高考数学专题7不等式50简单的线性规划问题文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题7 不等式 50 简单的
线性规划问题 文
训练目标
(1)掌握不等式(组)表示的平面区域的确定方法；(2)会求目标函数的最值；(3)了解目标函数的简单应用.
训练题型
(1)求平面区域面积；(2)求目标函数最值；(3)求参数值或参数范围；(4)求最优解；(5)实际应用问题.
解题策略 (1)根据不等式(组)画出可行域；(2)准确理解目标函数的变量及相关参数的几
何意义；(3)用好数形结合思想，将要解决的问题恰当的与图形相联系；(4)注
意目标函数的变形应用.
1．(2015·济南二模)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤－x ＋2，y ≤x －1，
y ≥0所表示的平面区域的面积为________．
2．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋3x ＋y ≥0，
－3
2≤x ≤3表示的平面区域的形状是________．
3．若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，0≤y ≤2，
x ≥a
表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是
________．
4．(2015·昆明一模)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0，
(k 为常数且k <0)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.
5．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋|y |≤1，
x ≥0，则z ＝OA →·OP →
的最大值为________．
6．(2015·四川郫县一中质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0
所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________．
7．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x －by ＋1>0表示的平面区域内，则
b 的取值范围是____________．
8．(2015·安徽屯溪一中第四次月考)若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，
且最大值为40，则5a ＋1
b
的最小值为________．
9．(2015·课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为________．
10．(2015·湖北襄阳第五中学质检)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示：
积(单位：亩)分别为________．
11．(2015·陕西大学附中月考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋2≥0，
4x －y －4≤0，
x ≥0，
y ≥0，
若目标函数z
＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则log 3(1a ＋2
b
)的最小值为________． 12．现有下列5个命题：
①原点在x ＋y ≥0表示的区域内；②点(－1，－1)在x ＋y ＋1<0表示的区域内；③点(1,2)在y >2x 表示的区域内；④点(0,2)在x －2y ＋5>0表示的区域内；⑤点(1,1)在－x ＋5y ＋6<0表示的区域内．则正确的命题是________．(将你认为正确命题的序号填在横线上)
13．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤2，
y ≤2，
x ≤2y
给定，若M (x ，y )
为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为________．
14．(2015·浙江嘉兴一中上学期入学摸底测试)已知函数f (x )＝x 2
－2x ，点集M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}，则M ∩N 所构成平面区域的面积为________．
答案解析
1.1
4 2.三角形 3.[0,2) 4．－6
解析 画出可行域如图中阴影部分所示，
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－k
3，y ＝－k
3，
即点C 的坐标为(－k
3，－k
3)，由目标函数z ＝x ＋3y ，
得y ＝－13x ＋z 3，平移直线y ＝－1
3x ，
可知当直线经过点C 时，z 最大， 把C (－k 3，－k
3)代入z ＝x ＋3y ， 得8＝－k 3＋3×(－k
3)，解得k ＝－6. 经检验，符合题意． 5．2 解析
作出可行域如图中阴影部分所示， 易知B (0,1)，z ＝OA →·OP →
＝x ＋2y ， 平移直线x ＋2y ＝0，
显然当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，
且z max ＝2. 6．－13
解析 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0
表示的区域如图，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y －1＝0，
3x ＋y －8＝0，解得交点A (3，－1)，
由图可知，当M 取得点A (3，－1)时， 直线OM 斜率取得最小值， 最小值为k ＝－13＝－13.
7．(－32，－1
2
)
解析 P (1，－2)关于原点的对称点为(－1,2)，代入不等式，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2＋2b ＋1>0，－2－2b ＋1>0.解不等式
组，即可得b 的取值范围为－32<b <－1
2.
8.9
4
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点(8,10)时， 目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值40， 即4a ＋5b ＝20，
而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )×4a ＋5b 20 ＝54＋(5b 4a ＋a 5b )≥94
. 当且仅当2a ＝5b 时，等号成立． 9．3
解析 画出可行域如图阴影所示，
∵y x
表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x
最大．
由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1，x ＋y －4＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝3.
∴A (1,3)．
∴y x
的最大值为3.
10．30,20 11．2
解析 画出约束条件表示的可行域如图所示．
由可行域可知z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在(2,4)点取得最大值， 故2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3， 因为a >0，b >0， 所以1a ＋2b ＝a ＋2b 3(1a ＋2b )
＝13(5＋2a b ＋2b a ) ≥1
3
(5＋2·2a b ·2b
a
)＝3(当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立)，
所以1a ＋2b ≥3，log 3(1a ＋2
b
)≥log 33＝2.
12．①②④
解析 将各点坐标代入各不等式中，看是否使不等式成立，若成立，则该点在不等式所表示的平面区域内．只有①②④中各点代入后使不等式成立，所以正确的命题为①②④. 13．4 解析
画出区域D ，如图阴影部分所示， 而z ＝OM →·OA →
＝2x ＋y ，
故y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，
平移直线l 0，相应直线过点(2，2)时，截距z 有最大值， 故z max ＝2×2＋2＝4. 14．2π
解析 由f (x )＋f (y )＝x 2
－2x ＋y 2
－2y ≤2， 得(x －1)2
＋(y －1)2
≤4，
于是点集M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}表示的平面区域是以(1,1)为圆心，半径r ＝2的圆面． 同理，由f (x )－f (y )＝x 2
－2x －y 2
＋2y ≥0， 可得(x －y )(x ＋y －2)≥0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≥0，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ≤0，
x ＋y －2≤0.
于是点集N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}表示的平面区域就是不等式组所表示的平面区域． 所以M ∩N 所构成的平面区域如图所示，
于是S ＝12
·π·r 2
＝2π.。