数学人教B全国通用版必修一学案：第2章 2.4 2.4.1 函数的零点 Word版含答案

2.4函数与方程
2.4.1函数的零点
学习目标：1.理解函数零点的概念．(重点)2.会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)
[自主预习·探新知]
函数的零点
1．定义
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
2．性质
(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．
(2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．
思考：怎样判断函数零点的个数？
[提示](1)转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点．
(4)转化为两个函数图象的交点个数问题．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)所有的函数都有零点．()
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()
(3)f (x )＝x －1x 只有一个零点．( )
[解析] (1)× 例如y ＝x －2这个函数不存在零点．
(2)× 由函数零点的定义可知，函数y ＝f (x )的零点为x 1，x 2，它是实数，不是点．
(3)× 由f (x )＝0得x －1x ＝0，解得x 1＝1或x 2＝－1，所以函数f (x )＝x －1x 有
两个零点．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( )
A ．1，－4
B ．4，－1
C ．1,3
D ．不存在
B [令x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或－1，
∴零点为4，－1，故选B.]
3．函数y ＝2x －1的图象与x 轴交点坐标及零点分别是( )
A ．12，12
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12
C ．－12，－12
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0，－12 B [令y ＝2x －1＝0，∴x ＝12，∴与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，零点为12，故选B.]
4．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，
则a ＝________，b ＝________. －6 1 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋13＝b a ，
－12×13＝1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－6
b ＝1.] [合 作 探 究·攻 重 难]
(1)f (x )＝ax ＋1(a ∈R )；
(2)f (x )＝x 2－x －6；(3)f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≥0，x －1，x <0. [解] (1)令f (x )＝0，即ax ＋1＝0. 当a ＝0时，1＝0不成立，故方程无实根，即函数无零点；
当a ≠0时，方程有唯一根x ＝－1a ，故函数有唯一零点x ＝－1a .
(2)法一：(代数法)令f (x )＝0，即x 2－x －6＝0，
∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25>0，
∴方程x 2－x －6＝0有两个不相等的实数根x 1＝－2，x 2＝3，
∴函数f (x )＝x 2－x －6的零点是x 1＝－2，x 2＝3.
法二：(代数法)由x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)＝0，
得x 1＝－2，x 2＝3，
∴函数f (x )的零点是x 1＝－2，x 2＝3.
(3)法一：(代数法)由x ＋1＝0知x ＝－1，但－1∉[0，＋∞)，故当x ≥0时，函数f (x )无零点；由x －1＝0知x ＝1，但1∉(－∞，0)．
故当x <0时，函数f (x )无零点．
综上，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥0，
x －1，x <0
没有零点． 法二：(几何法)画出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≥0，
x －1，x <0的图象，如图所示．
∵函数图象与x 轴没有交点，
∴函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≥0，
x －1，x <0
没有零点． [规律方法] 求函数零点的两种方法
(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．
(2)几何法：对于不易求根的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[跟踪训练]
1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.
0，－12 [∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，
∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，
∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0或x ＝－12，
∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.]
(1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .
[思路探究] (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．
[解](1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点．
(2)法一：(几何法)由x2－1
x＝0，得x
2＝1
x.
令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1 x.
在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，如图所示，两函
数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－1
x只有一个零点．
法二：(代数法)令f(x)＝0，即x2－1
x＝0.
∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.
∴x＝1或x2＋x＋1＝0.
∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，
∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．
[规律方法]判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．
(3)转化为两个函数图象交点问题．
例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．
[跟踪训练]
2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．
[解]y＝x3－3x2－2x＋6
＝x2(x－3)－2(x－3)
＝(x2－2)(x－3)，
令y＝0，则x＝±2或x＝3，
显然有三个零点．
[探究问题]
1．设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有
何关系？
提示：F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．
2．若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？
提示：若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.
已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x
－3|－a，
(1)有两个零点；(2)有三个零点．
[解]令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两
个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2
－2x－3|－a的零点个数．
(1)若函数有两个零点，则a＝0或a>4.
(2)若函数有三个零点，则a＝4.
[规律方法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的
图象，然后数形结合求解.
[跟踪训练]
3．若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( )
A ．a >15
B ．a >15或a <－1
C ．－1<a <15
D ．a <－1
B [根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
－5a ＋1>0
， 解得a >15或a <－1.]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数y ＝2x －4的零点是( )
A ．2
B ．(2,0)
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0
D ．12 A [由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.]
2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
A [因为Δ＝12－4×3＝－11<0，二次函数图象与x 轴不相交，因此没有零点．]
3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.
0 [由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0，
则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0，
故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0.]
4．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.
0或－14 [(1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有
一个交点，即函数只有一个零点．
(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．
因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个
相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.]
5．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．
[解] 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.
∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴⎩⎨⎧ f (0)f (1)f (2)>0
，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1＋k －2＋2k －4＋2k －4＋2k －1>0
∴12<k <23.。