2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案

一试
一、填空题
1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，那么)100(-f 的值为__________.
2.假设实数y x ,满足1cos 22
=+y x ，那么y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110
9:2
2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，那么四边形OAPF 的面积的最大值为__________.
4.假设一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，那么称其为“平稳数〞.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，那么棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，那么这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.
7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.假设3π
=∠A ，ABC ∆的面积为3，那么
AN AM ⋅的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，那么11b a +的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .
10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)5
3)(53(321321x x x x x x ++
++的最小值和最大值.
11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z 〔其中)Re(z 表示复数z 的实部〕. 〔1〕求)Re(21z z 的最小值； 〔2〕求212122z z z z --+++的最小值.
二试
一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,〔不同于点B 〕.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥
二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,
,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个
数.
三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.假设相邻连个小方格的颜色不同，那么称它们的公共边为“分隔边〞.试求分隔边条数的最小值.
四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，
n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不一样的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )
1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.
2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 8.
9.
10.
11.
2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.
二.
三.
四.
2017年全国高中数学联合竞赛一试〔B 卷〕
一、填空题：本大题共8个小题,每题8分,共64分.
1.在等比数列{}n a 中，22a =，333a 1201172017
a a a a ++的值为. 2.设复数z 满足91022z z i +=+，那么||z 的值为.
3.设()f x 是定义在R 上的函数，假设2()f x x +是奇函数，()2x
f x +是偶函数，那么(1)f 的值为. 4.在ABC ∆中，假设sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，那么cos A 的值为.
5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，那么DEF ∆的面积为.
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，那么这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.
7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线222
0x ay a ++=的焦距为4，那么a 的值为.
8.假设正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，那么数组(,,)a b c 的个数为.
二、解答题 〔本大题共3小题，共56分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
9.设不等式|2||52|x
x
a -<-对所有[1,2]x ∈成立，XX 数a 的取值范围.
10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足2
12n n n n b a a a ++=-，1,2,
n =.
〔1〕证明：数列{}n b 也是等差数列；
〔2〕设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.
11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2
1:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾
斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.
2017年全国高中数学联合竞赛加试〔B 卷〕
一、〔此题总分值40分〕
设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2
(1)(1)(1)1a b c d +++≥-
二、〔此题总分值40分〕
给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，
每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d 〔可以一样〕，满足ab cd m -=.
三、〔此题总分值50分〕
如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，
求证：AT 平分线段XY .
四、〔此题总分值50分〕
设1220,,
,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,
,10}b b b ∈，集合
{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.
一试试卷答案
1.答案：8
9 解：数列{}n a 的公比为33232
a q a ==
，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.5,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比拟两边实虚部可得9101022a a
b b +=⎧⎨
=-+⎩
，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||5z =3.答案：74-。

解：由条件知，2
(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2
f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7
(1)4
f =-.
4.解：由正弦定理知，sin 2sin a A
c C
==，又2b ac =，于是::2:2a b c =，从而由余弦定理得：
222222(2)122
cos 24221
b c a A bc +-+-===-
⨯⨯. 5.解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故
4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.
由余弦定理得，222cos60DE AD AE AD AE =+-••49162837=+-=，
同理有37DF =.
作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，那么1
22
EH EF ==，故2233DH DE EH =-=， 于是1
2332
DEF S EF DH ∆=
=.
6.解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3
984C =种，
当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况： 〔1〕三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
〔2〕三点是边长为24416⨯=种情况，
〔32,2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为
3058414
=. 7.解：二次曲线方程可写成22
21x y a a
--
=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准方程为2222
1()()
x a a =--，那么2222(()c a a a a =-+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以117
a -=
. 8.解：由条件知2017
[
]21000
c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤
知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为20
10
(1022)11
(20210)5722
b b =+⨯-=
=∑，
当2c =时，由201720[
]100b ≤≤，知，20b =，进而2017
200[]20110
a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)a
b
c .
综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.
9.解：设2x
t =，那么[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于
22|||5|()(5)t a t t a t -<-⇔-<-，(25)(5)0t a a ⇔---<，
对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，那么()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ∈，因此()0f t <等价于(2)(1)(5)0
(4)(3)(5)0
f a a f a a =---<⎧⎨
=--<⎩，解得35a <<
所以实数a 的取值范围是35a <<.
10.解：〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，那么22
123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++-=---
23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +++++=--+-212()n n n a d a a d ++=-+221(2)3n n n a a a d d ++=--=
所以数列{}n b 也是等差数列.
〔2〕由条件及〔1〕的结果知：2
3d d =，因为0d ≠，故1
3d =
，这样22
12()(2)n n n n n n n b a a a a d a d a ++=-=++-22329n n da d a =+=+
假设正整数,s t 满足s t a b Z +∈，那么1122
(1)(1)99
s t s t a b a b a s d a t d +=++=+-++-+
122
239s t a Z +-=++∈.
记122
239s t l a +-=++，那么l Z ∈，且1183(31)1a l s t =--++是一个非零的整数，故1|18|1a ≥，从
而11
||18a ≥.
又当1118a =时，有13117
11818
a b Z +=+=∈，
综上所述，1||a 的最小值为1
18
.
11.解：设2(,2)P t t ，那么直线l 的方程为2
2y x t t =+-，代入曲线2C 的方程得，
222(4)(2)8x x t t -++-=，
化简可得：2222
22(24)(2)80x t t x t t --++-+=①，
由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式∆为正，计算得，
222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164
t t t t t t t t t t ∆
=-+--+=---+--- 222(2)8(2)t t t t =--+-22(2)(28)t t t t =----(2)(2)(4)t t t t =--+-，
因此有(2,0)
(2,4)t ∈-，②
设,Q R 的横坐标分别为12,x x ，由①知，2
1224x x t t +=-+，2
2121((2)8)2
x x t t =
-+， 因此，结合l 的倾斜角为45可知，
2224121212||||2()2()22()2PQ PR x t x t x x t x x t =--=-++
22224(2)82(24)2t t t t t t =-+--++43243244482482t t t t t t t =-++-+-+
4248t t =-+22(2)4t =-+，③
由②可知，2
2(2,2)
(2,14)t -∈-，故22(2)[0,4)(4,196)t -∈，从而由③得：
22||||(2)4[4,8)(8,200)PQ PR t =-+∈
注1：利用
2C 的圆心到l 的距离小于2C 的半径，列出不等式2
|
|< 同样可以求得②中t 的范围.
注2：更简便的计算||||PQ PR 的方式是利用圆幂定理，事实上，2C 的圆心为(4,0)M ，半径为r =
故22222242
||||||(4)(2)48PQ PR PM r t t t t =-=-+-=-+.
加试试卷答案
一、证明：当1d ≥时，不等式显然成立
以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有
(1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥->
因此2
2
2
(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥-
二、证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,
,1i m =+
设,,,i a b c d A ∈，那么0(mod 1)ab cd i i i i m -≡•-•=+，
故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=
三、
证明：首先证明//YX BC ，即证AX AY
XC YB
=
连接,BD CD ，因为
ACQ ACQ
ABC ABC
ABP ABP
S S S S S S ∆∆∆∆∆∆•
=
， 所以111sin sin sin 222
111sin sin sin 222
AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP •∠•∠•∠•=•∠•∠•∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠〔注意D 是弧BC 的中点〕，于是由①知AB AQ CQ
AC AP BP
•=
•② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠，
于是1
sin 21sin 2ABQ ACP
AB AQ BAQ S AB AQ S AC AP AC AP CAP ∆∆•∠•==
••∠③ 而1
sin 21sin 2
BCQ BCP
BC CQ BCQ S CQ S BP BC BP CBP ∆∆•∠==
•∠④ 由②，③，④得
ABQ CBQ ACP
BCP
S S S S ∆∆∆∆=
，
即
ABQ ACP
CBQ BCP
S S S S ∆∆∆∆=
又ABQ CBQ
S AX S XC ∆∆=
，ACP BCP S AY
S YB
∆∆=
故
AX AY
XC YB
=
设边BC 的中点为M ，因为
1AX CM BY
XC MB YA
••=， 所以由塞瓦定理知，,,AM BX CY 三线共点，交点即为T ，故由//YX BC 可得AT 平分线段XY
四、解：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,
,,,,
,)a a a b b b
对1,2,
,5k =，设120,
,a a 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，(,)i j X ∉，因此
至少有
5
21
k
t k C
=∑个(,)i j 不在X 中，注意到
5
1
20k
k t
==∑，那么柯西不等式，我们有
5
5555
222
11111
111120()(())20(1)3022525k
t k k k k k k k k k C t t t t ======•-≥•-=••-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2
203019030160C -=-=
另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====〔1,2,,5k =〕
，6i i b a =-〔1,2,,20i =〕
， 那么对任意,i j 〔120i j ≤<≤〕，有2()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤
等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生2
4530C =次，此时X 的元素个数到达22030160C -=
综上所述，X 的元素个数的最大值为160.
四、。