数值分析01-误差.

，用计算机计算
3出2 1.2599210498 9487
，（15位数）。尽管精确度相
当高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了对h取前有限位 数时，计算所得体积的误差。
阜师院数科院第一章 误差
1-6
W
Y
例 1（续）
表1-1 立方倍积问题的计算
位数
高度
体积
误差
2
1.2
1.728
2.7200×10-1
3! 5! 为其截断误差。
阜师院数科院第一章 误差
1-10
W
Y
条件问题
计算方法中有一类问题称为条件问题，
条件问题是一个算法 （公式）由于初始
数据或者中间某些数据微小摄动对计算结
果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、
观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条
件问题的计算方法是十分重要的课题，有
的时候，一些问题的条件并不坏，但由于
e x x*
er

e x

x x* x
分别称e为近似值 x *的绝对误差或误差， er为x*的相对误差。
一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝
对误差e的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情 况估计出e 的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界ε :
e xx*
这样的ε称为x *的绝对误差限或误差限。
差是需要特别重视的。
（4）在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无
穷小数，如， , e ， 2,1/ 3 等，由于计算机数系是
间断的且有界，即计算时只能对有限位数进行运算，因
此必须进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差
。阜师院数科院第一章 误差
1-9
W
舍入误差
Y
有时，带有误差的数据也被人们频繁使用。例如，在某 次人口普查，经统计我国某省的人口数为7123万，这就是
出 p1 1534 即第一天的桃子数为1534。。
上例中仅涉及整数序列递推，根据初值条件来选择正
向递推或逆向递推使实际问题得以解决。尽管正向递推和
逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的
算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，可以一
种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误

I
* k 1

1 5
Ik

I
* k
从而有:
Io

I
* 0


1 n 5
因此从
I
* 14
出发计算到
I
In

I
* n
* 0
时，其误差已缩小
1 514
倍。
上例说明，对于同一问题，不同的算法对初始数据的误差
（或计算过程中某一步的舍入误差）的传播是不同的，一
个算法，经过指定次数计算后，若仍能将初始数据的误差
大5倍，因而由算法1计算出的In*误差是的5n 倍，
事实上由式(1
4)有
lim
h
(
I
n

I
* n
)

，这就是引起
表1 1中后面的计算值符号交替变换且绝对值愈
阜来师院愈数科大院第并一章远误差远超过1的原因。
1-18
W
Y
说明（续2）
而对算法2，以 I k
计算
I k 1
应有
I k1
8
1.259921
1.99999976239049
2.3771×10-7
9
1.25992104
1.99999995287860
4.7121×10-8
由上表可知，计算机机器数的有限位特点使这一问题只
能在满足一定的精度条件下解决，误差是无法消除的。
阜师院数科院第一章 误差
1-7
W
Y
§1 误差来源
一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其 差称为误差。引起误差的原因是多方面的。
1-4
W
Y
误 差 （ 续1）
其中 a1 0 ，且 a1, a2 ,, an 都是整数0~9中的任一个数。
10 m 称为尾数，尾数的位数n是有限正整数；0.a1a2 an
中的m称为阶数，阶数也是有界的数。所以，机器数中有 最大的数，也有最小的数。用机器数表示实数时，很多情 况下都带有误差 。

1 xn dx 0 x5
1 xn dx 1 , 0 5 5(n 1)
In

1 xn dx 0 x5
1 xn 06
dx 1 6(n 1)
所以有
1 6(n 1)

In

1 5(n 1)
阜师院数科院第一章 误差
于是可设计如下两种算法：
1-14
W
Y
两种算法
In

5I n1
解 设第k天的桃子数为pk，则桃子数目变化规律为
1
pk 2 pk 1 1
阜师院数科院第一章 误差
1-12
W
Y
递 推 算 法（续 1）
这是正向递推的关系式，解之，可得逆向递推关系式
pk1 2( pk 1), (k 10,9,,2)
由初值 p10 1 ，根据上式设计算循环算法计算
Y
W
阜师院数科院第一章 误差
1-1
W
Y
第一章
误差
阜师院数科院第一章 误差
1-2
W
Y
第一章目录
§1 误差来源 1.1 模型误差 1.2 观察误差 1.3 舍入误差 1.4 截断误差
§2 绝对误差、相对误差和有效数字 2.1 绝对误差与相对误差 2.2 有效数字
§3 基本运算中的误差估计
阜师院数科院第一章 误差
3
1.25
1.953125
4.6875×10-2
4
1.259
1.995616979
4.3830×10-3
5
1.2599
1.999899757799
1.0024×10-4
6
1.25992
1.99999500019149
4.9998×10-6
7
1.259921
1.99999976239049
2.3761×10-7

1 1 5k

Ik
(k
n,n 1,,2,1)
(1 3)
依式（1-3）计算 I n1, I n2 ,, I1, Io 的近似值。
分别取I
* 0

0.18232155，I1*4

1 2
1 6 15

1 5 15

0.01222222
按阜师算院数法科1院、第一算章 误法差2的计算结果见下屏表1 1：
误发射，除了操作人员的疏忽、机器的故障引起的过失误
差外，计算机在处理数据过程中还存在计算误差。这是计
算机机器数系所引起的，这一数系的特点是有限、离散、
支离破碎；这和数学上常用的实数系无限、稠密、连续的
特点完全不同。机器数的表示方法通常采用浮点数形式，
即：
0.a1a 2 a n 10 m
阜师院数科院第一章 误差
1-15
W
表1-1
Y
n
In（按算法1计算）
0
0.18232155
In（按算法2计算） 0.18232155
1
0.08839225
0.08839222
2
0.05803875
0.05803892
3
0.04313958
0.04313873
4
0.03430208
0.0343033
5
0.02848958
0.02846835
一个用近3.似14数15，92其6来舍代入替误圆差周不率超，过其0.舍5万入。误差为R 3.1415926
在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项代替无穷项。
如对于正弦函数: sin x x 1 x3 1 x5 1 x7 3! 5! 7!
取 S x 1 x3 1 x5 ，作近似计算，则 R sin x S
的影响限于一定范围之内，这个算法的稳定性就好，反之
稳定性差，上例中，算法2具有数值稳定性、而算法1则是
数值不稳定的。显然，只有选用数值稳定性好的算法，才
能求得较准确的结果。
阜师院数科院第一章 误差
1-19
W
Y
§2 绝对误差、相对误差和有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
设 x *为准确值的近似值，记
在2400多年前，古希腊人提出了被称为几何三 大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常 被误差所困扰。下面问题就是三大难题之一。
阜师院数科院第一章 误差
1-5
W
Y
例题
例1 立方倍积问题。作一个立方体，使其体积 为已知立方体的二倍 。
解 不妨设已知立方体体积为1。要作的立方体体积
为2，则所求方立体高度应该为h 3 2
1-3
W
第一章 误 差
Y
数值计算方法就是“研究用于求得数学问题近似解
的方法和过程”，由于算法的实现必须在计算机上进行，
虽然计算机是非常准确且快捷的计算工具，但计算机并不
是象一般人想象哪样可以解决一切问题而不出差错。
半个世纪以来计算机还给我们这个世界的诸多烦恼中，
误差问题最为突出。小到银行利率的错算，大到导弹的错
差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增
长的算法。
阜师院数科院第一章 误差
1-13
Y
W
例3 计算：In 01递5x推n x d算x 法n （0续,1,2,2）,20
(1 1)
解: 当n=0
时
Io
1 xo dx
0 5 x
ln(5
x)
1 0
ln 6 ln 5
带误差，这种误差称为观测误差。
阜师院数科院第一章 误差
1-8
W
方法误差与舍入误差
Y
（3）在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结 果，但实际计算时，只能用有限过程来计算。如无穷级数 求和，只能取前面有限项求和来近似代替，于是产生了有
限过程代替无限过程的误差，称为截断误差，这是计 算方法本身出现的误差，所以也称方法误差，这种误
算，尽管
I
* 14
取值精度不高，其误差


1 2

1 75

1 90


0.0011
但递推计算得到的
I
* 0
却有8位有效数字，为什么会出现
这样的现象？下面的分析说明，这是舍入误差在计算过程
中传播所引起的后果。
设
I
* 0
有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起），假
定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（1-2）有：
算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入
误差在计算过程中不断被放大，而可能导
致计算结果的精度大大降低，甚至使计算
失去意义。
阜师院数科院第一章 误差
1-11
W
Y
递推算法
递推算法是解决实际问题中使用相当普遍的一种算法， 它的数学描述是带初值的递推关系式。
例2 小猴吃桃问题。有一天小猴摘下了若干个桃子，当 即吃掉了一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个。第二天接 着吃了剩下的一半，又多吃了一个。以后每天都是吃掉尚 存的桃子的一半零一个。到第十天早上，小猴准备吃桃子 时，看到只剩下1个桃子了。问小猴第一天共摘下了多少 个桃子？
由此可得 出递推计
I n 5I n1
1
xn
5x n1 dx

0 x5
1 x n1dx 1
0
n
算公式:
In
5I n1
1 n
(1 2)
由于x (0,1), 所以有 1
1
1 xn
xn

xn
6 x5 5 6 x5 5
而
In
阜师院数科院第一章 误差
1-17
W
说 明（续1）
In

5I n1

1 n
(1 2)
Y
I0 I
I1 5I0 1
I1

5I
0
1
I1

I1

5(I0

I
0
)

5

In

I
n

5( I n 1

I
n1
)

(5) n
(4 1)
即原始数据I0*的误差经算法1计算一次，误差就扩
6
0.02421875
0.02432491
Hale Waihona Puke 70.02176339
0.02123260
8
0.01618305
0.01883699
9
0.03019588
0.01692617
10
-0.05097941
0.01536914
11
0.34580612
0.01406339
12
-0.64569726
13
8.30540938
显然，误差限不是唯一的。
阜师院数科院第一章 误差
1-20
W
Y
误差限的意义
x * 有误差限及近似值，就

1 n
(1 2)
算法1
取Io
1 1 dx ln 6 ln 5 ln 6 ln1.2
0 x5
5
按式（1 2），对n 1,2,依次计算 I1，I2，的近似值。
算法2
取I*

1 2

1 6(n 1)

1 5(n 1)

，由（1-2）可得：
I k 1
0.01301636 0.01184127
14
-41.45561831
0.01222222
由表中结果可见，按算法1得到 阜师院数科院第一章 误差
I
* 10

0
，这显然是错的。 1-16
W
Y
说明
因为对任意n≥0均有：0
1 6(n 1)

In

1 5(n 1)
1
以及 I n I n1 且 n 时， I n 0 。而按算法2计
（1）从实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时， 对被描述的实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次 要因素，这样建立的数学模型虽然具有“精确”、“完 美”的外衣，其实只是客观现象的一种近似。这种数学
模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差。
（2）在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到 的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不