【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选教材回扣保温特训6立体几何 苏教版

保温特训(六) 立体几何
基础回扣训练
1．(2012·某某二模)一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3.
2．在三棱锥O­ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
3．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．
4．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：
①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；
②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α则l∥β；
④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.
其中真命题是______________(写出所有真命题的序号)．
5．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；
②若α⊥β，则α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；
④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．
其中，所有真命题的序号是________．
6．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：
①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；
②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；
③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；
④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.
其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．
7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，α⊥β，则α⊥β；
③若a∥α，b∥α，则a∥b; ④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
上述命题中，所有真命题的序号是________．
8．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是________．
①若l⊥α，则l与α相交；
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
9．已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．
10．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确命题的序号是________．
11．(2012·某某中学练习)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝BC ＝1，A1B＝ 2.
(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；
(2)如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD.
12．如图，在三棱锥S­ABC中，平面EFGH分别与BC，CA，AS，SB交于点E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.
求证：(1)AB∥平面EFGH；
(2)GH∥EF；
(3)GH⊥平面SAC.
13．如图a，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB.
已知AB＝AD＝CE＝2，沿线EF把四边形CDFE折起如图b，使平面CDFE⊥平面ABEF.
(1)求证：AB⊥平面BCE；
(2)求三棱锥C­ADE体积．
14．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
考前名师叮嘱
1．要牢记线面平行与垂直和面面平行与垂直的定义、判定和性质定理以及线线、线面、面面平行与垂直之间的联系和转化．
2．不可混淆每种平行与垂直之间转换的条件．
3．线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理不能把条件错误地记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大．
4. 平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的
“不变量”与“不变性”．
5．立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，不能只“作”，“算”，而忽视了“证”这一重要环节．
参考答案
保温特训(六)
1．解析由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧高为5
cm ，高为4 cm ，所以所求容积为48 cm 3. 答案 48
2．解析 由题意OA ，OB ，OC ，两两垂直，可将其放置在以O 为一顶点的长方体中，设三边OA ，OB ，OC 分别为a ＞b ＞c ，从而易得S 1＝12a b 2＋c 2，S 2＝12b a 2＋c 2，S 3＝12
c a 2＋b 2，故S 21－S 22＝14(a 2b 2＋a 2c 2)－14(b 2a 2＋b 2c 2)＝14
c 2(a 2－b 2)，又a ＞b ， 所以S 21－S 22＞0，即S 1＞S 2.同理，用平方后作差法可得S 2＞S 3.∴S 3＜S 2＜S 1.
答案 S 3＜S 2＜S 1
3．解析 如图，分别过点A 、B 作EF 的垂线，垂足分别为G 、H ，连接DG 、CH ，容易求得EG ＝HF ＝1
2，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32
，
所以S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24
， 所以V ＝V E ­ADG ＋V F ­BHC ＋V AGD ­BHC ＝13×24×12＋13×24×12＋24×1＝23
. 答案 23
4．解析 ①：只有当l 与m 相交时，才可证明α∥β；③：l 可能在平面β内． 答案 ②④
5．解析 ③错误，α，β相交或平行；④错误，n 与m 可以垂直，不妨令n ＝α∩β，则
在β内存在m ⊥n .
答案 ①②
6．解析 ①正确，此时必有α∥β；②错误，因为此时两平面平行或相交均可；③错误，
当两直线a ，b 在两平面内分别与两平面的交线平行即可；④正确，由于α∥β，经过直线α的平面与平面β交于a ′，则a ∥a ′，即a ′∥α，又b ∥α，因为a ，b 为异面直线，故a ′，b 为相交直线，由面面平行的判定定理可知α∥β，综上可知①④是平面α∥平面β的充分条件．
答案 ①④
7．解析 若a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，即命题①不正确；若a ⊥α，a ⊥
β，则α∥β，即命题②不正确；若a ∥α，b ∥α，则a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，即命题③不正确；若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ，即命题④正确，综上可得真命题的
序号为④.
答案④
8．解析由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n 相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性．l∥n，故l ⊥α时，一定有n⊥α.
答案 3
9．解析画图可知
①m⊥β、③β⊥γ不一定成立．
答案②④
10．解析α∥β⇒直线l⊥平面β，由于直线m⊂平面β，∴l⊥m故①正确；由l∥m，直线l⊥平面α可推出直线m⊥平面α，而直线m⊂平面β，∴α⊥β故③正确．
答案①③
11．证明(1)在△A1AC中，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝1，∴A1C＝1，△A1BC中，BC＝1，A1C ＝1，A1B＝2，∴BC⊥A1C，又AA1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ACC1A1.
(2)连接AC1，交A1C于O，连接DO，则由D为AB中点，O为A1C中点得，OD∥BC1，OD⊂平
面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.
12．证明(1)因为SA⊥平面EFGH，GH⊂平面EFGH，
所以SA⊥GH.
又因为SA⊥AB，SA，AB，GH都在平面SAB内，
所以AB∥GH.
因为AB⊄平面EFGH，GH⊂平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.
(2)因为AB∥平面EFGH，AB⊂平面ABC，
平面ABC∩平面EFGH＝EF，
所以AB∥EF.
又因为AB∥GH，所以GH∥EF.
(3)因为SA⊥平面EFGH，SA⊂平面SAC，
所以平面EFGH⊥平面SAC，交线为FG.
因为GH ∥EF ，EF ⊥FG ，所以GH ⊥FG .
又因为GH ⊂平面EFGH ，
所以GH ⊥平面SAC .
13．(1)证明 在图a 中，EF ∥AB ，AB ⊥AD ，
∴EF ⊥AD ，在图b 中，CE ⊥EF ，又平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ， CE ⊥平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，∴CE ⊥AB ，又∵AB ⊥BE ，BE ∩CE ＝E ，∴AB ⊥平面BCE ；
(2)解 ∵平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ，AF ⊥FE ，AF ⊂平面ABEF ，
∴AF ⊥平面CDEF ，∴AF 为三棱锥A ­CDE 的高，且AF ＝1，又∵AB ＝CE ＝2，∴S △CDE ＝12
×2×2＝2，∴V C ­ADE ＝13·S △CDE ·AF ＝13×2×1＝23
. 14．(1)证明 因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
所以DE ⊥AC .
因为ABCD 是正方形，
所以AC ⊥BD ，因为DE ∩BD ＝D
从而AC ⊥平面BDE .
(2)解 当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，AM ∥平面BEF .
取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连接MN ，NF ，则DE ∥MN ，且DE ＝3MN ，
因为AF ∥DE ，且DE ＝3AF ，所以AF ∥MN ，且AF ＝MN ，
故四边形AMNF 是平行四边形．
所以AM ∥FN ，
因为AM ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，
所以AM ∥平面BEF .。