二次函数y=ax2的图象及性质

左侧，y随着x的增大而
增大。
y x 当当当当xx==xx==--2112时时时时，，，，yyyy====4114
右当2侧a<，0时y随，着在x对的称增轴大的而
减小。
y x2
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是原点， y x2 对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）， 它的开口向上，并且向上无限伸展；
4. 点的位置及其坐标特征:
①.各象限内的点:
y
②.各坐标轴上的点:
Q(b,-b)
(-,+)
M(a,b)
Q(0,b) C(m,n)
(+,+)
P(a,0)
③.各象限角平分线上的点:N(a,-(b-),-)
o
x
(+,-)
PD(a(,-am) ,-n)
A(x,y)
④.对称于坐标轴的两点:
B(-x,y)
⑤.对称于原点的两点:
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
y x2
y x2
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
（0在，同0）一坐标系内，抛物（线0y，=x02）与抛物线
对开位称口置轴画y方=函-向x数2在的y同=位答称一a在一：，条置xy2=抛又抛与x坐有画轴-物关物yx标什函=2的线于线的向系么y数抛 原 ，-上轴位a上内关y物 点 另x方=置2，线 对 一系的a（有x称 条y抛？图2=除与。 可什x物象2如与顶只 利y么线=，果抛要 用点关y怎-物画 关在a外=系x线x于出样同2）2？的与yxy画一轴=在=a图抛如-才对x坐xx22象物轴与果称简既标y，或线的在关便=系向关y怎下于同-？轴a内下于xx样方一2轴原中画（坐对点的才除标简顶系便点内？外
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
对称这对轴对这对对这对条称对称与条称称条称抛，称轴抛抛，轴抛，y物轴。物轴物y。物轴y线。线轴就线线就关的就是关关是于交是它于于它y点它的轴y轴的y轴的 叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。 2、练习2
3、想一想
4、练习4
增减性 对称来画。
动画演示
极值
当x=0时，最小值为0。 当x=0时，最大值为0。
y x2
当当当当xxxx====--2112时时时时，，，，yyyy====----4114
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
y 2x2
y 2 x2 3
2、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧， y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
26.2.1
二次函数y=ax2的 图象和y性质
x
一. 平面直角坐标系: 1. 有关概念:
(a,b) P
第二象限
y(直线x=0) b
第一象限
2. 平面内点的坐标:
ao
x(y=0)
第三象限
3. 坐标平面内的点与有序
实数对是: 一一对应.
第四象限
坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对 有序实数(x,y)与它对应;任意一对有序实数 (x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.
3
3
y=-2x2( 3,6)
( 3,6)
x ... -2 -1.5 -1 wenku.baidu.com0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
函数图象画法
描点法
注意：列表时自变量 取值要y均匀 2和对称。
（2）抛物线
y


2 3
x
2在x轴的
下
方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的
增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当x 0时，y<0.
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 4 2(1)2，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3,6)与( 3,6)
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）， 它的开口向下，并且向下无限伸展。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最 小。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增 大；在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函 数y的值最大。
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2
3
...
-6
8 3
1.5
2 3
0
2 3
1.5
8 3
-6
...
y 1 x2 2
y 2x2
列表参考
y 2 x2
y x2
y 1 x2 2
y 2x2
y x2
y 2 x2 3
x
列表 描点
画出下列函数的图象。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
连线
(3) y 2 x2 3
y x2
y x2
y1 x
用用用用自自自用用用自用自自光光光自光自光光左左左光左光左左滑滑滑左滑左滑滑向向向滑向滑向向曲曲曲向曲向曲曲右右右曲右曲右右线线线右线右线线顺顺顺线顺线顺顺连连连顺连顺连连次次次连次连次次结结结次结次结结连连连结连结连连时时时连时连时时结结结时结时结结要要要结要结要要要要