10幂函数

例2.证明幂函数f ( x)
x在[0,]上是增函数.
证明 : 任取 x1 , x2 [0,], 且 x1 x2 , 则
f ( x1) f ( x2)
x
1

x
2
2

(
x
1

x
2
)(
1
x x
2
1

x
2
)

x x x x
1 1
x

方法技巧:分子有理化
2
因为 x1
x ,x ,x
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 4 8
2
1 2
3 3 9 27
3
1 3
… … … …
yx
2
yx
3
… -27 -8
1
y x2
… …

\
1 3
\
1 2
\ -1
0 \
1 1
… …
yx
1
作出下列函数的图象:
yx
(-2,4)
2
4
yx
3
(2,4)
3
yx
1
2
y x2
(-1,1)
1
(1,1)
2 2 3
< >
1.5
1.5
>

练习
（1）1 .3 0 .5 ＜ 1 .5 0 .5 2 2 （2） 5.1 ＜ 5.09 ___
1
（3）
0 .5 4
2 3
＞ 0 .4 4
_＞_ 0 .8 _
2 3
1
（4） 0 .7
思考： 若 m 4
1 2
3 2m
1 2
0
1
a<0 x
2
3
1
2
1
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表 示,则它们的函数关系式将是: y
x
定义
一般地, 函数y
x

叫做幂函数, 其中x是自变量,
是常量.
几点说明:
1 、y

x
中 x 前面的系数为 , 并且后面没为常数项. 1

2 定义域没有固定， 与的值有关. 、
幂函数与指数函数的对比
名称 式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a
a
底数 指数
x
指数 底数
y
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
例1: 判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
( 2) y 1 x
2
1
(4) y x 2
(5) y=2x2 (6) y=x3+2
幂函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需 要支付p=w元,这里p是w的函数; y x 2 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 S a , 这里S是a的函数; y x 3 V a (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 , y x 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 1 边长 a 2 , 这里S是a的函数; y x s (5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 1 v t km / s, 这里v是t的函数. y x
(3) y= -x2
这个是幂函数
1.在函数y
2
这个是幂函数
2
x
, y 2 x, y
x
x, y 1 , 中
哪几个是幂函数
2. 已知幂函数y f ( x)的图象过点(2, 2 ), 试求出这个函数的解析式.
解 : 设所求幂函数为y 因为函数过点( 2, 所以 log
x
奇函数
增函数 (0,0),(1,1)
y x2
非奇非偶 增函数 (0,0),(1,1) 奇函数
(1,1)
yx
1
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异. • ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函 数图象都通过点(1,1).

★如果α >0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数. ★如果α <0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数. ★当α 为奇数时,幂函数为奇函数, ★当α 为偶数时,幂函数为偶函数.
2 1
2
[0,], 所以 x1 x2 0,
x
1

x
2
0,
所以f ( x1) f ( x2), 即幂函数f ( x)
x在[0,]上的增函数.
例3：判断大小
（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.2-0.3 与 0.3-0.3 （3） m 1） 与 m （ （4） 2 + m 2）3 与 2 （

1 2
, 求 m的 取 值 范 围 .
解 : 幂 函 数 f ( x ) x
的 定 义 域 是 (0, )
且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ( , ), 即 为 m 的 取 值 范 围 . 3 2
2
例4：讨论 y
x 3 函数的性质，并画出图像

,

2 ), 所以 2 2 ,
1 2 1
2
2 log
2
.
2

1 2
故所求的幂函数为y
x
2
练习：已知幂函数 f(x)的图像经过点 （3，27）. 求证：f(x)是奇函数。
作出下列函数的图象:
1
yx
yx
2
yx
3
yx
2
yx
1
x
yx
… … …
-3 -3 9
-2 -2 4
-1 -1 1 -1
yx
2
1
-4
-2
4
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(-1,-1)
-1
-2
从图象能得出他 们的性质吗?
-3
几个幂函数的性质:
1
yx
yx
2
yx
3
yx
2
yx
1
定义域
yx
值域 R
y0
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性
公共点
R
2
增函数 (0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)
yx
yx
R
3
1
R
x0 x0
R
y0 y0
小结 一. 定 义
二. 图
三. 性 四. 应
象
质 用
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1
1
指数大于1,在第一象限为 抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为 上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为 水平的射线； 指数小于0,在第一象限为 双曲线型；