高三理科数学复习教案：推理与证明复习教学案

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本文题目：高三理科数学复习教案：推理与证明复习教学案

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考试要求重难点击命题展望

1.了解合情推理的含义.

2.能利用归纳与类比等进行简单的推理.

3.体会并认识合情推理在数学发觉中的作用.

4.了解演绎推理的重要性.

5.把握演绎推理的差不多模式：三段论.

6.能运用演绎推理进行简单的推理.

7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别.

8.了解直截了当证明的两种差不多方法：分析法与综合法.

9.了解分析法与综合法的思维过程、特点.

10.了解反证法是间接证明的一种差不多方法及反证法的思维过程、特点.

11.了解数学归纳法的原理.

12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题. 本章重点：1.利用归纳与类比进行推理;2.利用三段论进行推理与证明;3.运用直截了当证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题;4.数学归纳法的差不多思想与证明步骤;运用数学归纳法证明与自然数n(nN *)有关的数学命题.

本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发觉结论并形成猜想命题;2.依照综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题;

3.明白得数学归纳法的思维实质，专门是在第二个步骤要依照归纳假设进行推理与证明. 推理与证明是数学的差不多思维过程，也是人们学习和生活中

经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回忆与总结，进一步体会直观感知、观看发觉、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的差不多方法.

本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范畴宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间.

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14.1 合情推理与演绎推理

典例精析

题型一运用归纳推理发觉一样性结论

【例1】通过观看下列等式，猜想出一个一样性的结论，并证明结论的真假.

sin215+sin275+sin2135

sin230+sin290+sin2150

sin245+sin2105+sin2165

sin260+sin2120+sin2180=32.

【解析】猜想：sin2(-60)+sin2+sin2(+60)=32.

左边=(sin cos 60-cos sin 60)2+sin2+(sin cos 60+cos sin 60)2=32(sin2 +cos2)=32=右边.

【点拨】先猜后证是一种常见题型;归纳推理的一些常见形式：一是具有共同特点型，二是递推型，三是循环型(周期性).

【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a+b

①a2+b2②a3+b3c5+h5.

其中正确结论的序号是;

进一步类比得到的一样结论是.

【解析】②③;an+bn

题型二运用类比推理拓展新知识

【例2】请用类比推理完成下表：

平面空间

三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半

【解析】本题由已知的前两组类比可得到如下信息：

①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象;②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象;③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;⑤三角形的面积公式中的二分之一与三棱锥的体积公式中的三分之一是类比对象.

由以上分析可知：

故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.

本题结论能够用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.

【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，能够类比到立体几何中，得到类似的结论.一样平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：

平面空间

点线

线面

圆球

三角形三棱锥

角二面角

面积体积

周长表面积

【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1, 2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4)，(1)若a11= a22=a33=a44=k，则=;(2)类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1, 2,3,4)，若S11=S22=S33=S44=K，则= .

【解析】2Sk;3VK.

题型三运用三段论进行演绎推理

【例3】已知函数f(x)=ln ax-x-ax(a0).

(1)求此函数的单调区间及最值;

(2)求证：关于任意正整数n，均有1+12+13++1nln enn!.

【解析】(1)由题意f(x)=x-ax2.

当a0时，函数f(x)的定义域为(0，+)，

现在函数在(0，a)上是减函数，在(a，+)上是增函数，

fmin(x)=f(a)=ln a2，无最大值.

当a0时，函数f(x)的定义域为(-，0)，

现在函数在(-，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，

fmin(x)=f(a)=ln a2，无最大值.

(2)取a=1，由(1)知，f(x)=ln x-x-1xf(1)=0，

故1x1-ln x=ln ex，

取x=1,2,3，，n，则1+12+ 13++1nln e+ln e2++ln en=ln enn!.

【点拨】演绎推理是推理证明的要紧途径，而三段论是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题显现的频率较大.

【变式训练3】已知函数f(x)=eg(x)，g(x)=kx-1x+1(e是自然对数的底数)，

(1)若对任意的x0，都有f(x)

(2)求证：ln(1+12)+ln(1+23)++ln[1+n(n+1)]2n-3(nN*).

【解析】(1)由条件得到f(1) k2ln 2+13，推测最大整数k=2，

现在证明0恒成立：

2，

设h(x)=ln(x+1)+3x+1，则h(x)=1x+1-3(x+1)2=x-2(x+1)2.