2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集R ，集合M ＝{x |﹣1＜x ≤3}，则∁R M ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜3} B ．{x |x ≤﹣1或x ＞3}
C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}
D ．{x |x ≤﹣1或x ≥3}
2．函数f （x ）=√4−x 2
x−1
的定义域为（ ）
A ．[﹣2，2]
B ．（﹣2，3）
C ．[﹣2，1）∪（1，2]
D ．（﹣2，1）∪（1，2）
3．已知函数f （x ）={f(x −1)，
x ＞−2
x 2+2x −3，x ≤−2，则f （f （1））＝（ ）
A ．5
B ．0
C ．﹣3
D ．﹣4
4．不等式﹣3x 2+7x ﹣2＜0的解集为（ ） A ．{x|13
＜x ＜2} B ．{x|x ＜13
或x ＞2} C ．{x|−12
＜x ＜−13
}
D ．{x |x ＞2}
5．已知函数是f （x ）定义在R 上的偶函数，则“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．给出下列命题：①若a ＜b ，c ＜0，则c a
≤c
b
；②若ac ﹣
3＞bc ﹣
3，则a ＞b ；③若a ＞b 且k ∈N +，则a k ＞
b k
；④若c ＞a ＞b ＞0，则a
c−a
＞
b c−b
．其中真命题的个数（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．﹣x 2﹣2x B ．﹣x 2+2x C ．x 2+2x
D ．以上都不对
8．已知函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1
，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取
值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣3）
B ．（﹣∞，﹣3）
C ．[﹣4，0）
D ．（﹣4，0）
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列各组函数是同一函数的有（ ）
A ．f(x)=x 3
x 与g （x ）＝x 2
B ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2
C ．f （x ）＝x 0与g （x ）＝1
D ．f(x)=√1+x ×√1−x 与g(x)=√1−x 2
10．下列说法中正确的有（ ）
A ．命题p ：∃x 0∈R ，x 02
+2x 0+2＜0，则命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0
B ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件
C ．命题“∀x ∈Z ，x 2＞0”的是真命题
D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件 11．下列选项中正确的是（ ） A ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2
x
+
1y
≥8
B ．当x ≥2时，不等式x +4
x+1的最小值为3
C ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立
D ．存在实数a ，使得不等式a +
1
a
≤2成立 12．已知函数f(x)=x
x+1，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠﹣1} B ．f （x ）的值域为R
C ．f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增
D ．f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(1
2)+f(13
)+⋯+f(1
2023)的值为40452
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，则 （∁R A ）∩B ＝ ．若A ⊆C ，则a 的取值范围是 ．
14．若不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ．
15．已知函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增，则m 的取值范围是 ． 16．已知函数f （x ）在R 上为奇函数，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （﹣3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}．
（1）当m ＝3时，求（∁R A ）∪B ； （2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．
18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}，B ＝{x |x 2﹣2x +1﹣m 2≤0，m ＞0}． （1）求集合A ，B ；
（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的 ______条件，判断实数m 是否存在？ 19．（12分）已知关于x 的不等式2ax 2+ax ＞2x +1（a ∈R ）． （1）若不等式的解集为{x|−12
＜x ＜−13
}，求a 的值； （2）解关于x 的不等式．
20．（12分）2023年，8月29日，华为Mate 60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x （千部）手机，需另投入成本R （x ）万元，且R(x)={
10x 2+100x ，0＜x ＜50701x +
10000
x
−9450，x ≥50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润w （x ）（万元）关于年产量x （千部）的表达式； （2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 21．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m
﹣1
在（0，+∞）上单调递增．
（1）求f （x ）的值域； （2）若∀x ＞0，
f(x)x 2
≥2−
a 2x
，求a 的取值范围．
22．（12分）已知函数f(x)=
ax−b
1+x 2
是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；
（2）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0）．
2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集R，集合M＝{x|﹣1＜x≤3}，则∁R M＝（）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x≤﹣1或x＞3}
C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|x≤﹣1或x≥3}
解：因为全集U＝R，集合M＝{x|﹣1＜x≤3}，所以∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞3}．
故选：B．
2．函数f（x）=√4−x2
x−1
的定义域为（）
A．[﹣2，2]B．（﹣2，3）
C．[﹣2，1）∪（1，2]D．（﹣2，1）∪（1，2）
解：要使函数有意义，须满足{4−x 2≥0
x−1≠0
，解得﹣2≤x≤2，且x≠1，故函数f（x）的定义域为[﹣2，1）∪（1，2]，
故选：C．
3．已知函数f（x）={f(x−1)，x＞−2
x2+2x−3，x≤−2
，则f（f（1））＝（）
A．5B．0C．﹣3D．﹣4
解：∵函数f（x）={f(x−1)，x＞−2 x2+2x−3，x≤−2
，
∴f（1）＝f（0）＝f（﹣1）＝f（﹣2）＝﹣3，∴f（f（1））＝f（﹣3）＝0．
故选：B．
4．不等式﹣3x2+7x﹣2＜0的解集为（）
A．{x|1
3＜x＜2}B．{x|x＜1
3
或x＞2}
C．{x|−1
2＜x＜−1
3
}D．{x|x＞2}
解：由﹣3x2+7x﹣2＜0，得3x2﹣7x+2＞0，即（3x﹣1）（x﹣2）＞0，
解得x＜1
3
或x＞2，所以该不等式的解集为{x|x＜
1
3
或x＞2}．
故选：B．
5．已知函数是f （x ）定义在R 上的偶函数，则“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：因为f （x ）是偶函数，所以f （﹣4）＝f （4）．
由f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数，则f （﹣2）＜f （﹣4），即f （﹣2）＜f （4）； 反之，对于函数f(x)={
x ，x ＞2
1
|x|，−2≤x ≤2，且x ≠0−x ，x ＜−2，
显然，f （x ）是偶函数，且f(−2)=1
2
＜f （4）＝4，但是f （x ）不是（﹣∞，0）上的减函数． 故“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的充分不必要条件． 故选：A ．
6．给出下列命题：①若a ＜b ，c ＜0，则c a ≤c
b
；②若ac ﹣
3＞bc ﹣
3，则a ＞b ；③若a ＞b 且k ∈N +，则a k ＞
b k ；④若
c ＞a ＞b ＞0，则a
c−a
＞
b c−b
．其中真命题的个数（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解：①中，因为a ＜b ，c ＜0，因为a ，b 的符号不定，所以1
a
，1b
的大小关系不定， 所以c
a
，c
b 的大小关系不定，所以①错；
②中，ac ﹣
3＞bc ﹣
3，若c ＜0，则a ＜b ，所以②错；
③中，若a ＞b 且k ∈N +，例如：a ＝﹣2，b ＝﹣3，k ＝2，此时a k ＜b k ，所以③错； ④中，若c ＞a ＞b ＞0，则0＜c ﹣a ＜c ﹣b ，1c−a
＞
1c−b
＞0，
又a ＞b ＞0，所以
a
c−a
＞
b c−b
，所以④正确．
所以只有1个命题正确． 故选：A ．
7．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．﹣x 2﹣2x B ．﹣x 2+2x C ．x 2+2x
D ．以上都不对
解：根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，
函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，
则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣[（﹣x ）2﹣2（﹣x ）]＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ．
8．已知函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1
(a +3)x −1，x ＜1
，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取
值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣3）
B ．（﹣∞，﹣3）
C ．[﹣4，0）
D ．（﹣4，0）
解：根据题意，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有
f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＜0，则f （x ）在R 上为减函数，
又由函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1
(a +3)x −1，x ＜1
，则有{ a ＜0
1a ≤1a +3＜0
a −2−a ≤a +3−1，解可得﹣4≤a ＜﹣3，即a 的取
值范围为[﹣4，﹣3）． 故选：A ．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列各组函数是同一函数的有（ ） A ．f(x)=
x 3
x
与g （x ）＝x 2 B ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2
C ．f （x ）＝x 0与g （x ）＝1
D ．f(x)=√1+x ×√1−x 与g(x)=√1−x 2
解：对于A ，f(x)=x 3
x
的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）＝x 2的定义域为R ，故错误；
对于B ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，g(x)=√x 2=|x|的定义域为R ，故正确； 对于C ，f （x ）＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）＝1的定义域为R ，故错误； 对于D ，f(x)=√1+x ×√1−x =√1−x 2定义域为[﹣1，1]， g(x)=√1−x 2定义域为[﹣1，1]，故正确． 故选：BD ．
10．下列说法中正确的有（ ）
A ．命题p ：∃x 0∈R ，x 02
+2x 0+2＜0，则命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0
B ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件
C ．命题“∀x ∈Z ，x 2＞0”的是真命题
D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件 解：对于A ，命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0，故A 正确；
对于B ，|x |＞|y |不能推出x ＞y ，例如|﹣2|＞|1|，但﹣2＜1；x ＞y 也不能推出|x |＞|y |，例如2＞﹣3，而|2|
所以“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的既不充分也不必要条件，故B 错误； 对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，故C 错误；
对于D ，关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根⇔{
4−4m ＞0
m ＜0
⇔⇔m ＜0，
所以“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件，故D 正确． 故选：AD ．
11．下列选项中正确的是（ ） A ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2
x +
1y
≥8
B ．当x ≥2时，不等式x +
4
x+1
的最小值为3
C ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立
D ．存在实数a ，使得不等式a +
1
a
≤2成立 解：对于A ，若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2
x
+
1y =(2x
+1y
)⋅(x +2y)=4+
4y x
+
x y
≥4+
2√
4y x
⋅
x y
=8，
当且仅当
4y x
=x
y
，即x =1
2
，y =14
时等号成立，故A 正确；
对于B ，x ≥2时，x +1≥3，则有x +4x+1=x +1+4x+1−1≥2√(x +1)⋅4x+1
−1=3， 当且仅当x +1=
4x+1时，即x ＝1时等号成立，所以不等式x +4x+1
的最小值不为3，故B 错误； 对于C ，不等式a +b ≥2√ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，比如取a ＝﹣1，b ＝﹣1时，不等式不成立，故C 错误；
对于D ，取a ＝﹣1，不等式显然成立，故D 正确． 故选：AD ．
12．已知函数f(x)=x
x+1，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠﹣1} B ．f （x ）的值域为R
C ．f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增
D ．f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(1
2)+f(1
3)+⋯+f(1
2023)的值为
40452
解：对于A ，由x +1≠0，得函数f(x)=x 的定义域为{x |x ≠﹣1}，A 正确；
对于B ，由f(x)=
x x+1=1−1x+1
，得f （x ）≠1，即f （x ）的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），B 错误； 对于C ，f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，C 正确；
对于D ，f(x)+f(1x )=x x+1+1
x 1x +1
=x x+1+1x+1=1，又f(1)=1
2
，
则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)=40452
，D 正确． 故选：ACD ．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，则 （∁R A ）∩B ＝ {2＜x ＜3或7≤x ＜10} ．若A ⊆C ，则a 的取值范围是 a ≥7 ．
解：∵A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }， ∴∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，
∴（∁R A ）∩B ＝{2＜x ＜3或7≤x ＜10}， ∵A ⊆C ，
∴a 的范围是a ≥7，
故答案为：{2＜x ＜3或7≤x ＜10}；a ≥7
14．若不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 （﹣16，0] ． 解：不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立， 当a ＝0时，﹣2＜0恒成立；
当a ≠0时，要使不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则{2a ＜0
Δ=a 2+16a ＜0
，解得﹣16＜a ＜0，
综上所述，实数a 的取值范围是（﹣16，0]． 故答案为：（﹣16，0]．
15．已知函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增，则m 的取值范围是 （﹣∞，﹣3] ．
解：函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增， 则有
−(m−1)
2
≥2，解得m ≤﹣3，
则m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]． 故答案为：（﹣∞，﹣3]．
16．已知函数f （x ）在R 上为奇函数，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （﹣3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为 （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） ．
解：因为函数f （x ）是R 上的奇函数，所以f （3）＝﹣f （﹣3）＝0， 又因为f （x ）在（0，+∞）上单调递增，
所以当0＜x ＜3时，f （x ）＜f （3）＝0，当x ＞3时，f （x ）＞f （3）＝0， 注意到函数f （x ）是R 上的奇函数，
所以当x ＜﹣3时，有﹣x ＞3，﹣f （x ）＝f （﹣x ）＞f （3）＝0，此时f （x ）＜0， 当﹣3＜x ＜0时，有0＜﹣x ＜3，﹣f （x ）＝f （﹣x ）＜f （3）＝0，此时f （x ）＞0， x ，f （x ），xf （x ）的符号随x 的变化情况如下表所示：
由上表可知不等式xf （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}． （1）当m ＝3时，求（∁R A ）∪B ； （2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．
解：（1）当m ＝3时，可得集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |4≤x ≤5}， ∴∁R A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥5}， ∴（∁R A ）∪B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥4}； （2）由A ∪B ＝A ，可得B ⊆A ，
①当B ＝∅时，可得m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2；
②当B ≠∅时，则满足{m +1≤2m −1m +1＞−22m −1＜5，解得2≤m ＜3，
综上实数m 的取值范围是（﹣∞，3）．
18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}，B ＝{x |x 2﹣2x +1﹣m 2≤0，m ＞0}． （1）求集合A ，B ；
（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的 ______条件，判断实数m 是否存在？
解：（1）由x 2﹣4x ﹣12≤0得﹣2≤x ≤6，故集合A ＝{x |﹣2≤x ≤6}， 由x 2﹣2x +1﹣m 2＝0得x 1＝1﹣m ，x 2＝1+m ， 因为m ＞0，故集合B ＝{x |1﹣m ≤x ≤1+m }； （2）
若选择条件①，即x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，集合A 是集合B 的真子集， 则有{1−m ≤−21+m ≥6，解得m ≥5，
所以，实数m 的取值范围是[5，+∞）．
若选择条件②，即x ∈A 是x ∈B 成立的必要不充分条件，集合B 是集合A 的真子集， 则有{1−m ≥−21+m ≤6，解得0＜m ≤3，
所以，实数m 的取值范围是（0，3]．
若选择条件③，即x ∈A 是x ∈B 成立的充要条件，则集合A 等于集合B ， 则有{1−m =−21+m =6，方程组无解，
所以，不存在满足条件的实数m
19．（12分）已知关于x 的不等式2ax 2+ax ＞2x +1（a ∈R ）． （1）若不等式的解集为{x|−12
＜x ＜−13
}，求a 的值； （2）解关于x 的不等式．
解：（1）不等式2ax 2+ax ＞2x +1可化为2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＞0， 由题意知−1
2
和−13
是方程2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＝0的两个根， 所以
−12a
=（−12）×（−1
3），解得a ＝﹣3．
（2）不等式2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＞0可化为（2x +1）（ax ﹣1）＞0． ①当a ＝0时，原不等式可化为2x +1＜0，解得x ＜−1
2．
②当a ＞0时，原不等式可化为(2x +1)(x −1a
)＞0，解得x ＞1a
或x ＜−12
． ③当a ＜0时，原不等式化为(2x +1)(x −1
a )＜0． 若1
a ＜−1
2
，则﹣2＜a ＜0，解得1
a
＜x ＜−12
，
当1a =−1
2
，即﹣2＝a ，解得无解，
当1a
＞−1
2
，即a ＜﹣2，解得−12＜x ＜1
a ，
综上，a ＝0时，不等式的解集为{x|x ＜−12
}；
a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞1a 或x ＜−12}；
﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x|1a ＜x ＜−12}；
a ＝﹣2时，不等式的解集为∅；
a ＜﹣2时，不等式的解集为{x|−12＜x ＜1a }．
20．（12分）2023年，8月29日，华为Mate 60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x （千部）手机，需另投入成本R （x ）万元，且R(x)={10x 2+100x ，0＜x ＜50
701x +10000x −9450，x ≥50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润w （x ）（万元）关于年产量x （千部）的表达式；
（2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
解：（1）当0＜x ＜50时，w （x ）＝700x ﹣（10x 2+100x ）﹣300＝﹣10x 2+600x ﹣300，
当x ≥50时，w(x)=700x −(701x +10000x −9450)−300=−(x +10000x
)+9150， ∴w(x)={−10x 2+600x −300，0＜x ＜50−(x +10000x )+9150，x ≥50
； （2）若0＜x ＜50，w （x ）＝﹣10（x ﹣30）2+8700，
当x ＝30时，w （x ）max ＝8700万元，
若x ≥50，w(x)=−(x +
10000x )+9150≤9150−2√x ⋅10000x =8950， 当且仅当x =10000x
时，即x ＝100时，w （x ）max ＝8950万元， 因为8950＞8700，
∴2020年年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元．
21．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m
﹣1在（0，+∞）上单调递增． （1）求f （x ）的值域；
（2）若∀x ＞0，f(x)
x 2≥2−a 2x ，求a 的取值范围．
解：（1）因为f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m ﹣1为幂函数，
所以（m ﹣1）2＝1，即m ＝0或m ＝2，
当m ＝0时，f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上单调递减，不符合题意，
当m ＝2时，f （x ）＝x 3在（0，+∞）上单调递增，符合题意，
故函数的值域为R ；
（2）若∀x ＞0，f(x)
x 2≥2−a 2x ，则x ≥2−a 2x ， 即a ≥4x ﹣2x 2在x ＞0时恒成立，故a ≥（4x ﹣2x 2）max ，
根据二次函数的性质可知，当x ＝1时，4x ﹣2x 2取得最大值2，故a ≥2，
所以a 的取值范围为{a |a ≥2}．
22．（12分）已知函数f(x)=ax−b 1+x 2
是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；
（2）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0）．
解：（1）函数f(x)=
ax−b 1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数， f （﹣x ）＝﹣f （x ）；
−ax−b 1+x 2=−ax−b 1+x 2，解得b ＝0， ∴f(x)=
ax 1+x 2，而f （1）＝﹣1，解得a ＝﹣2， ∴f(x)=−2x 1+x 2
，x ∈[﹣1，1]． （2）函数f(x)=
−2x 1+x 2在[﹣1，1]上为减函数； 证明如下：任意x 1，x 2∈[﹣1，1]且x 1＜x 2，则
f(x 1)−f(x 2)=−2x 11+x 12−−2x 21+x 22=−2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 2
2) 因为x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，又因为x 1，x 2∈[﹣1，1]，
所以1﹣x 1x 2＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，
即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x 1）＞f （x 2）在[﹣1，1]上为减函数．
（3）由题意，f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0），又f （0）＝0，所以f （t ﹣1）+f （t 2）＞0， 即解不等式f （t 2）＞﹣f （t ﹣1），所以f （t 2）＞f （1﹣t ），
所以{−1≤t 2≤1−1≤t −1≤1t 2＜1−t
，解得0≤t ＜√5−12，
所以该不等式的解集为[0，√5−12
）．。