2024年江西中考数学中考模拟卷(四)及参考答案

2024年江西中考数学中考模拟卷(四)
(本试卷满分120分，考试时间120分钟)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．－1.5，－2，0，3中最小的数是()A ．0B ．－2C ．－1.5
D ．3
2．如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是(
)
3．下列运算正确的是()
A ．(－a 5)2＝a 10
B ．2a ·3a 2＝6a 2
C ．－a ＋a ＝－3a
D ．－6a 6÷2a 2＝－3a 3
4．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为()
A ．540°
B ．720°
C ．900°
D ．1080°
5．如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC ＝1，则AB 的长度为(
)
A ．2
B ．2＋12
C ．
5＋12
D ．
43
6.如图，一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…，若经过23秒质点到达点A ，经过33秒质点到达点B ，则直线AB 的解析式为(
)
A ．y ＝12x ＋
9
2B ．y ＝－12x ＋
9
2C ．y ＝2x ＋9
D ．y ＝－2x ＋9
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．因式分解：4a －4a 2－1＝_________________________.
8．(2023·抚州模拟)某品牌手机内部的A16芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到0.000000005米．将数字0.000000005用科学记数法表示为________．
9．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0无实数根，则k 的取值范围是________________．
10．如图，已知△ABC 是等边三角形，AD 是中线，E 在AC 上，AE ＝AD ，则∠EDC ＝________．
11．已知一组数据x ，－2，4，1的中位数为1，则其方差为________．
12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，D 是边AC 的中点，CE ⊥BD 于E .若F 是边AB 上的点，且使△AEF 为等腰三角形，则AF 的长为________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．(1)x －5＜x ＋1，x －1)≥3x －4，
并把它的解集在数轴上表示出来；
(2)如图，在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，E 是AD 上一点，M ，N 分别是CE ，AE 的中点，
且MN ＝2，求菱形ABCD 的周长．
14÷x 2－x
x ＋1的过程：
·x ＋1
x (x －1)①
·x ＋1
x (x －1)②
＝x (2－x )
x (x －1)
③(1)小华的解答过程在第________步出现错误．
(2)请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当x ＝5时分式的值.
15．小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A(楼梯)，B(客厅)，C(走廊)三盏电灯，其中走廊的灯已坏(对应的开关闭合也没有亮).
(1)若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是________事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是________事件；(填“不可能”“必然”或“随机”)
(2)若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．
16．如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图1中，画出△ABC的中线AE；
(2)在图2中，画出△ABC的角平分线AF.
17．某家具厂生产一种餐桌和椅子，已知一张餐桌的售价比一把椅子的售价多480元，购买一套桌椅(一张餐桌和四把椅子)共需1280元．
(1)分别求出一张餐桌和一把椅子的售价；
(2)某经销商计划从该家具厂购进一批桌椅，已知购进椅子的数量比餐桌的数量的3倍多15个，且餐桌和椅子的总数不超过120个．该经销商计划把一半餐桌成套(每张餐桌配四把椅子)销售，每套1600元，其余桌椅按每张餐桌1000元，每把椅子300元零售．设该经销商购进餐桌x张，销售完这批桌椅获得的利润为y元．请你帮该经销商设计一种获利最大的进货方案，并求出最大利润．
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．为进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分100分．为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了20名参赛学生的成绩，已知抽取得到的八年级的数据如下：80、95、60、80、75、60、95、65、75、70、80、75、85、65、90、70、75、80、85、80.(分数80分以上、不含80分为优秀).为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了如表和直方图：
成绩等级分数(单位：分)学生数
D等级60≤x≤70a
C等级70＜x≤809
B等级80＜x≤90b
A等级90＜x≤1002
八、九年级成绩的平均数、中位数如表：
年级平均数中位数
八年级77c
九年级78.582.5
(1)根据题目信息填空：a＝________，b＝________，c＝________；补全八年级的频数分布直方图．
(2)八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，请判断小宇、小乐在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由．
(3)若九年级学生成绩的优秀率是八年级的两倍，且九年级共有600人参加参赛，请估计九年级获得优秀的学生人数．
19．如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k
x 的图象交于A (2，2)，B 两点．
(1)求反比例函数与一次函数的关系式；
(2)C 为y 轴负半轴上一动点．作CD ∥AB 交x 轴交于点D ，交反比例函数的图象于点E .当D 为CE 的中点时，求点C 的坐标．
20．图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2，图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB 的长为60cm ，点D 是AB 的中点，前支撑板DE ＝30cm ，后支撑板EC ＝40cm ，车杆AB 与BC 所成的∠ABC ＝53°.
sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53
(1)如图2，当支撑点E 在水平线BC 上时，求支撑点E 与前轮轴心B 之间的距离BE 的长．
(2)如图3，当座板DE 与地平面保持平行时，问变形前后两轴心BC 的长度有没有发生
变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O ，交AC 于点E ，点D 为⊙O 上一点，且CD ＝CB .连接DO 并延长交CB 的延长线于点F .
(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若AB ＝CB ＝6，连接BE .①求图中阴影部分的面积；②求DF 的长．
22.如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点C (3，1)，二次函数y ＝13x 2＋bx －3
2
的图象经过点C .
(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a(x－h)2＋k的形式．
(2)把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积．
(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
六、解答题(本大题共12分)
23．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如在图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
特例探索：
(1)①如图1，当∠ABE＝45°，c＝42时，a＝________，b＝________；
②如图2，当∠ABE＝30°，c＝2时，求a和b的值．
归纳证明：
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
(3)利用(2)中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD 的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图4所示，求MG2＋MH2的值．
2024年江西中考数学中考模拟卷(四)答案
1．C ∵－1.5<－2<0<3，∴最小的数是－1.5.2．D
两个圆所在的面是相对的，不相邻，故A 错误；
B ，
C 中空白的圆圈不与白色的三角形相邻，故B ，C 错误；D.正确．3．A
A.(－a 5)2＝a 10，故正确；
B.2a ·3a 2＝6a 3，故错误；
C.－2a ＋a ＝－a ，故错误；
D.－6a 6÷2a 2＝－3a 4，故错误．4．D
正多边形的边数为360°÷45°＝8，则这个多边形是正八边形，所以该正多边形的
内角和为(8－2)×180°＝1080°.
5．A
由折叠补全图形如图所示．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADA ′＝∠B ＝∠C ＝∠A ＝90°，AD ＝BC ＝1，CD ＝AB .由第一次折叠得∠DAE ＝∠A ＝90°，∠ADE ＝1
2∠ADC ＝45°，
∴∠AED ＝∠ADE ＝45°，∴AE ＝AD ＝1.
在Rt △ADE 中，根据勾股定理得，DE ＝2AD ＝ 2.由第二次折叠可知，DC ＝DE ，∴AB ＝ 2.
6．B 3秒时到了(1，0)；8秒时到了(0，2)；15秒时到了(3，0)；24秒到了(0，4)；35秒到了(5，0)；
∴23秒到了(1，4)，33秒到了(5，2)，∴A (1，4)，B (5，2).
设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，
＋b＝4，
k＋b＝2，
＝－1
2，
＝9
2，
∴直线AB的解析式为y＝－
1
2
x＋9
2
.
7．解析：原式＝－(4a2－4a＋1)＝－(2a－1)2.
答案：－(2a－1)2
8．解析：0.000000005＝5×10-9.
答案：5×10-9
9．解析：∵a＝1，b＝2，c＝－k，
由题意知，Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－k)＝4＋4k<0，
解得k<－1.
答案：k<－1
10．解析：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝
1
2∠BAC＝
1
2
×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°.
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝
1
2
(180°－∠)＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°.
答案：15°
11．解析：∵数据x，－2，4，1的中位数为1，
∴①当这样排列时，x，－2，1，4，中位数不是1，舍去；
②当这样排列时，－2，x，1，4，中位数为1，则
x＋1
2
＝1，解得x＝1，③当这样排列时，－2，1，4，x，中位数不是1，舍去．
综上，数据为－2，1，1，4，
∴数据的平均数＝
－2＋1＋1＋4
4
＝1，
∴方差＝
(－2－1)2＋2×(1－1)2＋(4－1)2
4
＝
9
2
.
答案：
9
2
12．解析：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，D 是AC 的中点，
∴AB ＝22，AD ＝CD ＝1，
∴BD ＝5，
∴CE ＝CD ·BC BD ＝255
.∵∠DCB ＝90°，CE ⊥BD ，
∴△CDE ∽△BDC ，
∴CD 2＝DE ·DB .
∵AD ＝CD ，
∴AD 2＝DE ·DB ，
∴AD DE ＝DB AD
.∵∠ADE ＝∠ADB ，∴△DAE ∽△DBA ，
∴AE AB ＝AD BD ＝55
，∴AE ＝2105
.∵DE ＝55，BD ＝5，∴BE ＝455
.如图1中，若AE ＝AF 时，
∴AF ＝2105
.如图2中，若FE ＝AE 时，过点E 作EJ ⊥AB 于J .
∵JE 2＝AE 2－AJ 2＝EB 2－BJ 2，
∴4025－AJ 2＝8025
－(22－AJ )2，∴AJ ＝425
.∵AE ＝EF ，EJ ⊥AF ，
∴AF ＝2AJ ＝825
.如图3中，若EF ＝AF 时，过点E 作EJ ⊥AB 于J .
∵EJ 2＝AE 2－AJ 2＝EF 2－FJ 2，
∴4025－3225
＝AF 2，∴AF ＝22
.综上所述，AF 的长为2105或825或22
.答案：2105或825或22
13．解：x －5＜x ＋1x －1)≥3x －4，②解不等式①，得x <3.
解不等式②，得x ≥－2.
所以原不等式组的解集为－2≤x <3.
在数轴上表示如下：
(2)如图，连接AC .
∵M ，N 分别是CE ，AE 边的中点，
∴MN 是△ACE 的中位线，
∴AC ＝2MN ＝4.
∵四边形ABCD 是菱形，且∠D ＝60°，
∴AD ＝CD ，
∴△ACD 为等边三角形，
∴CD ＝AC ＝4，
∴C 菱形ABCD ＝4CD ＝16，
∴菱形ABCD 的周长为16.
14．解：(1)小华的解答过程在第②步出现错误，在运算去括号时没有变号，·x ＋1x (x －1)
故答案为②.
(2)÷x (x －1)x ＋1
＝x x ＋1－x 2＋x x ＋1·x ＋1x (x －1)·x ＋1x (x －1)
＝－x 2x ＋1·x ＋1x
(x －1)＝－x x －1，当x ＝5时，原式＝－
55－1＝－54.15．解：(1)若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是随机事件．
∵走廊的灯已坏，
∴若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是不可能事件，
故答案为随机；不可能．
(2)设客厅灯亮了为事件A ，楼梯灯亮了为事件B ，走廊灯亮了为事件C ，则树状图如下：
∴共有6种结果，其中“客厅灯和楼梯灯亮了”的有2种，
∴P (客厅灯和楼梯灯都亮了)＝26＝13
.16．解：(1)如图1，线段AE 即为△ABC 的中线．
根据三角形三条中线交于一点即可证明．
(2)如图2，线段AF 即为△ABC 的角平分线．
证明：∵OA ＝OH ，∴∠HAO ＝∠H .
∵点O 是AB 的中点，点E 是BC 的中点，
∴OE 是△ABC 的中位线，
∴OE ∥AC ，
∴∠CAH ＝∠H ，
∴∠CAF ＝∠BAF ，
∴AF 为△ABC 的角平分线．
17．解：(1)设一张餐桌和一把椅子的售价分别为a 元、b 元．
－b ＝480，
＋4b ＝1280，＝640，
＝160.
答：一张餐桌和一把椅子的售价分别为640元、160元．
(2)由题意得x ＋3x ＋15≤120，
解得x ≤2614
.
由题意得y ＝x 2×1600＋x 2
×1000x ＋15－x 2×4－640x －(3x ＋15)×160＝800x ＋500x ＋300x ＋4500－640x －480x －2400
＝480x ＋2100.
∵480＞0，
∴y 随x 的增大而增大，
∴当x ＝26时，y 取最大值，最大值为14580，
此时3x ＋15＝93.
答：当购进26张餐桌，93把椅子时，销售完这批桌椅所获利润最大，最大利润为14580元．
18．解：(1)根据频数统计的方法可得，
成绩在60≤x ≤70的有6人，即a ＝6，
成绩在80<x ≤90的有3人，即b ＝3，
八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为75＋802
＝77.5(分)，因此中位数是77.5，即c ＝77.5，
补全图形如下：故答案为：6，3，77.5.
(2)八年级小宇的排名更靠前．理由如下：
因为八年级的中位数是77.5，九年级的中位数是82.5，
所以八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，小宇的排名更靠前．
(3)3＋220
×2×600＝300(人)，∴九年级获得优秀的学生人数为300人．
19．解：(1)∵反比例函数y ＝k x
的图象过点A (2，2)，∴k ＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y
∵反比例函数y ＝4x
过点
∴m ＝
8，∴
8∴把A ，B ＝2a ＋b ，
－12＝－8a ＋b ，
＝14
，＝32，∴一次函数解析式为y ＝14x ＋32.
(2)∵CD ∥AB ，
∴设直线CD 的解析式为y ＝14
x －n (n ＞0).令x ＝0，则y ＝－n ，
∴C (0，－n )，
∴OC ＝n .
∵D 为CE 的中点，
∴E 的纵坐标为n ，
代入y ＝14
x －n (n ＞0)，求得x ＝8n ，∴E (8n ，n ).
∵反比例函数过点E ，
∴n ＝48n
，∴n ＝22
(负数舍去)，
∴20．解：(1)如图1，过点D 作DF ⊥BE 于点F .
由题意知BD ＝DE ＝30cm ，
∴BF ＝BD cos ∠ABC ≈30×35
＝18(cm)，∴BE ＝2BF ＝36(cm).
答：BE 的长为36cm.
(2)如图2，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N .
由题意知四边形DENM 是矩形，
∴MN ＝DE ＝30cm.在Rt △DBM 中，BM ＝BD cos ∠ABC ≈30×35＝18(cm)，EN ＝DM ＝BD sin ∠ABC ≈30×45
＝24(cm).在Rt △CEN 中，CE ＝40cm ，
∴由勾股定理可得CN ＝EC 2－EN 2＝402－242＝32(cm)，
则BC ＝18＋30＋32＝80(cm)，
原来BC ＝36＋40＝76(cm)，
80－76＝4(cm)，
∴变形前后两轴心BC 的长度增加了4cm.
21．(1)证明：如图1，连接OC .
在△OCB 与△OCD 中，
＝CD ，
＝CO ，
＝OD ，
∴△OCB ≌△OCD (SSS)，
∴∠ODC ＝∠OBC ＝90°，
∴OD ⊥DC ，
∴DC 是⊙O 的切线．
(2)解：①如图2，连接OE .
∵AB ＝CB ＝6，AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°，AE ＝EC ，
∴OE ＝12
BC ＝3，OE ∥BC ，∴OE ＝OB ＝3，∠EOB ＝90°，
∴阴影部分的面积＝S 扇形EOB －S △EOB ＝
90π×32360－12×3×3＝9π4－92②∵AB ＝CB ＝6，CD ＝CB ，
∴CD ＝6.
∵∠FBO ＝∠FDC ＝90°，∠F ＝∠F ，
∴△FBO ∽△FDC ，
∴OB CD ＝BF DF ，∴BF DF ＝12
.设BF ＝x ，DF ＝2x ，
∴OF ＝2x －3.
∵OF 2＝OB 2＋BF 2，
∴(2x －3)2＝32＋x 2，
∴x ＝4，x ＝0(不合题意，舍去)，
∴BF ＝4，
∴DF ＝8.
22．解：(1)将点C (3，1)代入二次函数解析式y ＝13x 2＋bx －32
，可得3＋3b －32＝1，解得b ＝－16
，故解析式为y ＝13x 2－16x －32
，
y ＝13x 2－16x －32＝－7348
.(2)作CK ⊥x 轴，如图．
由题意可得∠BOA ＝∠CKA ＝∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，OK ＝3，CK ＝1，∴∠BAO ＋∠CAK ＝∠BAO ＋∠OBA ＝90°，
∴∠ABO ＝∠KAC ，
∴△ACK ≌△BAO (AAS)，
∴OB ＝AK ，OA ＝CK ＝1，
∴OB ＝AK ＝OK －OA ＝2，
∴点B (0，2)，A (1，0)，则AB ＝OA 2＋OB 2＝ 5.
令13x 2－16x －32＝2，解得x ＝72
或x ＝－3(舍去)，
即ABC 向右平移的距离为72，即AE ＝72
.由题意可得△ABC 扫过区域的面积为平行四边形ABDE 和△ABC 的面积和，
即S ▱ABDE ＋S △ABC ＝AE ×OB ＋12AC ×AB ＝72×2＋12×5×5＝9.5.(3)当∠BAP ＝90°时，由题意可得AB ＝AP ＝AC ，∠BAC ＝∠BAP ＝90°，∴△BAP ≌△BAC (SAS).
又∵A (1，0)，C (3，1)
∴P (－1，－1).
当x ＝－1时，y ＝13＋16－32
＝－1，点P (－1，－1)在抛物线上．当∠ABP ＝90°时，同理可求得P (－2，1)或P (2，3)，
当x ＝－2时，y ＝13×4＋16×2－32
≠1，P (－2，1)不在抛物线上，当x ＝2时，y ＝13×4－16×2－32
≠1，P (2，3)不在抛物线上．综上所述，存在点P (－1，－1)，使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形．
23．解：如图1，图2，图3，连接EF ，则EF 是△ABC 的中位线，
则EF ＝12
AB ，EF ∥AB ，∴△EFP ∽△BPA ，∴PB PE ＝PA PF ＝AB EF
＝2.(1)①如图1，在直角三角形ABP 中，PA ＝PB ＝AB sin 45°＝4，
∴PE ＝PF ＝2，
∴a ＝b ＝2BF ＝2PB 2＋PF 2＝4 5.
②如图2，在直角三角形ABP 中，PA ＝AB sin 30°＝1，PB ＝AB cos 30°＝3，
∴PE ＝12PB ＝32，PF ＝12PA ＝12
，则a ＝2BF ＝2PB 2＋PF 2＝13，b ＝2AE ＝2PA 2＋PE 2＝7.
(2)关系为a 2＋b 2＝5c 2，
证明：如图3，PF ＝12PA ，PE ＝12
PB ，则a 2＋b 2＝(2BF )2＋(2AE )2
＝4(BF 2＋AE 2)
＝4(BP 2＋PF 2＋AP 2＋PE 2)
＝2＋54
AP ＝5(BP 2＋AP 2)＝5c 2.
(3)如图4，连接EF .在菱形ABCD 中，E ，F 分别为线段AO ，DO 的中点，则EF ＝12BC ＝12AD .
∵AE ＝OE ＝13
EC ，AG ∥BC ，∴AG ＝13BC ＝13
AD .同理HD ＝13AD ，∴GH ＝13
AD ，∴GH ＝23
EF .∵GH ∥BC ，EF ∥BC ，
∴HG ∥EF ，∴MG ＝23ME ＝13
MB .同理MH ＝13
MC ，则MG 2＋MH 2＝19(MB 2＋MC 2)＝19×5×BC 2＝5.。