数字图像处理PPT课件：小波变换及其在图像处理中的典型应用-

V j1
L2 R
V0
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
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目录
8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换的多分辨分析特性 8.3 尺度函数与小波 8.4 离散小波变换与二进小波变换 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
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8.5.1 Mallat算法与塔式分解
系数分解的快速算法：
C j,k h m 2k C j1,m
m
d j,k g m 2k C j1,m
m
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系数重构的快速算法：
C j1,k C j,mh m 2k d j,mg m 2k
m
m
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8.5.2 二维小波变换的实现
gk 0
n
22 H
2 2 G
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8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换的多分辨分析特性 8.3 尺度函数与小波 8.4 离散小波变换与二进小波变换 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
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8.4.1 离散小波变换
如果设定 a 2 j , b k 2 j , j, k Z ，则
2 j ,k2 j (t) 2 j /2 (2 j t k), j, k Z
对于任意函数 f (t) L2 (, ) ，定义相应的离散小波变换为：
WTf ( j, k ) f (t) j,k (t)dt, j, k Z
(t)
c 1 t
1
,
0,c 0
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衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以 称
为小波。
f t L2 R
对于任意的函数
的连续小波变换定义为：
wf (a,b)
1
R f (t) a,b (t)dt a 2
f (t) t b dt
R
a
f , a,b
逆变换为：
f t 1
尺度 j 上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集
合：
j
j,k t 2 2 2 j t k
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t 和 t的基本性质是二尺度差分方程：
2 j t 2 hk 2 j1t k
k
2 j t 2 gk 2 j1t k
k
二尺度方程的频域表示为
hk 2
n
小波定义：
➢ “小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具 有正负交替的波动性，直流分量为0。
➢ 小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。
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8.1.1 傅里叶变换:
傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域 将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局 部化性质。
F f xe jxdx
对任何
u V0 ，存在唯一的序列 ak l2，使
ux ak gx k kZ
，且
存在正数 A ，B ，其中 A B ，使得
2
Au
ak B u 2
对所有
kZ
的 u V0 成立。将满足上式的函数 gx kk Z称为 l 2 稳定的。
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L2 R 是一个无限维向量空间，称为平方可积空间，将L2R
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8.6.1 图像小波变换的正变换
➢ 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按 如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分 解为4个四分之一大小的图像。
L
H
LL1
HL1
LH1
HH1
LL2 HL2 HL1
LH2 HH2
LH1
HH1
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在每一层，四个图像中的每一个都是由原图像与一 个小波基图像的内积后再经过在x和y方向都进行二 倍的间隔抽样而生成。对于第一个层次(j=1)可写成：
把基本小波(母小波)的函数 (t) 作位移后，再在不同尺度下 与待分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。
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连续情况时，小波序列为：
(基本小波的位移与尺度伸缩)
a,b t
1 t b
a a
a,b R; a 0
其中 a 为尺度参量，b 为平移参量。
离散的情况，小波序列为 ：
j,k t 2 j 2 2 j t k
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8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换的多分辨分析特性 8.3 尺度函数与小波 8.4 离散小波变换与二进小波变换 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
C
R
R
1 a2Wf
a,
b
t
a
b
dadb
a
b
是尺度因子， 反映位移。
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内积： x(t), (t b) x(t) (t b)dt
卷积：
x(t)* (t) x(b) (t b)db = x(t) (b t)dt
持续宽度相同
振荡波
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小波变换的时频局部特性
频窗 时窗
基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用 傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间 间隔存在的频率。
STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动 窗的位置)后，再作傅立叶变换。即：
STFTx (, ) x(t)(t )e jtdt
时限 频限
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8.1.2 短时傅里叶变换:
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小波变换
小波起源：
1984年Morlet提出;1985年Meyer构造出小波;1988年， Daubechies证明了离散小波的存在;1989年，Mallat提出多分 辨分析和二进小波变换的快速算法;1989年Coifman、 Meyer 引入小波包;1990年崔锦泰等构造出样条单正交小波基;1994 年Sweldens提出二代小波－提升格式小波(Lifting Scheme)。
小波变换及其在 图像处理中的典型应用
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8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换的多分辨分析特性 8.3 尺度函数与小波 8.4 离散小波变换与二进小波变换 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
用它的子空间
Vj
，
jZ
Wj
表示，其中
jZ
V
j
称为尺度空间， jZ
称为小W波j空jZ 间。
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间W j 是V j 和 V j1 之间的差，即 Vj Wj Vj1 ，它捕捉
由 V j 逼近 V j1 时丢失的信息。推出：
V0 W0 W1 W j V j1
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8.1.4 连续小波的性质
线性 设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b
平移不变性
若xt WTx a,b ，则 xt WTx a,b
伸缩共变性
如果 x(t) 的CWT是 WTx (a,b)
则 x( t )的CWT是
WTx
(
a
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8.2 小波变换的多分辨分析特性
多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一 个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分， 并且多分辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函 数分解与重构的快速算法。
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小波变换的多分辨分析特性
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多分辨分析定义：
空间
L2 R
,
b
)
冗余性(自相似性)
由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的
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8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换的多分辨分析特性 8.3 尺度函数与小波 8.4 离散小波变换与二进小波变换 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
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8.1 从傅里叶变换到小波变换的 时频分析法
傅里叶变换
傅里叶变换只能提供信号在整个时间域上的频 率，不能提供信号在某个时间段上的频率信息；
短时傅里叶变换
短时傅里叶变换将整个时间域分割成一些小的等时间 间隔，然后在每个时间段上用傅里叶分析，它在一定程度上 包含了时间频率信息，但由于时间间隔不能调整，因而难以 检测持续时间很短、频率很高的脉冲信号的发生时刻。
f
b
小波变换的粗略解释
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8.1.3 连续小波变换的定义
尺度因子 a 的作用是将基本小波 (t) 做伸缩，
a
越大
(t ) a
越宽。
小波的位移与伸缩
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8.1.3 连续小波变换的定义
设 t L2R ，当 ( ) 满足允许条件时：
() 2
c
d
称 (t) 为一个“基小波”或“母小波”。 小波变换的含义是：
如果这时 j,k 构成空间 L2 (, ) 的一组规范正交基，对 于任一的函数 f (t) L2 (, ) 的反演式为一展开式：
f (t) WTf ( j,k) j,k
j ,kZ
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8.4.2 二进小波及二进小波变换
在连续小波变换中，令参数 a 2 j, j Z, 而参数 b 仍 取连续值，则有二进小波：
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两尺度方程
若 是尺度函数，它生成 L2R 的多分辨分析 Vj jZ ，则
必然存在系数序列
hk
kZ
，使得以下尺度关系成立:
t 2hk 2t k
k
这就是两尺度方程，必须满足下列条件：
h0 k 2
k
h0 k h0 k 2l l
k
定义函数 tL2 R 为尺度函数，若其经过整数平移 k 和
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8.1.2 短时傅里叶变换:
短时傅里叶变换的分析特点 (a)频率变化的影响 (b) 基本分析单元的特点
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8.1.3 连续小波变换的定义
用镜头观察目标 f (t) (待分析信号)。
(t)代表镜头所起的作 用(如滤波或卷积)。
b 相当于使镜头相对于 目标平行移动。
a 的作用相当于镜头向 目标推进或远离。
2j ,b(t) 2 j /2 2 j t b
这时，f tL2 R 的二进小波变换定义为
WTf 2 j ,b 2 j 2 f t * 2 j t b dt
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8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换的多分辨分析特性 8.3 尺度函数与小波 8.4 离散小波变换与二进小波变换 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
f x 1 F e jxd
2
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8.1.1傅里叶变换:
时间
x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号 f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信号中加入白噪声
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8.1.2 短时傅里叶变换:
傅立叶变换无法作局部分析，为此，人们提出了短 时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗口傅里叶变换。
中的一系列闭子空间V
jjZຫໍສະໝຸດ ，称为L2 R的多分辨率分
析或逼近，若下列条件满足：
单调性：V j V j1，对任意 j Z
逼近性：
Vj 0
jZ
closL2 R
Vj L2 R
jZ
伸缩性： uxVj u2xVj1
平移不变性：uxV0 ux k V0
Riesz基：存在 g V0 ，使 gx kk Z 构成 V0 的Riesz，即
j,k z
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根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数是有效值，必
须有 ˆ (0) 0 ，所以可得到上式的等价条件为：
ˆ (0) (t)dt 0
此式表明 (t) 中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故 称为“波”，为了使(t) 具有局部性，即在有限的区间之外 很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件：
假定二维尺度函数可分离，则有
(x, y) (x)( y)
其中 (x) 、( y) 是两个一维尺度函数。若 (x) 是相应的
小波，那么下列三个二维基本小波：
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y) 一起就建立了二维小波变换的基础。
A20 (m, n) A10 (x, y),(x 2m, y 2n) D21(m, n) A10 (x, y), 1(x 2m, y 2n) D22 (m, n) A10 (x, y), 2 (x 2m, y 2n) D23 (m, n) A10 (x, y), 3(x 2m, y 2n)