压油管振动信号)(t y ,压油管压力脉动的基频为
)(24.182600Hz nz f == 由图c 可以看到，当24.1820==f f Hz 时，9.0)(2≈f xy γ；当12.36120≈=f f Hz
时，37.0)(2≈f xy γ；当54.54630≈=f f Hz 时，8.0)(2≈f xy γ；当24.72240≈=f f
Hz 时；75.0)(2≈f xy γ…，齿轮引起的各次谐频对应的相干函数值都比较大，而其它频率
对应的相干函数值很小，由此可见，油管的振动主要是由油压脉动引起的。

从)(t x 和)(t y 的功率谱图也明显可见油压脉动的影响（如图6.22(a)，(b)所示）。

图4-32 油压脉动与油管振动的相干分析
4-7 倒频谱分析及其应用
倒频谱分析亦称为二次频谱分析，是近代信号处理中的一项新技术，它可以检测复杂信号频谱上的周期结构，分离和提取在密集泛频谱信号中周期成分，对于同族谐频或异族谐频、多成分的边频等复杂的信号分析、识别是非常有效的。

在语言分析中对语言音调的测定、机械振动和噪声源的识别、各种故障的诊断与预报、地震的回波与传声回响等领域也得到了广泛地应用。

1、倒频谱的数学描述
已知时域信号)(t x 经过傅里叶变换后，可得到频域函数)(f X 或功率谱密度函数)(f S x ，当频谱图上呈现出复杂的周期、谐频、边频等结构时，如果再进行一次对数的功率谱密度傅里叶变换并取平方，则可以得到倒频谱函数)(q C p ，即
2|)}({log |)(f S F q C x p = (4-73)
)(q C p 又称功率倒频谱（power cepstrum ），或称对数功率谱的功率谱。

工程上常用的是式(6.55)的开方形式，即
C q C q F S f p x 0()()|{log ()}|== (4-74)
C q 0()称为幅值倒频谱，有时简称倒频谱。

自变量q 称为倒频率，它具有与自相关函数)(τx R 中的自变量τ相同的时间量纲，一般取s 或ms 。

因为倒频谱是傅里叶正变换，积分变量是频率f 而不是时间τ，故倒频谱C q 0()的自变量q 具有时间的量纲，q 值大的称为高倒频率，表示谱图上的快速波动和密集谐频，q 值小的称为低倒频率，表示谱图上的缓慢波动和散离谐频。

为了使其定义更加明确，还可以定义
()(){}f S F q C y y log 1-= (4-75)
即倒频谱定义为信号的双边功率谱对数加权，再取其傅里叶逆变换，联系一下信号的自相关函数
()(){}R F S f y τ=-1
可见，这种定义方法与自相关函数很相近，变量q 与τ在量纲上完全相同。

为了反映相位信息，分离后能恢复原信号，又提出一种复倒频谱的运算方法。

若信号x (t )的傅里叶变换为()f X ，则可表示为
()()()f X f X f ΧL R j +=
()t x 的倒频谱记为：
()(){}f X F q C log 10-= (4-76)
显然，它保留了相位的信息。

倒频谱是频域函数的傅里叶变换，与相关函数不同的只差对数加权，其目的是使再变换以后的信号能量集中，扩大动态分析的频谱范围和提高再变换的精度。

同时还可以解卷成分，易于对原信号的分离和识别。

2. 倒频谱的应用
(1) 分离信息通道对信号的影响
在机械状态监测和故障诊断中，所测得的信号，往往是由故障源经系统路径的传输而得到的响应，也就是说它不是原故障点的信号，如欲得到源信号，必须删除传递通道的影响。