折叠问题解题探究

折叠问题解题探究
问题的提出：折叠即产生对称，是初中数学重要知识之一。

也是近几年中考的命题热点，是高频
问题。

而学生往往对折叠中隐含的不变量“不识庐山真面目”而忽视隐含的已知，致使解题陷入绝境，导致失分；或者问题复杂化，舍近取远，浪费时间。

问题1：如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，你能得到什么结论？
（学生口答）
此图中，若AB=8cm ，AD=10cm ，求EC 的长。

师：解决此问题依据是轴对称中确定不变量，采用方程思
想，运用勾股定理、相似基本策略解决问题。

比较简单的折叠问题，不变量及隐含条件还比较直观，
易寻找判断。

问题2：如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸
片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片展平，求AFE 的度数.
师：不变量的确定，寻求隐含条件可以降低问题难度，找到解决问题的突破口。

解决问题的依据：轴对称
解决问题的策略：寻求不变量、勾股定理、相似、中垂线、平行线性质
例： 在一张长方形ABCD 纸片中， AB ＝20cm ． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分
别求折痕的长．
(1) 如图1, 折痕为AE;
(2) 如图2, P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 若AD ＝25cm, 折痕为EF ．
(分析时一题多解，不同角度不同方法解题)
A C D A D
D F 图①
图②
图③
练习：
1． 如图①，将一组对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A ’、B ’处，线段FB ’与AD 交于点M ．
(1)试判断△MEF 的形状，并证明你的结论；
(2)如图②，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C ’、D ’处，且使MD ’经过点F ，试判断四边形MNFE 的形状，并证明你的结论； (3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形．
2.如图，矩形纸片ABCD 中，8cm AB =，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交
DC 于点F ，若25
cm 4AF =
，则AD 的长为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm
3.把边长为4的正方形ABCD 的顶点C 折到AB 的中点M ，折痕EF 的长为 .
课后问题再探索：折折叠叠中找巧门 1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展
开，得到的图形是（ ）
2.如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的
点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形
ADA E '是菱形，则下列说法正确的是 （ ）
A ． DE 是△ABC 的中位线
B ． AA '是B
C 边上的中线 C ． AA '是BC 边上的高
D ． AA '是△ABC 的角平分线
A ．
B ．
C ．
D ． A B
C E
F
D 第2题图 A (第1题图②)
B
C
E F
D A ’ B ’ A B
C
E F
D A ’ B ’ D ’
C ’
M M N
(第1题图①
)
F
D C
A M A
B
D
E
A
3.将一张纸第一次翻折，折痕为AB（如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使PA与PQ重合，折痕为PC（如图3），第四次翻折使PB与PA重合，折痕为PD（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则CPD
∠的大小是（）
A．120B．90C．60D．45
4.将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）。

动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）。

（1）用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t=1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）连结AC，将OPQ
△沿PQ翻折，得到EPQ
△，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE 与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
图1
O P A x
B
D
C
Q
y
（第4题图）
O P A x
B
C
Q
y
E。