用高斯消元法求解线性代数方程组

用高斯消元法求解线性代数方程组
12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
（X ＊是方程组的精确解）
1 高斯消去法
1。

1 基本思想及计算过程
高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解.
为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想.
⎪⎩⎪
⎨⎧=++II =++I =++III)
(323034)(5
253)(6
432321
321321x x x x x x x x x 把方程（I)乘(2
3-）后加到方程(II)上去,把方程（I)乘（2
4-)后加到方程（III ）上去，即可消去方程(II)、
（III)中的x 1，得同解方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-I I -=-I =++III)
(20
223)(445.0)(6
4323232321x x x x x x x
将方程(II)乘(
5
.03
）后加于方程（III ），得同解方程组： ⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-I I -=-I =++III)
(42)(445.0)(6432332321x x x x x x
由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8,x 1 = —13。

下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便,将b i 写成a i ， n +1,i = 1, 2，…,n .
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111
,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a
（1-1）
如果a 11 ¹ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得
)
1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x
其中)0(11
)0()1(1a
a a
ij
j
=
, j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)
0(,i = 1， 2， …, n ; j = 1， 2， …， n + 1)
从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)
1(1
,2)1(22)1(22)
1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x
（1-2）
其中n i a m a a
ij i ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211
)
1(1
1+==
n j a a m i i
由方程(1—1）到(1—2）的过程中，元素11a 起着重要的作用,特别地，把11a 称为主元素.
如果（1-2)中0)
1(22≠a ，则以)1(22a 为主元素，又可以把方程组（1-2）化为: ⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++++++)2(1
,)2(3)2(3)
3(1,3)2(33)2(33)2(1,2)2(23)2(232)
1(1,1)1(12)1(121 n n n nn n n n n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x （1-3）
针对(1—3） 继续消元，重复同样的手段，第k 步所要加工的方程组是：
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++=++++-+---+---+-----++)
1(1,)1()1()
1(1,)1()1()
1(1,1)1()1(11)
2(1
,2)2(23)2(232)
1(1,1)1(13)1(132)1(121 k n n n k nn k k nk k n k n k nn k k kk k n k n k kn k k k k n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x
设0)
1(≠-k kk a ，第k 步先使上述方程组中第k 个方程中x k 的系数化为1：
)
(1,)()(1,k n k n k kn k k k k k a x a x a x ++=++
然后再从其它（n — k ）个方程中消x k ，消元公式为:
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=⋅-=++==----n
k i n k j a a a a n k k j a a a k kj
k ik k ij k ij k kk
k kj
k kj ,11,,11,,1,)
()1()1()()
1()
1()( (1—4)
按照上述步骤进行n 次后，将原方程组加工成下列形式:
⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧==+=+++=+++++-+---++)(1,)
1(1,1)1(1)
2(1
,2)2(23)2(232)
1(1,1)1(13)1(132)1(121 n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x 回代公式为:
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-==∑+=++1
,,11
)
()
(1,)
(1
, n k x a a x a x n
k j j k kj
k n k k n n n
n （1-5）
综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组,再经回
代过程求解。

由于计算时不涉及x i , i = 1, 2, …, n ，所以在存贮时可将方程组AX = b ，写成增广矩阵(A, b)存贮。

下面，我们统计一下高斯消去法的工作量;在（1—4)第一个式子中，每执行一次需要)(k n n --次除法，
在（1-5）第二个式子中，每执行一次需要)()]1([k n k n -⨯--次除法。

因此在消元过程中,共需要
[]
)12)(1(6
1
)1()1()()1(1
21++=
+-=+-+-⨯+-∑∑==n n n k n k n k n k n n
k n
k
次乘作法.此外，回代过程共有
)1(2
)(1
-=
-∑=n n
k n n
k 次乘法.汇总在一起，高斯消去法的计算量为：
3
3)13(3232n n n n n n -+=-+ 次乘除法。

1.2 基于VC 的C 语言程序
#include 〈stdio.h>
＃define n 4 /＊n 为方程组系数矩阵的阶数*/ int Gauss(float a ［n ］［n ］,float b ［n ］） {
int i ，j ，k,flag=1; float t;
用高斯消元法求解线性代数方程组 for(i=0；i<n-1；i++)
{
if（a[i］[i］==0)
｛
flag=0；
break；
｝
else
｛
for(j=i+1;j〈n;j++） /*消元过程＊/
{
t=—a[j］[i]/a[i］［i]；
b［j]=b［j]+t＊b［i］;
for(k=i；k<n；k++)
a[j]［k］=a［j][k］+t*a[i］[k］;
｝
｝
}
return（flag)；
}
void zg_matric(float a[n][n］,float b[n］） /*输出增广矩阵＊/
{
int i，j；
for(i=0;i〈n;i++)
｛
for(j=0；j〈n;j++）
printf（"％10f”，a[i］［j］)；
printf("%10f",b［i］）;
printf（"\n"）;
}
printf（"\n"）;
}
void main（）
｛
static float a[n］[n］=｛{11，1,5,-4}，｛-2，8,2,3},｛3，-2，10，4}，{1,3，-2,17｝}; float b［n］={13,11，15,19｝;
float x［n］=｛0,0，0，0}；
int i,j，flag；
zg_matric（a,b)；
flag=Gauss(a，b）;
zg_matric(a,b）;
if（flag==0） /＊无解＊/
printf("Gauss method dose not run.")；
else /*回带过程开始*/
｛
x［n—1]=b[n—1］/a[n-1］[n—1];
for(i=n—2；i〉=0;i--）
｛
x［i]=b［i];
for（j=i+1;j〈n;j++）
x[i］=x[i]—a［i]［j]＊x［j]；
x［i]=x[i]/a[i］［i]；
}
for(i=0;i〈n；i++) /＊输出方程组的解*/
printf(”x％d=%11.7f\n”，i+1，x［i]）；
}
｝
1.3 运行结果图。