素养微专题5 三角函数中ω值的求法探究
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202三4届角孙=函数中ω值的求法探究
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
素养微专题5 三角函数中ω值的求
法探究
1 1
三角孙=函数中ω值的求法探究
《高考特训营》 ·数学 返 回
素养解读：三角函数中有关ω的求解 在三角函数的图象与性质中，影响三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的周期性、单调性、对称性及函数的最值、零点、极值点的主要参数 是ω.求ω的取值范围是近几年高考的重点，因其求法复杂，涉及的知识 点多，历来是我们复习中的难点．
2
三角孙=函数中ω值的求法探究
《Байду номын сангаас考特训营》 ·数学 返 回
类型一 三角函数的周期性与ω的关系
典 例 1 (2023·山 东 青 岛 一 模 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ sin 2ωx － cos 2ωx ＋
1(0<ω<1)，将 f(x)的图象上所有的点先向左平移π4个单位长度，然后再向
下平移 1 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，若 g(x)的图象关于点(π，0) 4
则 ω 的取值范围为( )
A．(0，83]
B．(0，21]
C．[12，83]
D．[83，2]
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三角孙=函数中ω值的求法探究
《高考特训营》 ·数学 返 回
[素养指导] 根据正弦函数的单调递增区间确定函数 f(x)的单调递增区间，根据函数
f(x)＝sin(ωx＋π6 )(ω>0)在区间[－π4 ，2π 3 ]上单调递增建立不等式，求 ω 的取值范围．
所以 k＝0，则 0<ω≤12，故选 B.
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三角孙=函数中ω值的求法探究
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法二：取ω＝1，则 f(x)＝sin(x＋π6)，令π2＋2kπ≤x＋π6≤32π＋2kπ，k∈Z，
得π＋2kπ≤x≤4π＋2kπ，k∈Z，当 k＝0 时，函数 f(x)在区间[π，4π]上单
3
解析：f(x)＝ 2sin(2ωx－π4 )＋1，将 f(x)的图象上所有的点先向左平移π4
个单位长度，然后再向下平移 1 个单位长度，得到函数 g(x)＝ 2sin [2ω(x
ππ ＋ 4 )－ 4 ]＝
2sin(2ωx＋2ω4－1π)的图象，故
π g( 4 )＝
2sin(2ω4π＋
2ω4－1π)＝ 2sin(4ω4－1π)＝0，
对称，则ω＝( )
A．1 4
B．1 2
C．23
D．34
3
三角孙=函数中ω值的求法探究
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[解题指导] 由条件利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律求出函数解析式，然后 应用周期公式确定周期关系求ω. 答案：A
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三角孙=函数中ω值的求法探究
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3
33
调递减，与函数 f(x)在区间[－π4，23π]上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四
个选项可知选 B.
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[素养点评] 结合三角函数的单调性建立不等关系，求出函数的单调区间是解决本 类问题的关键，一般要先求解出整体的范围，即ωx＋φ的范围，分析 ωx＋φ的范围所在的区间，列出不等式，求出ω.
1．(2023·广东省二模)若函数 y＝ 6sin ωx 与 y＝ 6cos ωx 的图象的任意
连续三个交点构成边长为 4 的等边三角形，则正实数ω＝( )
A．12
B．1
C．π2
D．π
答案：C
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解析：作出函数 y＝ 6sin ωx 和 y＝ 6cos ωx 的图象，设两图象相邻的 三个交点分别为 A，B，C，如图所示，则|AB|＝4，△ABC 为等边三角 形，
答案：B
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－ωπ＋π≥－π＋2kπ，k∈Z， 46 2
解析：法一：由题意得 2ωπ＋π≤π＋2kπ，k∈Z， 3 62
ω≤8－8k，k∈Z， 3
8－8k>0，k∈Z， 3
则 ω≤12＋3k，k∈Z，又ω>0，所以 12＋3k>0，k∈Z，
由图可知，函数 y＝ 6sin ωx 的最小
正周期
T＝|AB
|＝4，又
T
＝2π，所以 ω
ω＝2Tπ＝24π＝π2，故选 C.
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类型二 三角函数的单调性与ω的关系 典例 2 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π6 )(ω>0)在区间[－π4 ，2π 3 ]上单调递增，
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2．(2023·浙江高三开学考试)已知函数 f(x)＝cos ωx(ω>0)的图象关于点
(38π，0)对称，且在区间[0，π8]上是单调函数，则ω的值不可能是(
)
A．4 3
B．4
C
．20 3
D．238
答案：D
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类型三 三角函数的对称性与ω的关系
π 典例 3 已知函数 f(x)＝cos(ωx＋ 3 )(ω>0)的图象的一条对称轴为直线 x
＝π3 ，一个对称中心为点(π12，0)，则ω有(
)
A．最小值2 C．最小值1
B．最大值2 D．最大值1
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[解题指导] 根据对称性分析函数周期，然后列出不等式求解ω的值或范围． 答案：A
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解析：由已知可得 cos(ω·38π)＝0，则ω·38π＝π2＋kπ，k∈Z，即ω＝43＋83k， k∈Z，又函数在区间[0，π8]上是单调函数，可知T2≥π8－0，即12·2ωπ≥π8，解 得 0<ω≤8，所以当 k＝0 时，ω＝43，当 k＝1 时，ω＝4，当 k＝2 时，ω ＝230，满足题意，即ω＝43或ω＝4 或ω＝230.故选 D.
所以4ω4－1π＝kπ，k∈Z，ω＝k＋41，k∈Z，由于 0<ω<1，所以 ω＝
14.故选 A．
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[素养点评]
解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期 T＝2ωπ与所给区间的关系，
从而建立不等关系．
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法探究
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素养解读：三角函数中有关ω的求解 在三角函数的图象与性质中，影响三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的周期性、单调性、对称性及函数的最值、零点、极值点的主要参数 是ω.求ω的取值范围是近几年高考的重点，因其求法复杂，涉及的知识 点多，历来是我们复习中的难点．
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类型一 三角函数的周期性与ω的关系
典 例 1 (2023·山 东 青 岛 一 模 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ sin 2ωx － cos 2ωx ＋
1(0<ω<1)，将 f(x)的图象上所有的点先向左平移π4个单位长度，然后再向
下平移 1 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，若 g(x)的图象关于点(π，0) 4
则 ω 的取值范围为( )
A．(0，83]
B．(0，21]
C．[12，83]
D．[83，2]
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[素养指导] 根据正弦函数的单调递增区间确定函数 f(x)的单调递增区间，根据函数
f(x)＝sin(ωx＋π6 )(ω>0)在区间[－π4 ，2π 3 ]上单调递增建立不等式，求 ω 的取值范围．
所以 k＝0，则 0<ω≤12，故选 B.
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法二：取ω＝1，则 f(x)＝sin(x＋π6)，令π2＋2kπ≤x＋π6≤32π＋2kπ，k∈Z，
得π＋2kπ≤x≤4π＋2kπ，k∈Z，当 k＝0 时，函数 f(x)在区间[π，4π]上单
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解析：f(x)＝ 2sin(2ωx－π4 )＋1，将 f(x)的图象上所有的点先向左平移π4
个单位长度，然后再向下平移 1 个单位长度，得到函数 g(x)＝ 2sin [2ω(x
ππ ＋ 4 )－ 4 ]＝
2sin(2ωx＋2ω4－1π)的图象，故
π g( 4 )＝
2sin(2ω4π＋
2ω4－1π)＝ 2sin(4ω4－1π)＝0，
对称，则ω＝( )
A．1 4
B．1 2
C．23
D．34
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[解题指导] 由条件利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律求出函数解析式，然后 应用周期公式确定周期关系求ω. 答案：A
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调递减，与函数 f(x)在区间[－π4，23π]上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四
个选项可知选 B.
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[素养点评] 结合三角函数的单调性建立不等关系，求出函数的单调区间是解决本 类问题的关键，一般要先求解出整体的范围，即ωx＋φ的范围，分析 ωx＋φ的范围所在的区间，列出不等式，求出ω.
1．(2023·广东省二模)若函数 y＝ 6sin ωx 与 y＝ 6cos ωx 的图象的任意
连续三个交点构成边长为 4 的等边三角形，则正实数ω＝( )
A．12
B．1
C．π2
D．π
答案：C
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解析：作出函数 y＝ 6sin ωx 和 y＝ 6cos ωx 的图象，设两图象相邻的 三个交点分别为 A，B，C，如图所示，则|AB|＝4，△ABC 为等边三角 形，
答案：B
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－ωπ＋π≥－π＋2kπ，k∈Z， 46 2
解析：法一：由题意得 2ωπ＋π≤π＋2kπ，k∈Z， 3 62
ω≤8－8k，k∈Z， 3
8－8k>0，k∈Z， 3
则 ω≤12＋3k，k∈Z，又ω>0，所以 12＋3k>0，k∈Z，
由图可知，函数 y＝ 6sin ωx 的最小
正周期
T＝|AB
|＝4，又
T
＝2π，所以 ω
ω＝2Tπ＝24π＝π2，故选 C.
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类型二 三角函数的单调性与ω的关系 典例 2 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π6 )(ω>0)在区间[－π4 ，2π 3 ]上单调递增，
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2．(2023·浙江高三开学考试)已知函数 f(x)＝cos ωx(ω>0)的图象关于点
(38π，0)对称，且在区间[0，π8]上是单调函数，则ω的值不可能是(
)
A．4 3
B．4
C
．20 3
D．238
答案：D
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类型三 三角函数的对称性与ω的关系
π 典例 3 已知函数 f(x)＝cos(ωx＋ 3 )(ω>0)的图象的一条对称轴为直线 x
＝π3 ，一个对称中心为点(π12，0)，则ω有(
)
A．最小值2 C．最小值1
B．最大值2 D．最大值1
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[解题指导] 根据对称性分析函数周期，然后列出不等式求解ω的值或范围． 答案：A
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解析：由已知可得 cos(ω·38π)＝0，则ω·38π＝π2＋kπ，k∈Z，即ω＝43＋83k， k∈Z，又函数在区间[0，π8]上是单调函数，可知T2≥π8－0，即12·2ωπ≥π8，解 得 0<ω≤8，所以当 k＝0 时，ω＝43，当 k＝1 时，ω＝4，当 k＝2 时，ω ＝230，满足题意，即ω＝43或ω＝4 或ω＝230.故选 D.
所以4ω4－1π＝kπ，k∈Z，ω＝k＋41，k∈Z，由于 0<ω<1，所以 ω＝
14.故选 A．
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[素养点评]
解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期 T＝2ωπ与所给区间的关系，
从而建立不等关系．
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