组合数学北大教材习题_answer

第一章习题
1.证任一正整数n可唯一地表成如下形式:,0≤a i≤i,i＝1,2,…。

2.证nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1).并给出组合意义。

3.证。

4.有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数。

问有多少种方案？.
5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。

6.试求从1到1000000的整数中，0出现了多少次？
7.n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？
8.n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子,n≥r,要求无一空盒，试证其方案数为.
9.设,p1、p2、…、p l是L个不同的素数，试求能整除尽数n的正整数数目.
10.试求n个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？
11.凸10边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10边形的对角线交于多少个点？又把所有对角线分割成多少段？
12.试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。

13.统计力学需要计算r个质点放到n个盒子里去,并服从下列假定之一，问有多少种不同的图象。

假设盒子始终是不同的。

(a)Maxwell-Boltzmann假定：r个质点是不同的，任何盒子可以放任意数个.
(b)Bose-Einstein假定：r个质点完全相同，每一个盒子可以放任意数个.
(c)Fermi-Dirac假定：r个质点都完全相同，每盒不超过一个.
14.从26个英文字母中取出6个字母组成一字，若其中有2或3个母音，问分别可构成多少个字(不允许重复)？
15.给出的组合意义.
16.给出的组合意义。

17.证明:
18.从n 个人中选r 个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？
19.分别写出按照字典序由给定排列计算其对应序号的算法及由给定序号计算其对应排列的算法。

20.(a)按照第19题的要求，写出邻位对换法(排列的生成算法之二)的相应算法。

(b)写出按照邻位对换法由给定排列生成其下一个排列的算法。

21.对于给定的正整数n,证明当时，C(n,k)是最大值。

22.(a)用组合方法证明
和
都是整数. (b)证明1
2)
!()!
( n n n 是整数.
23.(a)在2n 个球中,有n 个相同,求从这2n 个球中选取n 个的方案数。

24.证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中.
(a)0出现偶数次的字符串有个；
(b)，其中.
25. 5台教学机器m 个学生使用，使用第1台和第2台的人数相等，有多少种分配方案？
26.在由n 个0及n 个1构成的字符串中，任意前k 个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？
27.在1到n 的自然数中选取不同且互不相邻的k 个数，有多少种选取方案？
28.(a)在5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的，有多少个? (b)在m 个0，n 个1组成的字符串中,出现01或10的总次数为k 的，有多少个？
第二章习题
1.证明等式⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n n 2 (2102)
222 2.求(1+x 4+x 8)100中x 20项的系数.
3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？
4.求由A,B,C,D 组成的允许重复的排列中 AB 至少出现一次的排列数目。

5.求n 位四进制数中2和3必须出现偶次的数目。

6.试求由a,b,c 三个文字组成的n 位符号串 中不出现aa 图像的符号串的数目。

7.证明序列 C(n,n),C(n+1,n),C(n+2,n),...
的母函数为 ()
1
11
+-n x 。

8.证明C(n,n)+C(n+1,n)+ … + C(n+m,n)=C(n+m+1,n+1).
9.利用63
121112
222π=+++ ，改善 §4(2) 的p n 估计式。

10. 8台计算机分给3个单位，第1单位的分配量不超过3台，第2单位的分配量不超过4台，第3个单位不超过5台，问共有几种分配方案？
11. 证明正整数n 都可以唯一地表示成不同的且不相邻的Fibonacci 数之和。

即
1,0 ,0 ,12
===+≥∑i i i i i i a a a F a n .
注意F 1=F 2=1是相同的Fibonacci 数。

12. 设空间的n 个平面两两相交，每3个平面有且仅有一个公共点，任意4个平面都不共点。

这样的n 个平面把空间分割成多少个不重叠的域？
13. 相邻位不同为0的n 位2进制数中一共出现了多少个0？
14. 在Hanoi 塔问题中，在柱A 上从上到下套着n 个圆盘，其编号依次从1到n 。

现要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转移到柱B 和柱C 上。

转移规则仍然是每次移动一个，始终保持上面的比下面的小。

一共要移动多少次？
15. 一书框中有m 格，每格各放n 册同类的书，不同格放的书类型不同。

现取出整理后重新放回，但不打乱相同类。

试问无一本放在原来位置的方案数应多少？
16. 设一矩形ABCD,其中
作C 1B 1使得AB 1C 1D 是一正方形。

试证矩形B 1C 1CD 和ABCD 相似。

试证继续这过程可得一和原矩形相似的矩形序列。

17. 平面上有两两相交，无三线共点的n 条直线，试求这n 条直线最多把平面分成多少个域？
18. 在一圆周上取n 个点，过一对顶点可作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦把圆分割成几部分？
19. 求n 位二进制数相邻两位不出现11的数的个数。

20. 在n 个文字，长度为k 的允许重复的排列中，不允许一个文字连续出现三次，求这样的排列的数目。

21. 求14+24+34+...+n 4
的和。

22. 求矩阵100
2013⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-。

23. 求
∑∑∑===++=+=-=n
k n n
k n k n n K k k S k k S k k S 0
0)
2)(1(),
2(),1(
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条一条地画n 条与圆相交的直线。

当r 是大于1的奇数时，第r 条直线只与前r-1条直线之一在圆内相交。

当r 是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。

如果无3条直线在圆内共点，这n 条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？
25. 用a n 记具有整数边长周长为n 的三角形的个数。

（a ）证明 ()⎪⎩
⎪⎨⎧-++=+--是奇数，当是偶数，当n n a n a a n n n n 41,
2
1
33 （b ）求序列{a n }的普通形母函数。

26.
（a ）证明边长为整数、最大边长为L 的三角形的个数是
2)1(4
1
+L 当L 是奇数，
L L )2(4
1
+ 当L 是偶数 （b ）设f n 记边长不超过2n 的三角形的个数，而g n 记边长不超过2n+1的三角形的个数，求f n 和g n 的表达式。

27. 设 ∑∑=-=++=+=≥n
k n k n n k k n b k k
n a n 010)1
2(),2(,0
（a ）证明 a n+1=a n +b n+1, b n+1=a n +b n （b ）求序列{a n }与{b n }的母函数。

（c ）用Fibonacci 数来表示a n 与b n 。

28. 设 F 1=F 2=1, F n =F n-1+F n-2
（a ）证明 1,11>>+=--+-k n F F F F F k n k k n k n 。

（b ）证明F m |F n 的充要条件是m|n 。

[m 被n 整除] （c ）证明 2, (2)
110
62≥≥⎩⎨⎧++++=-+-+-+-+-+n m n F n F F F F F F n m n m n m n m m n n m 是偶数，当是奇数，当。

（d ）证明(F m ,F n )=F (m,n), (m,n)为m,n 的最大公约数。

29. 从1到n 的自然数中选取k 个不同且不相邻的数，设此选取的方案为f(n,k)。

（a ）求f(n,k)的递推关系。

（b ）用归纳法求f(n,k)。

（c ）若设1与n 算是相邻的数，并设在此假定下从1到n 的自然数中选取k 个不同且不相邻的k 个数的方案数为g(n,k)，利用f(n,k)求g(n,k)。

31. 求下图中从A 点出发到n 点的路径数。

32. n 位0,1符号串，求从左向右只在最后两位才出现0，0的符号串的数目。

33. 试证
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+110111n n
n n n
F F
F F 34．用腰的长度分别为1与2的直角等腰三角形的砖及边长为1的正方形的砖给宽度为1长度为n 的路铺面，有多少方案？在所有的方案中，小三角形的砖、大三角形的砖及正方形的砖各一共用了多少块？
a
第三章习题
1.某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议
2.求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数.
3. n个代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。

4. 试给出下列等式的组合意义.
5.设有三个7位的二进制数：a1a2a3a4a5a6a7，b1b2b3b4b5b6b7，c1c2c3c4c5c6c7．试证存在整数i和j，1≤i ≤j≤7，使得下列之一必定成立：a i=a j=b i=b j，a i=a j=c i=c j，a i=a j=c i=c j．
6. 在边长为1的正方形内任取5个点试证其中至少有两点，其间距离小于
7．在边长为1的等边三角形内任取5个点试证其中至少有两点，期间距离小于1/2．
8. 任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。

9. 把从1到326的326个整数任意分为5个部分，试证其中有一部分至少有一个数是某两个数之和，或是另一个数的两倍。

11. n个球放到m个盒子中去，n＜(m/2)(m－1)，试证其中必有两个盒子有相同的球数。

12. n各单位各派两名代表去出席一会议。

2n位代表围一圆桌坐下。

试问：
（1）各单位代表并排坐着的方案是多少？
（2）各单位的两人互不相邻的方案数又是多少？
13. 一书架有m层，分别放置m类不同种类的书，每层n册。

先将书架上的图书全部取出清理。

清理过程要求不打乱所有的类别。

试问:
（1）m类书全不在各自原来层次上的方案数有多少？
（2）每层的n本书都不在原来位置上的方案数等于多少？
（3）m层书都不在原来层次，每层n本书也不在原来位置上的方案数又有多少？
14．m+1行列的格子同m种颜色着色，每格着一种颜色，其中必有一个4角同色的矩形。

15. 两名教师分别对6名学生同时进行两门课程的面试（每名教师各管一门课程）每名学生每门面试的时间都是半个小时，共有多少不同的面试顺序？
16.在平面直角坐标系中至少任去多少个整点（两个坐标系都是整数）才能保证其中存在3个构成三角形（包含3点在一条直线上）的面积是整数（可以为0）．
17. 在平面直角坐标系中至少任去多少个整点才能保证存在3个点构成的三角形的重心是整点？
第四章习题
1.试证(4-2-2)对应关系是同构。

2.试证对于有限群G的任一元素a,存在一整数r,使得a r=e.而且r必能整除g，g是群G的阶。

3.试证下列函数对于运算f·g=f(g(x))是一个群。

f1(x)=x,f2(x)=,f3(x)=1-x,f4(x)=,f5(x)=,f6(x)=.
4.一正立方体的六个面用g,r,b,y四种颜色涂染，求其中两个面用色g,两个面用色y,其余一面用b,一面用r 的方案数。

5.对一正六面体的八个顶点，用y和r两种颜色染色，使其中有5个顶点用色y,其余3个顶点用色r,求其方案数。

6.由b、r、g三种颜色的5颗珠子镶成的圆环，共有几种不同的方案?
7.一个圆圈上有n个珠，用n种颜色对这n个珠子着色，要求颜色数目不少于n的方案数。

8.若已给两个r色的球，两个b色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多少不同的方案?
9.试说明S5群的不同格式及其个数。

10.图4-1-1用两种颜色着色的问题，若考虑互换颜色使之一致的方案属同一类，问有多少不同的图象？
11.在正四面体的每个面上都任意引一条高，有多少方案？
12.一幅正方形的肖像与一个立方体的面一样大，6副相同的肖像贴在立方体的6个面上有多少种贴法？
13.凸多面体中与一个顶点相关的各面角之和与2π的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠角之和为4π.
14.足球由正5边形与正6边形相嵌而成。

(a)一个足球由多少块正5边形与正6边形组成？
(b)把一个足球所有的正6边形都着以黑色，正5边形则着以其它各色，每个5边形的着色都不同，有多少种方案？
15.(a)本质上有多少种确实是2个输入端的布尔电路？写出其布尔表达式。

(b)本质上有多少种确实是3个输入端的布尔电路？
16.用8个相同的骰子垛成一个正6面体，有多少方案？
17.正六面体的6个面和8个顶点分别用红、蓝两种颜色的珠子嵌入。

试问有多少种不同的方案数?(旋转使之一致的方案看作是相同的)。