广东省深圳市高级中学高二数学下学期期中试卷 文(含解

广东省深圳市高级中学2 014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文
科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：常规题型；简易逻辑．
分析：由若﹁p，则﹁q的逆否命题为若q，则p，可知q是p的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件．
解答：解：∵﹁p是﹁q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
故选A．
点评：本题考查了充分、必要条件的转化，属于基础题．
2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y=e﹣x B．y=x3C．y=lnx D．y=|x|
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．
解答：解：对于选项A，y=e x为增函数，y=﹣x为减函数，故y=e﹣x为减函数，
对于选项B，y′=3x2＞0，故y=x3为增函数，
对于选项C，函数的定义域为x＞0，不为R，
对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，故选：B．
点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数单调性的性质．
3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中( )
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确
考点：演绎推理的基本方法．
专题：计算题；推理和证明．
分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f （x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．
解答：解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，
∴大前提错误，
故选A．
点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
4．若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则的虚部为( )
A．﹣B．﹣C．D．
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题：计算题．
分析：由已知中复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，根据其虚部不为0，实部为0，可以构造关于a的方程组，解方程求出a值，进而可得，再由复数除法的运算法则，将复数化为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到的虚部．
解答：解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，
∴a2﹣1=0，且a+1≠0
故a=1
则Z=2i
∴==﹣i
故的虚部为
故选A
点评：本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据已知条件，构造关于a的方程组，解方程求出a值，进而可得，是解答本题的关键．
5．定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．0 B．2 C．3 D．6
考点：集合的确定性、互异性、无序性．
分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．
解答：解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，
则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，
又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，
其所有元素之和为6；
故选D．
点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．
6．函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为( )
A．[0，3] B．[﹣1，0] C．[﹣1，3] D．[0，2]
考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：函数的性质及应用．
分析：由函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]可得，当x=2时，函数取得最小值为﹣1，当x=0时，函数取得最大值3，由此求得函数的值域．
解答：解：∵函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]，
故当x=2时，函数取得最小值为﹣1，当x=0时，函数取得最大值3，
故函数的值域为[﹣1，3]，
故选C．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题．
7．如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=( )
A．15°B．30°C．45°D．60°
考点：弦切角．
专题：计算题．
分析：根据所给的圆的直径和BC的长，得到三角形的一个锐角是30°，根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到另一个直角三角形的角的度数，即为所求．
解答：解：∵圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3
∴∠BAC=30°，
∠B=60°，
∵过C作圆的切线l
∴∠B=∠ACD=60°，
∵过A作l的垂线AD，垂足为D
∴∠DAC=30°，
故选B．
点评：本题考查弦切角，本题解题的关键是同弧所对的圆周角和弦切角相等和含有30°角的直角三角形的应用，本题是一个基础题．
8．已知f（x）、g（x）均为[﹣1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f（x）=g（x）有实数解的区间是( )
x ﹣1 0 1 2 3
f（x）﹣0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g（x）﹣0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A．（﹣1，0）B．（1，2）C．（0，1）D．（2，3）
考点：二分法的定义．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：设h（x）=f（x）﹣g（x），利用h（0）=f（0）﹣g（0）=﹣0.44＜0，h（1）=f（1）﹣g（1）=0.532＞0，即可得出结论．
解答：解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则
∵h（0）=f（0）﹣g（0）=﹣0.44＜0，h（1）=f（1）﹣g（1）=0.532＞0，
∴h（x）的零点在区间（0，1），
故选：C．
点评：本题考查函数的零点，考查学生的计算能力，比较基础．
9．直线（t为参数）被圆x2+y2=9截得的弦长等于( )
A．B．C．D．
考点：直线的参数方程．
专题：直线与圆；坐标系和参数方程．
分析：先将直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再代入弦长公式求解即可．
解答：解：由直线（t为参数）得，直线的普通方程是x﹣2y+3=0，
则圆x2+y2=9的圆心（0，0）到直线的距离d==，
所以所求的弦长是2=，
故选：B．
点评：本题考查直线的参数方程化为普通方程，点到直线的距离，以及弦长公式，属于基础题．
10．若a，b∈{﹣1，0，1，2}，则函数f（x）=ax2+2x+b有零点的概率为( ) A．B．C．D．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：列举可得总的方法种数为16，其中满足f（x）=ax2+2x+b有零点的有13个，由概率公式可得
解答：解：∵a，b∈{﹣1，0，1，2}，
∴列举可得总的方法种数为：
（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），
（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），
（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2）共16个，
其中满足f（x）=ax2+2x+b有零点，
当a≠0时，判别式4﹣4ab≥0，即ab≤1：
当a=0时，f（x）=2x+b显然有零点，
所以满足f（x）=ax2+2x+b有零点的共有：
（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），
（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），
（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共13个
∴所求概率P=；
故选：C．
点评：本题考查了古典概型概率求法；关键是明确所有事件和满足条件的事件个数，利用公式解答．
11．若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是( ) A．﹣a＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2
考点：函数在某点取得极值的条件．
专题：常规题型．
分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△＞0；解出a的范围．
解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2）
∵f（x）有极大值和极小值
∴△=16a2﹣36（a+2）＞0
解得a＞2或a＜﹣1
故选B
点评：本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同．
12．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f=( )
A．﹣2 B．C．2 D．5
考点：函数的周期性．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数的周期性及奇偶性即得f=﹣f（1），代入计算即可．
解答：解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，
∴f=f（﹣1），
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，
故选：A．
点评：本题考查函数的奇偶性及周期性，属于基础题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．在极坐标系中，点P（2，0）与点Q关于直线sinθ=对称，则|PQ|=2．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：直线sinθ=，即．如图所示，|PM|=2，即可得出|PQ|=2|PM|．解答：解：直线sinθ=，即．
如图所示，|PM|=2=．
∴|PQ|=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了极坐标的应用、对称的性质，属于基础题．
14．已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为．
考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．
分析：复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，代入后，把它的分子、分母同乘分母的共轭复数，
化为a+bi（ab∈R）的形式，令虚部为0，可求m 值．
解答：解：由z1=m+2i，z2=3﹣4i，
则===+为实数，
得4m+6=0，则实数m的值为﹣．
故答案为：
点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．
15．（几何证明选讲选做题）
如图，AD为圆O直径，BC切圆O于点E，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=4，DC=1，则AD等于5．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：计算题．
分析：先连接OE，根据切线的性质得OE⊥BC．又AB⊥BC，DC⊥BC，O是AD中点，再根据梯形的中位线定理得出OE=（AB+DC），即可得出答案．
解答：解：连接OE，∵BC切圆O于点E，
∴OE⊥BC．又∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥OE∥DC，又O是AD中点，
∴OE=（AB+DC），
∴AD=2OE=5．
故答案为：5．
点评：本题考查的是切线的性质及中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出垂直关系进行解答．
16．下列命题中，错误命题的序号有（2）（3）．
（1）“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；
（3）若xy=0，则|x|+|y|=0；
（4）若p：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：（1）根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
（2）根据线面垂直的定义进行判断．
（3）根据绝对值的性质进行判断．
（4）根据含有量词的命题的否定进行判断．
解答：解：（1）若“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”，
则f（﹣x）=f（x），
即x2+|x+a+1|=x2+|﹣x+a+1|，
则|x+a+1|=|x﹣（a+1）|，
平方得x2+2（a+1）x+（a+1）2=x2﹣2（a+1）x+（a+1）2，
即2（a+1）x=﹣2（a+1）x，
则4（a+1）=0，即a=﹣1，
则“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件；正确；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”则“直线l垂直平面α”不一定成立，故（2）错误；
（3）当x=0，y=1时，满足xy=0，但|x|+|y|=0不成立，故（3）错误；
（4）若p：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0正确．
故错误的是（2）（3），
故答案为：（2）（3）
点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，综合性较强．
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，．
（Ⅰ）当a=2时，求A∩B；
（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．
考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
专题：计算题；分类讨论．
分析：（Ⅰ）当a=2时，先化简集合A和B，后再求交集即可；
（Ⅱ）先化简集合B：B={x|a＜x＜a2+1}，再根据题中条件：“B⊆A”对参数a分类讨论：①当3a+1=2，②当3a+1＞2，③当3a+1＜2，分别求出a的范围，最后进行综合即得a的范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=2时，A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜5}
∴A∩B={x|2＜x＜5}
（Ⅱ）∵（a2+1）﹣a=（a﹣）2+＞0，即a2+1＞a
∴B={x|a＜x＜a2+1}
①当3a+1=2，即a=时A=Φ，不存在a使B⊆A
②当3a+1＞2，即a＞时A={x|2＜x＜3a+1}由B⊆A得：2≤a≤3
③当3a+1＜2，即a＜时A={x|3a+1＜x＜2}由B⊆A得﹣1≤a≤﹣⊂
综上，a的范围为：[﹣1，﹣]∪[2，3]
点评：本小题主要考查集合的包含关系判断及应用、交集及其运算、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．
18．已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求△PF1F2的面积．
解答：解：（1）依题意得|F1F2|=2，
又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|=4=2a，
∴a=2，
∵c=1，
∴b2=3．
∴所求椭圆的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）设P点坐标为（x，y），
∵∠F2F1P=120°，
∴PF1所在直线的方程为y=（x+1）•tan 120°，
即y=﹣（x+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解方程组
并注意到x＜0，y＞0，可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴S△PF1F2=|F1F2|•=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．
19．袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏．甲先摸出一个球．记下编号，放回后再摸出一个球，记下编号，如果两个编号之和为偶数．则算甲赢，否则算乙赢．
（1）求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率：
（2）试问：这种游戏规则公平吗．请说明理由．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：概率与统计．
分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5种等可能的结果，满足条件的事件可以通过列举法得到，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）要判断这种游戏是否公平，只要做出甲胜和乙胜的概率，先根据古典概型做出甲胜的概率，再由1减去甲胜的概率，得到乙胜的概率，得到两个人胜的概率相等，得到结论．解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5=25（个）等可能的结果，
设“两个编号和为6”为事件A，
则事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个，
根据古典概型概率公式得到P（A）==
（2）这种游戏规则是不公平的．
设甲胜为事件B，乙胜为事件C，
则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），
（5，1），（5，3），（5，5）
∴甲胜的概率P（B）=
乙胜的概率P（C）=1﹣P（B）=
∴这种游戏规则是不公平的．
点评：本题考查古典概型及其概率公式，考查利用列举法得到试验包含的所有事件，考查利用概率知识解决实际问题，本题好似一个典型的概率题目．
20．定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈（0，1）时，．
（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，求实数m的取值范围．
考点：奇偶函数图象的对称性．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）设x∈（﹣1，0）则﹣x∈（0，1），代入已知解析式得f（﹣x）的解析式，再利用奇函数的定义，求得函数f（x）解析式．
（Ⅱ）存在性问题，只要有一个就可以．所以m只要小于f（x）的最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），由f（x）为R上的奇函数，
得，
∴
又由奇函数得f（0）=0．
∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴当x=0时，f（1）=f（﹣1）
又∵f（﹣1）=﹣f（1），
∴f（﹣1）=0，f（1）=0
∴．
（Ⅱ）∵x∈（0，1），
∴2x∈（1，2），∴．
若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，
则实数m的取值范围为．
点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性和对称性求函数解析式的方法，转化化归的思想方法，以及存在性命题的求解
21．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：
转速x（转/秒）16 14 12 8
每小时生产缺损零件数y（件）11 9 8 5
（1）作出散点图；
（2）如果y与x线性相关，求出回归方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围？
考点：线性回归方程．
专题：概率与统计．
分析：（1）利用所给的数据画出散点图；
（2）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出回归系数，写出线性回归方程．
（3）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解不等式可得答案．解答：解：（1）根据表中的数据画出散点图如图：
（2）设回归直线方程为=x+，并列表如下：
i 1 2 3 4
x i16 14 12 8
y i11 9 8 5
x i y i176 126 96 40
=12.5，=8.25，，
∴=≈0.73，=8.25﹣0.73×12.5=﹣0.875，
∴=0.73x﹣0.875．
（3）令0.73x﹣0.875≤10，解得x≤14.9≈15．
故机器的运转速度应控制在15转/秒内．
点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，是一个基础题，解题时运算量比较大，注意利用公式求系数时，不要在运算上出错．属于中档题．
22．已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设x1，x2（x1＞x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最大值．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）由，利用导数的几何意义能求出实数a的值．
（2））由已知得=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．
（3）由=，x＞0，由题意知g′（x）＜0
在（0，+∞）上有解，x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最大值．
解答：解：（1）∵f（x）=x+alnx，
∴，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，
∴=，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x++1﹣b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+≥2，
x+＜b﹣1有解，
只需要x+的最小值小于b﹣1，
∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，
∴=，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∵x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，
则μ（0）=[ln（x1+﹣（b﹣1）x1]﹣[lnx2+﹣（b﹣1）x2]
=ln+
=
=
=，
∵x1＞x2＞0，
∴设t=，t＞1，
令h（t）=lnt﹣（t﹣），t＞1，
则，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，
又∵b≥，∴（b﹣1）2，
∵t＞1，∴由4t2﹣17t+4=（4t﹣1）（t﹣4）≥0得t≥4，
∴h（t）≤h（4）=ln4﹣（4﹣）=2ln2﹣，
故g（x1）﹣g（x2）的最大值为2ln2﹣．
点评：本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。