广东省珠海市高三数学第二次调研考试 文 (珠海二模)

珠海市2011-2012学年度第二学期高三质量监测
文科数学
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案）
１．已知全集U R =，集合{||1|1}A x x =-<，则A C U 等于（ C ） A.(-∞，0] B. [2，)+∞ C.(-∞，
0]
[2，)+∞ D.[0，2]
２．已知单位向量a ，b ，其夹角为3π
+=（ ），
A.3
B.3
C.2
D. 2
３．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复
数是 （ ） A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i ４．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条 ５．斜率为4的直线经过抛物线2
13
x y =
的焦点，则直线方程为（ ） A. 064=--y x B. 01312=--y x C. 011248=+-y x D. 034=--y x
６． ABC ∆中，角A B C 、、所对的边a b c 、、，
若a =3
A π
=
，cos B =
，则b = A
． B
． C
． D
．
７．已知函数()f x 满足：当x ≥1时，()f x =)1(-x f ；当x ＜1时，()f x =x
2，则)7(log 2f =
A ．167
B ．87
C ．47
D ．27
8．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
根据表中数据得到50181589
505927232426
k ().⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，参考下表：
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ） A ．97.5% B ．95% C ．90% D ．99.9%
9．观察下列数表规律
则发生在数2012附近的箭头方向是( )
A ． 2012→
↑
B ． 2012↑→
C ． 2012↓
→ D ．2012
→↓
10． 起点到终点的最短距离为（ ）
A ．16
B ．17
C ． 18
D ．19
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．答案请填在答题卡上.
11．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生__________
0v 12v 534
v 起点
终点4
人.
12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；
13．甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠4小时、8小时，假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 ． 14．（坐标系与参数方程选做题）．
如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且
=BC PB 12，则PA
BC
= ． 15．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 4
π
ρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的
终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A 点的纵坐标为
10
10
，B 点的纵坐标为10
2．（1）求tan tan αβ和的值；（2） 求2αβ+的值．
P
19题图
17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，252,128a a ==． (1) 求通项n a ；
(2) 若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足不等式n S <2012的n 的最大值． 18.（本小题满分14分）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽一个同学组成一个新的组，求这个新组恰好由一个男生和一个女生构成的概率．
19.（本小题满分14分）（文）在边长为4cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、
N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）证明AB ⊥平面BEF ； （3）求多面体E -AFNM 的体积．
20.（本小题满分14分）已知圆C 方程：（x －1）2
+ y 2
=9，垂直于x 轴的直线L 与圆C 相切于N 点（N 在圆心C 的右侧），平面上有一动点P ，若PQ ⊥L ，垂足为Q ，且2
1
||||=PQ PC ； （1）求点P 的轨迹方程；
（2）已知D 为点P 的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O 为原点，A 、B 分别为点P 的轨迹曲线与
,x y 轴的正半轴的交点，求四边形OADB 的最大面积及D 点坐
标.
21.（本小题满分14分）已知函数()3
213
f x x ax bx =
++()R a,b ∈. M
N
F
B
C
D
A
F
（Ⅰ）若曲线()C :y f x =经过点()12P ,，曲线C 在点P 处的切线与直线230x y -+=平行，求a,b 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数()(
)()2
713
g x m f x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
（m 为实常数，1m ≠±）
的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若()f x 在区间()12,内存在两个不同的极值点，求证：02a b <+<.
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文科数学
１．C ２．B ３．C ４．A ５．D ６． C ７．C8．A 9．C 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．答案请填在答题卡上. 11．3700
12． 512π 13． 7231
14．
15．4sin ρθ=
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.解: 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。

（1）由条件得
sin α=
sin β=…………………………………………2分
α为锐角，故 cos 0α>
且cos α=
，同理可得cos β= ……………4分 因此1tan 3α=，1
tan 7β=。

…………………………………………6分 （2）
1tan 3α=
，1
tan 7
β=
()11tan tan 1
37tan 1tan tan 2
137
αβαβαβ+
+∴+===--⋅…………………………………………7分
()[]11tan tan()32tan 2tan ()111
1tan tan()132
ααβαβααβααβ+
++∴+=++==
=-⋅+-⋅ …………8分 02πα<<，x y tan =在)2
,0(π
上单调递增，
且4tan 1tan πα=< ，∴40π
α<<，……………10分
同理40πβ<<，∴4320π
βα<+< ……………11分
从而24
π
αβ+= ………………12分
17．
解：（1）Q 数列{}n a 是等比数列，252,128a a ==
141
=2
=128a q a q ⎧∴⎨⎩……………………………………………………………………… 2分 11=2=4
a q ⎧⎪∴⎨⎪⎩…………………………………………………………………………… 4分 于是11
2311422
n n n n a a q ---==
⨯=… …………………………………………6分 （2）由23
2n n a -=可得2322log log 223n n n b a n -===-... .. (7)
分
又因为1232(1)32n n b b n n --=
----=（）[] 所以数列{}n b 是一个以1-为首项，2为公差的等差数列。

…………………………8分 于是2(1)
222
n n n S n n n -=-+
⨯=- …………………………………………………10分 因为2012n S <，即222012n n -<，即2220120n n --<
n <<
11n <……………11分
经过估算，得到n 的最大值为45…………………………………………………………12分
19题图 18. 解：
（1人数为：50×0.06=3
所以该样本中成绩优秀的人数为3。

…………………… 3分
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，
人数为：900×0.38=342
所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。

……… 7分 （3）样本中第一组共有3人，
由第五组的频率为0.08，可得第五组共有4人。

其中第五组四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 为男生，b 、c 、d 为女生，第一组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：
a b c d 1 1a 1b 1c 1d 2 2a 2b 2c 2d 3
3a 3b 3c 3d
所以基本事件有12个 …………………………………………………10分 恰为一男一女的事件有1b ，1c ，1d ，2b ，2c ，2d ，3a ；共7个 ………12分 因此新组恰由一男一女构成的概率是7
12
. …………………13分 M
N F
B
C
D
A
F
19.解：//MN AEF 平面， ………1分
证明如下：
因翻折后B 、C 、D 重合（如图），
所以MN 应是ABF ∆的一条中位线， ………………3分
则MN AF MN AEF MN AEF AF AEF ⎫⎪
⊄⇒⎬⊂⎪⎭
平面平面平面． ………6分 （2）因为
,,AB BE AB BF ⊥⊥ 且BE BF B =
AB ∴⊥平面BEF ， ……………8分
(3) 方法一 4,2AB BE BF ===，
∴8
3
A BEF V -=
， ………………………………………10分 又
3
4
E AFNM AFNM E AB
F ABF V S V S --∆== ………………………………12分
∴2E AFMN V -=． …………………………………14分
方法二：
E AFNM E AB
F E BMN V V V ---=-
A BEF
M BEN V V --=- ………………………………………10分
由（2）知AB 即是三棱锥A-BEF 的高，AB=4
MB 即是三棱锥M-BEN 的高，MB=2，………………………………11分
BE BF ⊥
∴11
22222BEF S BE BF =⋅⋅=⨯⨯=
11
21122
BEN S BE BN =⋅⋅=⨯⨯= ………………………………………13分
∴E AFMN A BEF M BEN V V V ---=-
11
1111
33
3232
BEF
BEN
S
AB S BE BF AB BE BN MB
=⋅⋅-=⋅⋅⋅
⋅-⋅⋅⋅⋅ A
F
11
2412233
=⨯⨯-⨯⨯= ………………………………14分 20. .
解
：
（
1
）
设
P
点坐标为
(,x y ， (1)
分
则4PQ x =-，………………………………………………………………2分
PC 3分
因为2
1||||=PQ PC 12=， …………………………………4分
化简得22
143
x y +=………………………………………………………………5分
所以点P 的轨迹方程是22
143
x y +=……………………………………………6分
（2）依题意得，A 点坐标为(2,0)，B 点坐标为…………………………………7分
设D 点坐标为(2cos ),(0)2π
θθθ<<，…………………………………………8分
则四边形OADB 的面积+O A D O B D
O A D B S S S ∆∆=四边形,………………………………………9分
11
22cos 22θθ=⨯+………………10分
cos )θθ+
)4
π
θ=+……………………………………11分
又因为02
π
θ<<，所以
3+
4
4
4
π
π
π
θ<<
…………………………………………………12分
sin()14πθ<+≤
)4
π
θ+所以四边形OADB
13分
当四边形OADB 的面积取最大时，=
4
2
π
π
θ+，即=
4
π
θ，
此时D
点坐标为………………………………………………………………14分
21.解：（Ⅰ）()3
213
f x x ax bx =
++⇒()22f x x ax b '=++，………………………1分 直线230x y -+=的斜率为2，∴曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,
()1122f a b '∴=++=……① ………………………………………2分
曲线()C :y f x =经过点()12P ,，
()1
123
f a b ∴=++=……② ………………………………………3分
由①②得：2,3
7.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()32127333f x x x x =-+，∴()()
23
2
123
m g x x x -=-，
()()2413g x m x x ⎛
⎫'∴=-- ⎪⎝
⎭, 由()00g x x '=⇒=，或43x =.……………5分
当210m ->，即1m ,>或1m <-时，x ，()g x '，()g x 变化如下表
由表可知：
()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()223232
0118181
m m ⎡⎤=---=-⎢⎥⎣⎦ ……………7分
当210m ,-<即11m -<<时，x ，()g x '，()g x 变化如下表
由表可知：
()()()403g x g x g g ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
极大极小()()2232321018181m m =---=--………………8分
综上可知：当1m ,>或1m <-时，()()g x g x -=极大极小()2
32181
m -； 当11m -<<时，()()g x g x -=极大极小()2
32181
m -
-……………………………………9分 （Ⅲ）因为()f x 在区间()12,内存在两个极值点 ，所以()0f x '=， 即220x ax b ++=在(1,2)内有两个不等的实根．
∴2(1)120,
(1)
(2)440,(2)12,
(3)4()0.(4)
f a b f a b a a b '=++>⎧⎪'=++>⎪⎨
<-<⎪⎪∆=->⎩
…………………………………………………………11分
由 （1）+（3）得：0a b +>， ………………………………………………………12分 由（4）得：2a b a a +<+，由（3）得：21a -<<-，
∴2211
()224
a a a +=+-<，∴2a
b +<． …………………………13分
故02a b <+< …………………………………………………………………………14分。