斯托克斯公式

3
2
0
D xy
1
1
y
3(
1


2
1方 程 ； 2 x轴
3
)zdx
1
x
1

3 3 zdx 3 (1 x )dx 0 3 2
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例 1 计算
zdx xdy ydz ,
: x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三 z 角形上侧符合右手规则.
z

n
o

y
x
3 ：x y z 2
4 3 dS 3 2 9 2 3 3dxdy . 2 D xy
x y
Dxy
x y 1 2
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3 2
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二、*等价结论
1 推论 设G是空间 一维单连通区域， 、Q、R CG， P


A的旋度 R Q P R Q P rotA dS ( , , ) dS
物理意义: rotA穿过流向指定侧的流量 A沿 (正向)的环流量。

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Pdx Qdy Rdz A ds
0 D xy
1
x
1
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例 2 求 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ,是

3 x y z 截立方体:0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 2
的表面所得截痕,从 Ox 轴正向看去取逆时针方向. 3 z n 解 取Σ : x y z ,上侧,被 2 0 1 (1,1,1) 所围部分. 则 n
Pdx Qdy Rdz

2．斯托克斯公式的实质 3．斯托克斯公式及其推论应用的方法 （注意条件）
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xy
o
y
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P P P P dzdx dxdy ( f y )dxdy z y y z
P P ( P[ x , y , f ( x , y )] fy) y y z
z
n
:z

f ( x, y )
斯托克斯（Stokes）公式
1. 斯托克斯公式
2. *等价结论
3. *物理意义
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一、斯托克斯(stokes)公式
设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为 边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符 合右手规则， P、Q、R C1， 则有
R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
D C n上 ( f x , f y ,1), x (dydz, dzdx, dxdy) (cos , cos , cos )dS cos dzdx dxdy f y dxdy cos P P P P dzdx dxdy ( f y )dxdy z y y z
A沿的环流量
M
1 2 3 (2 z 3 y,3 x 1 z,1 y 2 x) y z R Q P R Q P , , ) 注意 rot v (
z z x x y 2 1 , 2 2 , 2 3 2 . 由此可看出旋度与
Green
P[ x , y , f ( x , y )]dx 2 x C P ( x, y, z )dx 对一般的, 上式仍然成立 ; 同理可证其它部分 证毕. .
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy y D xy
1
o
y
D xy
C
平面有向曲线
( P cos Q cos R cos )dS

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*证 设Σ ： (x,y),取上侧,有向曲 z=f
线 C 为Σ 的正向边界曲线在 xOy 上的投影，且所围区域 Dxy. 思路 曲面积分 1
二重积分 曲线积分 2
z
n
:z

f ( x, y )
: x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三 角形上侧符合右手规则.
解3
Stokes

(cos cos cos )dS


zdx xdy ydz
z
1
n
y
1 1 1 ( )dS 3 3 3 正 弦TH 3 3 || 2
R Q I [( ) cos y z
Stokes
3
o

y
x
P R Q P ( ) cos ( ) cos ]dS z x x y
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R Q P R I [( ) cos ( ) cos y z z x Q P ( ) cos ]dS x y 4 ( x y z )dS 3
Pdx Qdy Rdz为原函数） .
三、*物理意义---环流量与旋度
有向曲面 ，有向闭曲线 ,
y
设A( x, y, z ) P ( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k，
z z x x y R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
解2
Stokes

轮换对称
dydz dzdx dxdy
zdx xdy ydzx1 Nhomakorabean
y
0 D xy
1
1

3

3 dxdy 3 dxdy 3 | Dxy | 2 D
xy
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例 1 计算
zdx xdy ydz ,
四、小结
1．斯托克斯公式 dydz dzdx dxdy cos cos cos x y z dS x y z P Q R P Q R R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
（u( x, y, z )
( x , y,z )
（注 : 若U为Pdx Qdy Rdz在G内 的 一 个 原 函 数 , AB G , 则 Pdx Qdy Rdz U ( B ) U ( A)） .
用法：同格林公式推论。
AB
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( x0 , y0 , z0 )

斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
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例 1 计算
zdx xdy ydz ,
: x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三 z 角形上侧符合右手规则. 1 n 解1 直接计算
zdx xdy ydz 3 zdx
轮换对称

Pdx Qdy Rdz
n

边界曲线的正向
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右手规则：
是有向曲面 的
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Stokes公式可写成
dydz dzdx dxdy x y z Pdx Qdy Rdz P Q R cos cos cos dS x y z P Q R
空间有向曲线
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Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线积分 之间的关系.
(当Σ 是 xOy 面上的闭区域时)
R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy Pdx Qdy Rdz
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x
y
旋转角速度的关系.
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v
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个轴转动,其 角速度 ( 1 , 2 , 3 ) ,刚体上每一点处的线 速度构成一个线速场,向量 r OM =(x,y,z). 求点 M 处的线速度.
L
o
解 由力学知道点 M 的线速度 v r i j k
则下面结论彼此等价： P Q Q R R P 1） , , 在G内 恒 成 立 ； y x z y x z 2） Pdx Qdy Rdz在G内沿任何闭路积分为零 ； 3） Pdx Qdy Rdz在G内积分与路径无关； 4） Pdx Qdy Rdz在G内有原函数