2 流体静力学
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Cos(n,x)表示外法线n与x轴正向夹角的余弦，即单位矢量n在x轴方向的投影值。
第二章 流体静力学
微元流体上的质量力为：
1 d Fm dV f m dxdydz ( f x i f y j f z k ) 6 流体处于平衡状态，根据 dFm dF 0，简化后有：
W Y y
因此
W Z z
函数W(x,y,z）称为势函数。具有这样势函数的质量力称为有势力。 如重力、牵连惯性力。 因为在所有的空间上的任一点都存在质 量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。
结论：液体只有在有势的质量力的作用下才能平衡。
第二章 流体静力学
重力场是一种有势力场。重力势函数为 W=-gz。
只有重力作用下的等压面应满足的条件：
1）静止； 2）连通； 3) 连通的介质为同一均质流体； 4) 质量力仅有重力； 5) 同一水平面。
四、气体压强的计算
气体密度很小，在高差不大的情况下，气柱产生的压强值可 忽略，可以认为空间各点气体压强相等，p=p0 烟气排放时必须考虑不同高度空气压强的差异。
第二章 流体静力学
a.流体对地球无相对运动
第二章 流体静力学
§2-1
流体静压强及其特性
定义： 平衡流体中的压强称为流体静压强，记作 p P dP p lim A0 A dA 式中 A —— 微元面积； P —— 作用在 A 表面上的总压力大小。 单位： 1bar=105 Pa,
工程单位：kgf/cm2, kgf/m2
流体静力学基本方程：
所以
C p0 gH
p p0 g H z p0 h
当 p0 0 时，p h
第二章 流体静力学
流体静力学基本方程： p p0 g H z p0 h
2、结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某点静水压强随深度按线性规律增加。 其大小等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。
第二章 流体静力学
三、静压强分布图
用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。
p p0 h
p0
p
h
gh
静水压强分布图的绘制： 1）按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小， 一般为相对压强； 2） 用箭头标出静水压强的方向，垂直指向作用面。 3）受压面为平面时，压强分布图的外包线为直线；受压面为曲线时， 曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。
即质量力与ds正交。
第二章 流体静力学
§2-3
重力场中流体的平衡
wenku.baidu.com
一、流体静压强的基本方程式
1、流体静力学基本方程 重力作用下静止流体质量力： X Y 0, Z g 代入流体平衡微分方程的综合式： dp Xdx Ydy Zdz dp gdz p pgz C 在液面上有： z=H 时, p=p0
px py pz pn
而n是任意选取的，故同一点静压强大小相等，与作用 面的方位无关。 不同空间点的流体静压强，一般来说是各不相同的，即 流体静压强是空间坐标的连续函数。
p p( x、y、z）
第二章 流体静力学
作用在ACD面上 的流体静压强
pz
px
作用在BCD面上 pn 的静压强
作用在ABD面 上的静压强
三、分界面和自由面是水平面
1、分界面和自由面处压强相等，是水平面。 2、静止非均质流体的水平面是等压面、等密面和等温面。 流体分层现象。 3、液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。 4、多种液体在同一容器或连通管的条件下求压强或压差， 必须注意把分界面作为压强关联的联系面。
第二章 流体静力学
2)流体处于平衡状态时，单位质量流体所受的表面力分量与质量力 分量彼此相等。 3 质量力作用的方向就是压强递增率的方向。
第二章 流体静力学
如果单位体积的质量力在某两个轴向分力为零，则压强在该平面就 无递增率，则该平面为等压面。如果质量力在各轴向的分力均为零， 就表示无质量力作用，则静止流体空间各压强相等。
z
C
px
pn
B
n
py
y
f 1 A dP ( p x dydz pn ABC cos(n, x))i pz x 2 1 ( p y dxdz pn ABC cos(n, y )) j 2 1 ( p z dxdy pn ABC cos(n, z ))k 2 1 1 1 ( p x pn ) dydzi ( p y pn ) dxdzj ( p z pn ) dxdyk 2 2 2
特点：大小与方向均与受压面有关。
第二章 流体静力学
流体静压强的特性： 一、流体静压强的方向必然沿着作用面的内法线方向。
p
m
pn
图2—1静止流体中的单元体
用任意一个平面将静止流体切割分为两部分，取阴影部分为隔离 体，如果切割平面上某一点m 处静压力方向不是法线方向而是任意方 向的，则p 可分解为切向分量pτ 和法向分量pn，因为静止流体即不承 受切应力，也不承受拉力，否则将破坏平衡，所以静压力唯一可能的 方向就是和作用面内法线方向一致。
第二章 流体静力学
以x 轴方向为例，进行受力分析： 表面力： p 1 p dxdydz 2 x 1 p p dxdydz 2 x 质量力： Xdxdydz
根据平衡条件，在x 方向
F
x
0
1 p 1 p p dx dy dz p dx dy dz Xdxdydz 0 2 x 2 x p X 0 x
pv p p a p hv pv
第二章 流体静力学
相对压强与绝对压强的关系 说明：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。
第二章 流体静力学
二、压强的计量单位
a.应力单位 从压强定义出发，以单位面积上的力表示，N/m2，Pa， kPa。 b.大气压：1标准大气压(atm)=1.013X105Pa=101.3 kPa 工程大气压1at=1kgf/cm2 c.液柱高 ：水柱高mH20， 在通风工程中常遇到较小的压强，用mmH20表示。 1atm = 101.325kPa = 10.33mH2O = 760mmHg 1at = 98.07kPa = 10mH2O = 736mmHg 1bar = 100 kPa
§2-4
压强的计算基准和测量
一、压强的两种计算基准
a.绝对压强（absolute pressure）：是以绝对真空状态下的压强（绝 对零压强）为零点起算的压强，用p′（pabs ）表示，p′≥0。 b.相对压强（relative pressure）：又称“表压强”，是以当地同高 程的大气压强pa为零点起算的压强。用p 表示 ，p = p′– pa 国际气象组织规定北纬45度海平面的平均压强为标准大气压，其值 为101.325kPa。 c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的 相对压强。 真空度pv 真空高度
1 p x pn f x dx 0 3 1 p y pn f y dy 0 3 1 p z pn f z dz 0 3
z
C
px
pn
B
n
py
y
A
f
pz
x
第二章 流体静力学
dx、dy、dz 趋于零时，四面体缩到O点，其上任何一点的压强 px、py 、pz、pn 就变成O点上各方向的流体静压强，于是得到
第二章 流体静力学
二、在静止流体中，任意一点流体静压强的大小与作用面在 空间的方位无关，只与该点的位置有关。
z
C
px pn
B
n
py
y
A
f
x
pz
图2—2平衡流体中的微元四面体
在平衡流体中任取边长为 dx、dy 、dz 的微元四面体OABC， n为斜面ABC的外法线方向。
第二章 流体静力学
设四面体每个面上任意一点压强分别 用 px 、py 及 pz 表示，则作用在微元四面 体表面力为
py
图2－2 微元四面体受力分析
第二章 流体静力学
X 方向受力分析:
表面力
质量力：
第二章 流体静力学
§2-2
流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式
它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。 如图所示，在平衡流体中取一微元正六面体，边长分别为 dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，
2
z2
位置水头
p/γ——该点在压强作用下沿测压管所能 上升的高度，压强水头
0
0
（z+p /γ）——测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头
意义：平衡流体中，各点的测压管水头是一常数。 2、物理意义 z ——单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，位能 p/γ ——单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，压能 （ z+p/γ ）——单位重量流体的总势能，用相对压强表示。 意义：平衡流体中，各点的总势能是一常数。
第二章 流体静力学
二、流体静力学基本方程的意义
流体静力学基本方程又可写为： p1 p2 p z C z1 z2
p1
1
z1
p2
2
z2
0
图2—6静压强基本公式的意义
0
第二章 流体静力学
1、几何意义 z ——任一点相对于基准面0-0的高度，
p1
1
z1
p2
2）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一 连续连通的静止流体的等压面是水平面。
3) 帕斯卡定律：水静压强的等值传递。 在平衡状态下不可压缩流体中，作用在其边界上的压力将等值、均 匀地传递到流体的所有各点。 4）推广：已知某点的压强和两点间高差，即可求另外一点的压强值。
p2 p1 h
第二章 流体静力学
流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
物理意义： 1)压强沿轴向的变化率（ 的分量（ρ X，ρ Y，ρ Z）。 ）等于轴向单位体积上的质量力
f ds 0
第二章 流体静力学
等压面上任一点的质量力恒与等压面正交， f ds 0
证明：设想某一质点流体M在等压面上移动一微分距离ds， 设质点的单位质量力为：
则作用在质点上的质量力做功应为：
f和ds 的夹角
即：质量力作功等于它在各轴向分力作功之和。 又，在平衡流体等压面上
二、流体平衡微分方程的综合式
压强p = p(x,y,z)全微分
dp
p p p dx dy dz x y z
各项依次乘以dx,dy,dz后相加得：
1 p p p Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z
第二章 流体静力学
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 流体静压强及其特性 流体平衡微分方程 重力场中流体的平衡 压强的计算基准和测量
§2-5
§2-6 §2-7
液体的相对平衡
作用在平面上的静水总压力 作用在曲面上的静水总压力
第二章 流体静力学
流体静力学研究平衡流体的力学规律及其应用。 相对于坐标系 平衡 b.流体对运动容器无相对运动 的相对平衡 平衡流体相互之间没有相对运动，流体不呈现粘性， 作用在流体上的表面力只有法向的静压强。 本章主要任务：研究流体静压强在空间的分布规律； 平衡流体作用在平面或曲面上的总压力等。并在此基础 上解决一些工程实际问题。
z
g
z
o x
y
图2—4 重力场的质量分力 不可压缩流体平衡微分方程式积分后的普遍关系式 积分
dp dW
p W C
C p0 W0
p p0 W W0
第二章 流体静力学
四、等压面及其特性
1、等压面（equipressure surface）： 是指流体中压强相等的各点(dp=0)所组成的面。 常见的等压面： 自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的分界面。 2、等压面重要性质： 等压面就是等势面。 等压面上任一点的质量力恒与等压面正交，即
流体平衡微分方程的综合式
dp Xdx Ydy Zdz
第二章 流体静力学
三、质量力的势函数
对于不可压缩流体ρ =常数，则必有某个函数W(x,y,z)满足
dW Xdx Ydy Zdz
而
W W W dW dx dy dz x y z
W X x
第二章 流体静力学
微元流体上的质量力为：
1 d Fm dV f m dxdydz ( f x i f y j f z k ) 6 流体处于平衡状态，根据 dFm dF 0，简化后有：
W Y y
因此
W Z z
函数W(x,y,z）称为势函数。具有这样势函数的质量力称为有势力。 如重力、牵连惯性力。 因为在所有的空间上的任一点都存在质 量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。
结论：液体只有在有势的质量力的作用下才能平衡。
第二章 流体静力学
重力场是一种有势力场。重力势函数为 W=-gz。
只有重力作用下的等压面应满足的条件：
1）静止； 2）连通； 3) 连通的介质为同一均质流体； 4) 质量力仅有重力； 5) 同一水平面。
四、气体压强的计算
气体密度很小，在高差不大的情况下，气柱产生的压强值可 忽略，可以认为空间各点气体压强相等，p=p0 烟气排放时必须考虑不同高度空气压强的差异。
第二章 流体静力学
a.流体对地球无相对运动
第二章 流体静力学
§2-1
流体静压强及其特性
定义： 平衡流体中的压强称为流体静压强，记作 p P dP p lim A0 A dA 式中 A —— 微元面积； P —— 作用在 A 表面上的总压力大小。 单位： 1bar=105 Pa,
工程单位：kgf/cm2, kgf/m2
流体静力学基本方程：
所以
C p0 gH
p p0 g H z p0 h
当 p0 0 时，p h
第二章 流体静力学
流体静力学基本方程： p p0 g H z p0 h
2、结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某点静水压强随深度按线性规律增加。 其大小等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。
第二章 流体静力学
三、静压强分布图
用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。
p p0 h
p0
p
h
gh
静水压强分布图的绘制： 1）按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小， 一般为相对压强； 2） 用箭头标出静水压强的方向，垂直指向作用面。 3）受压面为平面时，压强分布图的外包线为直线；受压面为曲线时， 曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。
即质量力与ds正交。
第二章 流体静力学
§2-3
重力场中流体的平衡
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一、流体静压强的基本方程式
1、流体静力学基本方程 重力作用下静止流体质量力： X Y 0, Z g 代入流体平衡微分方程的综合式： dp Xdx Ydy Zdz dp gdz p pgz C 在液面上有： z=H 时, p=p0
px py pz pn
而n是任意选取的，故同一点静压强大小相等，与作用 面的方位无关。 不同空间点的流体静压强，一般来说是各不相同的，即 流体静压强是空间坐标的连续函数。
p p( x、y、z）
第二章 流体静力学
作用在ACD面上 的流体静压强
pz
px
作用在BCD面上 pn 的静压强
作用在ABD面 上的静压强
三、分界面和自由面是水平面
1、分界面和自由面处压强相等，是水平面。 2、静止非均质流体的水平面是等压面、等密面和等温面。 流体分层现象。 3、液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。 4、多种液体在同一容器或连通管的条件下求压强或压差， 必须注意把分界面作为压强关联的联系面。
第二章 流体静力学
2)流体处于平衡状态时，单位质量流体所受的表面力分量与质量力 分量彼此相等。 3 质量力作用的方向就是压强递增率的方向。
第二章 流体静力学
如果单位体积的质量力在某两个轴向分力为零，则压强在该平面就 无递增率，则该平面为等压面。如果质量力在各轴向的分力均为零， 就表示无质量力作用，则静止流体空间各压强相等。
z
C
px
pn
B
n
py
y
f 1 A dP ( p x dydz pn ABC cos(n, x))i pz x 2 1 ( p y dxdz pn ABC cos(n, y )) j 2 1 ( p z dxdy pn ABC cos(n, z ))k 2 1 1 1 ( p x pn ) dydzi ( p y pn ) dxdzj ( p z pn ) dxdyk 2 2 2
特点：大小与方向均与受压面有关。
第二章 流体静力学
流体静压强的特性： 一、流体静压强的方向必然沿着作用面的内法线方向。
p
m
pn
图2—1静止流体中的单元体
用任意一个平面将静止流体切割分为两部分，取阴影部分为隔离 体，如果切割平面上某一点m 处静压力方向不是法线方向而是任意方 向的，则p 可分解为切向分量pτ 和法向分量pn，因为静止流体即不承 受切应力，也不承受拉力，否则将破坏平衡，所以静压力唯一可能的 方向就是和作用面内法线方向一致。
第二章 流体静力学
以x 轴方向为例，进行受力分析： 表面力： p 1 p dxdydz 2 x 1 p p dxdydz 2 x 质量力： Xdxdydz
根据平衡条件，在x 方向
F
x
0
1 p 1 p p dx dy dz p dx dy dz Xdxdydz 0 2 x 2 x p X 0 x
pv p p a p hv pv
第二章 流体静力学
相对压强与绝对压强的关系 说明：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。
第二章 流体静力学
二、压强的计量单位
a.应力单位 从压强定义出发，以单位面积上的力表示，N/m2，Pa， kPa。 b.大气压：1标准大气压(atm)=1.013X105Pa=101.3 kPa 工程大气压1at=1kgf/cm2 c.液柱高 ：水柱高mH20， 在通风工程中常遇到较小的压强，用mmH20表示。 1atm = 101.325kPa = 10.33mH2O = 760mmHg 1at = 98.07kPa = 10mH2O = 736mmHg 1bar = 100 kPa
§2-4
压强的计算基准和测量
一、压强的两种计算基准
a.绝对压强（absolute pressure）：是以绝对真空状态下的压强（绝 对零压强）为零点起算的压强，用p′（pabs ）表示，p′≥0。 b.相对压强（relative pressure）：又称“表压强”，是以当地同高 程的大气压强pa为零点起算的压强。用p 表示 ，p = p′– pa 国际气象组织规定北纬45度海平面的平均压强为标准大气压，其值 为101.325kPa。 c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的 相对压强。 真空度pv 真空高度
1 p x pn f x dx 0 3 1 p y pn f y dy 0 3 1 p z pn f z dz 0 3
z
C
px
pn
B
n
py
y
A
f
pz
x
第二章 流体静力学
dx、dy、dz 趋于零时，四面体缩到O点，其上任何一点的压强 px、py 、pz、pn 就变成O点上各方向的流体静压强，于是得到
第二章 流体静力学
二、在静止流体中，任意一点流体静压强的大小与作用面在 空间的方位无关，只与该点的位置有关。
z
C
px pn
B
n
py
y
A
f
x
pz
图2—2平衡流体中的微元四面体
在平衡流体中任取边长为 dx、dy 、dz 的微元四面体OABC， n为斜面ABC的外法线方向。
第二章 流体静力学
设四面体每个面上任意一点压强分别 用 px 、py 及 pz 表示，则作用在微元四面 体表面力为
py
图2－2 微元四面体受力分析
第二章 流体静力学
X 方向受力分析:
表面力
质量力：
第二章 流体静力学
§2-2
流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式
它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。 如图所示，在平衡流体中取一微元正六面体，边长分别为 dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，
2
z2
位置水头
p/γ——该点在压强作用下沿测压管所能 上升的高度，压强水头
0
0
（z+p /γ）——测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头
意义：平衡流体中，各点的测压管水头是一常数。 2、物理意义 z ——单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，位能 p/γ ——单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，压能 （ z+p/γ ）——单位重量流体的总势能，用相对压强表示。 意义：平衡流体中，各点的总势能是一常数。
第二章 流体静力学
二、流体静力学基本方程的意义
流体静力学基本方程又可写为： p1 p2 p z C z1 z2
p1
1
z1
p2
2
z2
0
图2—6静压强基本公式的意义
0
第二章 流体静力学
1、几何意义 z ——任一点相对于基准面0-0的高度，
p1
1
z1
p2
2）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一 连续连通的静止流体的等压面是水平面。
3) 帕斯卡定律：水静压强的等值传递。 在平衡状态下不可压缩流体中，作用在其边界上的压力将等值、均 匀地传递到流体的所有各点。 4）推广：已知某点的压强和两点间高差，即可求另外一点的压强值。
p2 p1 h
第二章 流体静力学
流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
物理意义： 1)压强沿轴向的变化率（ 的分量（ρ X，ρ Y，ρ Z）。 ）等于轴向单位体积上的质量力
f ds 0
第二章 流体静力学
等压面上任一点的质量力恒与等压面正交， f ds 0
证明：设想某一质点流体M在等压面上移动一微分距离ds， 设质点的单位质量力为：
则作用在质点上的质量力做功应为：
f和ds 的夹角
即：质量力作功等于它在各轴向分力作功之和。 又，在平衡流体等压面上
二、流体平衡微分方程的综合式
压强p = p(x,y,z)全微分
dp
p p p dx dy dz x y z
各项依次乘以dx,dy,dz后相加得：
1 p p p Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z
第二章 流体静力学
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 流体静压强及其特性 流体平衡微分方程 重力场中流体的平衡 压强的计算基准和测量
§2-5
§2-6 §2-7
液体的相对平衡
作用在平面上的静水总压力 作用在曲面上的静水总压力
第二章 流体静力学
流体静力学研究平衡流体的力学规律及其应用。 相对于坐标系 平衡 b.流体对运动容器无相对运动 的相对平衡 平衡流体相互之间没有相对运动，流体不呈现粘性， 作用在流体上的表面力只有法向的静压强。 本章主要任务：研究流体静压强在空间的分布规律； 平衡流体作用在平面或曲面上的总压力等。并在此基础 上解决一些工程实际问题。
z
g
z
o x
y
图2—4 重力场的质量分力 不可压缩流体平衡微分方程式积分后的普遍关系式 积分
dp dW
p W C
C p0 W0
p p0 W W0
第二章 流体静力学
四、等压面及其特性
1、等压面（equipressure surface）： 是指流体中压强相等的各点(dp=0)所组成的面。 常见的等压面： 自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的分界面。 2、等压面重要性质： 等压面就是等势面。 等压面上任一点的质量力恒与等压面正交，即
流体平衡微分方程的综合式
dp Xdx Ydy Zdz
第二章 流体静力学
三、质量力的势函数
对于不可压缩流体ρ =常数，则必有某个函数W(x,y,z)满足
dW Xdx Ydy Zdz
而
W W W dW dx dy dz x y z
W X x