2.3连续型随机变量

f (x)
1
e ,
(
x) 2 2
2
2
其中 , ( >0)为常数
x
称X服从参数为 ,的正态分布或
高斯分布,记为 X～N( , 2)
1 f(x)
(1)关于直线x 对称;
2
(2)最大值为 1 ;
2
(3)在x 处有拐点.
o
x
可求得X的分布函数为:
F(x) 1 x
e
(
t )2 2 2
1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)] =1e1
3. 正态分布
正态分布是实践中应用最为广泛,在 理论上研究最多的分布之一,故它在概率 统计中占有特别重要的地位
X的概率密度为:
f(x)的性质:
(1) f(x)≥0, <x<+
(2) f ( x)dx 1
(3) P(x1<X≤x2)=F(x2) F(x1)
x2 f ( x)dx
x1
( x1 x2 )
f(x)
P(x1<X≤x2)
x1
o x2 x
这条性质是密度函数的几何意义
注: 对连续型随机变量X和任意实数a, 总有P(X=a)=0 即, 取单点值的
若X～U[a, b], [c, c+l][a, b], 有:
P(c≤X≤c +l )
cl
c f ( x)dx
cl c
b
1
adx
b
l
a
这说明:
X落在[a,b]的子区间内的概率与子 区间的长度成正比,而与子区间的位置 无关
可见,落在长度相等的各个子区间 的可能性相等
例4 设随机变量X在(2,8)上服从均匀分 布,求二次方程y2+2xy+9=0有实根的概率
= 0.9710 (3) P(X>c) =1P(X≤c) =P(X≤c)
P(X≤c)=0.5
F(c)=0.5
(
c
2
3
)
0.5
c
2
3
0
c=3
0
1
2
1
2
0 tdt 1 (2 t)dt =1
综上所述,可得随机变量X的分布函数:
0
x2
Fx
x2 2
2 2x 1
1
x0 0 x1
1 x2 2 x
例3 设连续型随机变量X的分布函数为
F
(
x)
A
Be
x2 2
,
0,
试求: (1)系数A和系数B
x0 x0
(2) X的概率密度
(3) P( ln 4 X ln 9)
解: =3, =2
又
F
(
x)
(
x
)
(
x
2
3
)
(1) P(2<X≤5) =F(5) F(2)
(
5
2
3
)
(
2
2
3
)
= (1) (0.5)
= (1) [1 (0.5)]
= 0.5328
(2) P(2<X<7) =F(7) F(2)
(
7
2
3
)
(
2 2
3
)
= (2) (2.5)
= (2) [1(2.5)]
0
x
tdt
x2
0
2
当1<x<2时,
F(x)
x
f
(t )dt
0
1
x
f (t)dt f (t)dt f (t)dt
0
1
1
tdt
x (2 t )dt 1 x2 2 x 1
0
1
2
当x≥2时, F ( x) x f (t)dt
0
1
2
x
f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt
F
(
x
)
1 2
e
1
x, 1
e
x
,
2
x0 x0
例2 设随机变量X的概率密度为
x 0 x1
f ( x) 2 x 1 x 2
0
其它
试求X的分布函数
解: 当x≤0时,
x
F ( x) f (t)dt =0
当0<x≤1时,
x
F ( x) f (t)dt
0
f (t)dt
x
f (t)dt
解: 方程有实根=4x2 36≥0 x≥3或x≤3
已知
fX (x)
1 6
,
2 x8
0, 其它
P{有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}
8 1dx 36
8
0dx
3
0dx
5 6
2. 指数分布
X的概率密度为:
ex , x 0
f (x)
0,
x0
称X服从参数为的指数分布
( 0)
由上式求得X的分布函数:
解: (1) F(+)=1 x2 lim ( A Be 2 ) =A=1 x
右连续: lim F(x) F(0)
x0
x2
lim( A Be 2 ) =A+B =0
x0
得: A=1, B= 1
(2)
F
(
x)
1
e
x2 2
,
0,
x0 x0
f(x)=F
(x)
xe
x2 2
,
0,
x0 x0
(3) P( ln 4 X ln 9)
∵ a及 >0,有 {X=a}{a <X≤a}
0≤P(X=a)≤P(a <X≤a) =F(a)F(a )
又 lim[F(a) F(a )] 0 0
得 P(X=a)=0
故:
(1) P(A)=0 A是不可能事件
(2) 连续型随机变量X落在区间的概率 与区间是否包含端点无关
即: P(a<X≤b)=P(a≤X<b) =P(a<X<b) =P(a≤X≤b)
分布函数(x)的关系:
F
(
x)
(
x
)
F( x) 1
e dt x
(
t )2 2 2
2
令 u
F(x)
t
,得
x
1
2
e
u2 2
du
(
x
)
(3)
f (x)
1
(
x
)
(4) a<b, X～N( , 2) ,有:
P(a
X
b)
(
b
)
(
a
)
例7 设X～N(3,4),试求: (1) P(2<X≤5) (2) P(2<X<7) (3)若P(X>c)=P(X≤c),求c的值
dt
2
当 =0, =1时,称X服从标准正态分
布N(0,1)
其概率密度 (x)及分布函数(x)为:
(x)
1
x2
e 2,
x
2
( x) 1
x t2
e 2 dt
(( x) ( x))
2
N(0,1)的性质:
(1)对称性: (x)= (x)
(x)=1(x)
(x)
-x o x
(2)N( , 2)的分布函数F(x)与N(0,1)的
F( ln 9) F( ln 4)
(1 eln 3 ) (1 eln 2 )
1 2
1 3
1 6
二、常见连续型分布
1. 均匀分布
X的概率密度为:
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
0,
其它
称X服从区间[a,b]上的均匀分布
记为 X～U[a,b]
由上式求得X的分布函数:
0,
F
(
x
)
x b
a a
1 ex , x 0
F(x)
0,
x0
例5 某仪器装有三只独立工作的同型号
电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一
指数分布,概率密度为
f
(
x)
1 600
e
1 600
x
,
x0
0,
x0
试求: 在仪器使用的最初200小时内,至少
有一只电子元件损坏的概率
解:以Xi (i=1,2,3)表示第i只元件的寿命 则Xi的概率密度为
例1 设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=Ae－|x| , <x<+
试求: (1)常数A
(2) P(0<X<1) (3) X的分布函数
解: (1) f ( x)dx 1
Ae |x|dx 2A e xdx=2A=1
0
A
1 2
1
(2) P(0<X<1) 0 f ( x)dx
1 0
1 2
e x dx
1 2
(1
1 e
)
(3) F ( x) x f (t)dt x 1 e|t|dt
2
x≤0
F(x)
x
1 2
e t dt
1 2
ex
x>0 F ( x)
x 1 e|t|dt 2
0 1 etdt x 1 etdt
2
02
1 1 ex 2
综合得:
X的分布函数为:
一、连续型随机变量
定义: 设随机变量X的分布函数为F(x), 如果存在非负函数f(x), 使得对于任意 实数x,有
x
F( x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量,其中函数 f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密 度
可知,连续型随机变量的分布函数 F(x)是整个实轴上的连续函数
若概率密度f(x)在点x连续, 则 F (x)=f(x)
f
(
x)
1 600
e
1 600
x
,
x0
0,
x0
以Ai (i=1,2,3)表示事件“在最初200小 时内,第i只元件损坏”
则A1, A2, A3相互独立
且 P(Ai)=P(0≤Xi≤200) (i=1,2,3)
200
f ( x)dx
0
200 0
1 600
e
1 600
x
dx
1
e
1 3
所求概率为: P(A1∪A2∪A3)