一起学奥数--环形行程问题

例3、甲乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车 每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头； 一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离 点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)
【分析】假设甲乙两车都在A点出发。因为两车背向而行，所以第一次
【分析】在环形跑道上同地同向出发是追及问题。因为1）没有同时出发，且乙的速度慢，所以追 及路程只有10米。所以，追及时间为：
10÷（5.5-4.5）=10s
2）给的条件是同地背向，符合相遇过程的条件。由于乙先跑了10米，所以共同跑的路程为(400-10)米， 所以，相遇的时间为：
（400-10）÷（5.5+4.5）=39s
有的时候，把圆形问题简化为直线问题，可以使问题更加直观
例3、如图，一个边长为100 米的正方形跑道。甲从A点出发，乙从C点 出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。他们拐 弯处都要停5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？
A 甲
B
D
【分析】首先我们知道，甲追上乙，甲比乙多休息1~2次。当甲在
第一课 基础部分
例1、两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙 每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果 两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？
A
AB A
B B
【分析】在圆形跑道上，两个人站在同一地方，我们也可以认为两个人相差周长的正整数倍。 两个人同时同向同地出发，可以看成是追及问题，再次追上，可以看作为多跑了一圈。 根据题目给定的条件，可以知道环形跑道的周长为：
【分析】假设甲乙都在A点出发。第一次相遇时，甲乙都到了超过出发
C’
点250米的B点。
B
因为甲乙两人的速度没有变化，所以当第二次相遇时，他们跑的行程与
A
第一次应该是一样的。那么第二次相遇点在哪个位置呢？
C
我们可以假设第二次在B点出发，所以第二次的相遇点应该超过B点250
米，我们设为C点。
可是题目告诉我们的是，第二次甲追上乙时，乙距离出发点50米。这应 该有两种可能。除了图上标注的，还有哪一种可能呢？
是相遇问题，设相遇点为B。
C
B
相遇时间为：6÷（65+55）=0.05 小时
A
点B距离点A：55×0.05=2.75千米
相遇后，乙车调头，说明是同向行驶，是追及问题。设第二次相遇点在点C。
追及时间为：6÷（65-55）=0.6 小时 乙车在此过程中走的路程为：55×0.6=33 千米 33÷6=5……3，即C点离A点：3-2.75=0.25千米
B
甲
A
13
C
8
D
乙
【分析】由图可见，甲追乙的距离为（13+8×2)=29米。要使甲能看见 乙，则甲乙必须在同一条直线上。
此类题目要做到逐段分析
课堂练习
1、甲乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟 80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第1次追上乙？
风子编辑
环形行程问题
五年级
教育目标
了解环形形成问题中的追及和相遇问题 掌握环形问题的数形结合分析方法
学会用多因素之间的位置关系，分类讨论环形问题
教育重点
用数形结合思想解决环形行程问题
教育难点
多因素之间的位置关系
隐性等量关系
从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次； 如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次。
出发点
乙 丙 甲
【分析】根据题目，我们画出符合条件的状态。在时间不变的情况下， 如果以甲乙的平均速度跑，那么跑的路程应该也是甲和乙行程的平均 值。即正好与丙相遇。
于是，这就变成了环形行程问题最简单的两者相遇问题了。相遇的时 间为：
(6+5)÷2+4.5=10m/s
400÷10=40s
例6、如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米，甲乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲 每秒钟行3米，乙每秒钟行2米，那么经过几秒甲第一次看见乙。
A 甲
C D乙
【分析】根据题意，显而易见，这是一个相遇问题，甲乙共同的行程是 AD的长度=2×边长-30m，所以，甲乙相遇所需时间为：
（360÷3×2-30）÷（55+50）=2min
B
当乙到达A点时，乙的总行程为360÷3×2-30=210m，所以所需时间为：
210÷50=4.2min
4.2min甲走的距离为：4.2×55=231m，而三角形的边长为：360×3=120m
（250-200）×45=2250米
如果两人同时同地反向跑，可以看作为相遇问题
共同跑完了一圈，则所花时间为： 2250÷（250+200）=5分钟
解环形跑道问题的一般方法：
环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走 一圈相遇一次
如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往 成为我们解决问题的关键
例2、甲、乙两人在400米的环形跑道上练习跑步，甲跑5.5m/s，乙跑4.5m/s。 1）乙先跑10米，甲再和乙同地、同向出发，还要多长时间首次相遇？ 2）乙先跑10米，甲再和乙同地、背向出发，还要多长时间首次相遇？ 3）甲乙同时同地同向出发，经过多长时间二人首次相遇？ 4）甲先跑10米，乙再和甲同地、同向出发，还要多长时间首次相遇？
这时，甲车调头，又是相遇过程。同样的方法，相遇时的地点离A点0.25+2.75=3km；然后乙 车调头，形成追及过程，根据上面的计算，再次相遇时两车重新回到A点，且恢复到初始状态。
由此可知，每4次相遇为一个周期，而11÷4=2……3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的 地点是相同的，即离A点距离为3km。
正方形的边上追上乙时，多休息了2次；当在角上追上时，可能会
出现两种可能。
乙 C
我们假设在边追上，且设甲纯跑的时间为x秒，则乙纯跑的时间为 （x+10）秒，所以有：
7x-5（x+10）=200 解得x=125s，即甲跑了125×7=875m，即甲跑了2圈多75m
分析当甲跑了800m到A点时，所花的时间为5×7+800÷7≈149.3s。而乙跑600m且刚到达 A点所用的时间为：600÷5+5×5=145s，即在145~150s时间内，乙正好在A点休息，而 这期间A正好到达A点。
所以，当甲第一次追上乙时，乙跑了600米。
例4、如图所示，是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连结B或者C。 小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道的周长是3米。开始时，A连结C，火车从A点 出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连 结。若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了多少分钟？
AC B
【分析】首先我们要弄清楚火车在大、小圈跑一圈所需要的时间。
大圈跑一圈的时间：3÷10×60=18s
小圈跑一圈的时间：1.5÷10×60=9s
在第一次变轨前，火车在大圈上跑了多少圈呢？ 60÷18=3……6
说明火车在变轨前，大圈中跑了4圈，用去4×18=72s。即在火车进 入小圈后48s，就面临再次变轨。那么，再次变轨前，火车在小圈 跑了几圈呢？
甲跑一圈的时间：600÷3=200s 乙跑一圈的时间：600÷4=150s 丙跑一圈的时间：600÷2=300s
三个人同时回到出发点，说明都跑了整数圈，所花的时间应该能被200、150、300整除， 即是各自跑一圈的最小公倍数。
[200,150,300]=600s
由此可知，三个人各跑了3圈、4圈和2圈。
例4、如图所示，甲沿周长为400米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步 （图中给出跑动路线的次序：1-2-3-4-…）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙二 人的速度分别是3m/s和5m/s，两人第三次相遇的时间是出发后几秒？
A
1
4
3
2
B
【分析】首先需要搞清楚大圆和两个小圆的周长的关系。按圆的周长 计算方法，我们知道大圆的周长等于两小圆的周长和。设小圆的半径 为r，则大圆的半径为2r。则有：
大圆的周长=4πr，小圆的周长之和=2×2πr=4πr
因为甲乙在不同的跑道上跑，相遇点只能在A或B点。两人跑200m所 需的时间分别为：
所以，两人第三次相遇的时间是出发后的200×3=600s。相遇在B点
可以点出发，丙与甲乙方向相反。已知甲速 度每秒6米，乙速度每秒5米，丙速度每秒4.5米，他们出发后几秒，丙第一次位于甲、乙的 正中间。
还有一种可能是超过了A点50米。
所以，跑道的长为：250×2+50=550m，或者250×2-50=450m
注意：当题目只是告知相距多少时，需要进行分类讨论。
例6、已知等边三角形ABC的周长为360米，甲从A点出发，按逆时针方 向前进，每分钟走55米。乙从BC边上D点（距C点30米）出发，按顺时 针方向前进，每分钟走50米。两人同时出发，几分钟相遇？当乙到达A 点时，甲在哪条边上，离C点多远？
C
2、如图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相
向而行。他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次
A
相遇，D点离B点80米，求圆的周长。
B D
3、三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210cm。甲乙两只爬虫分别从A、 B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬 虫绕3、2号环形跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别是每分 钟20、15cm。问：甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少cm？
A
1 C
2
D 3
B
甲
乙
知识点小结
环形跑道上的行程问题，本质上是追及问题和相遇问题。 追及行程是两人初始距离与环形跑道长的倍数之和 相遇行程是两人从出发到相遇所行的路程和
路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差
例2、如下图所示，是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端。小军在A 点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次在C点相遇，C点离A点有 50米；第2次在D点相遇，D点离B点有30米。问这个花园一周长多少米？
●D
A
B
A
C
B
D
A’
【分析】分析环形行程时，我们往往用线段图来代替环形跑道，使问题更
48÷9=5……3 说明火车再次变轨前，在小圈中跑了6圈。即第10次回到A点时，火 车开始第二次变轨。 所以，火车第10次回到A点时，用了4×18+6×9=126s
例5、甲乙两人在一条圆形跑道上同时同向出发，绕圆形跑道跑步。已 知两人在跑步过程中速度均保持不变，且甲跑得比乙快。当甲第一次追 上乙时，乙超过出发点250米；当甲第二次追上乙时，乙距离出发点50 米。求跑道长。
因为 231=120×2-9，所以甲应该再BC边上，且距离C点9m。
第二课 提高部分
例1、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点同时 同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？且各自跑了多少圈？
【分析】题目给出了甲乙丙三人的速度，和环形跑道的长度，由此我们可以知道三个人跑一圈所需 要的时间。
3）与1）一样，是追及问题。不同的是同时出发，所以追及路程为400米，而追及时间 为：
400÷（5.5-4.5）=400s
4）与1）一样，也是追及问题。不同的是甲先跑了10米，且甲的速度比乙快，所以追 及的路程为（400-10）米。从而，可知追及时间为：
（400-10）÷（5.5-4.5）=390s
● C
加直观。
小军在A点，小勇在B点，相向而行。第一次相遇在C点
此时，小军和小勇共同完成了AB段，即半圆的行程。且AC=50米
第二次在D点相遇，两人合计跑的行程是圆形跑道的一圈，比第一次相遇多跑了一倍的行程。 所以，CD=2AC=100米。 由线段图的位置关系可知：AB=AC+CD-BD=100+50-30=120米 AB是半圆的长，所以这个花园一周长为：120×2=240米