课件：第三章 导数与微分 总结

（C）sin2 x cos2 (1 x) （D）arctan x arc cot x.
5、
6、已知函数 f ( x)具有任意阶导数，且
f ( x) f ( x)2,则当n为大于 2 的正整数时，
f ( x)的 n 阶导数 f (n) ( x)是（ ）
（A）n![ f ( x)]n1；
（B） n[ f ( x)]n1；
点 x0 处可导, 且 A f ( x0 ).
7、微分的求法
dy f ( x)dx
求法 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
返回
基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d( x ) x1dx
d(tanx) sec2xdx d(cotx) csc2xdx
d(sinx) cos xdx d(secx) secxtanxdx
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arccotx)
1
1 x2
dx
返回
8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
(1) d(u v) du dv, (3) d(uv) vdu udv,
微分形式的不变性
(2) d(cu) cdu,
(4)
d( u) v
vdu udv v2
.
无论 x 是自变量还是中间变量, y f ( x)的 微分形式总是 dy f ( x)dx .
y(n), dn y dx n
或
dn f (x dx n
)
.
5、微分的定义
若函数 y f ( x) 的增量具有表达式 y Ax o(x) ,
则 y f ( x) 可微,相应的微分为 dy Adx.
微分 dy 叫做函数增量y 的线性主部.
(微分的实质)
返回
6、导数与微分的关系 定理 函数 f ( x)在点 x0 可微 f ( x)在
x x0
x
x x0
x x0
2.若函数 y f ( x) 在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 0 ，则 曲线
y f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ))处的法线（ ）
（A）与 x 轴相平行；（B）与
x 轴垂直；
（C）与 y 轴相垂直；（D）与
x 轴即不平行也不垂直：
3、若函数 f ( x)在点 x0不连续，则 f ( x)在 x0 ( ) （A）必不可导； （B）必定可导； （C）不一定可导； （D）必无定义. 4、如果 f ( x)=（ ），那么 f ( x) 0. (A) arcsin2x arccos x； （B）sec2 x tan2 x ；
返回
f ( x) 1 .
( x)
(3) 复合函数的求导法则 设 y f (u),u ( x),则 y f [ ( x)] 的导数为
dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数, 再利用隐函数的求导 方法求导.
适用于: 多个函数相乘和幂函数的情形.
x(t) 0 ,又 x x(t )
8、若函数 f ( x)为可微函数，则dy（ ） （A）与 x 无关； （B）为 x 的线性函数； （C）当x 0时为x的高阶无穷小； （D）与 x 为等价无穷小.
x)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
右导数:
f(
x)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
f ( x)在x0处可导 f( x0 )存在且相等.
返回
2、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式）
(C) 0 (sinx) cosx (tanx) sec2x
d(cos x) sin xdx d(cscx) cscxcotxdx
返回
d(ax ) ax ln adx d(e x ) e xdx
d(arcsinx) 1 dx 1 x2
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d(loga
x)
1 dx x lna
d(arctanx)
1
1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(arccotx)
1
1 x2
返回
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(1) (u v) u v, (2) (cu) cu,
(3) (uv) uv uv,
(4)
( u) v
uv uv v2 .
(2) 反函数的求导法则
若函数 x ( y) 的反函数为 y f ( x), 则
第三章 导数与微分
导数
定义
左导数 f( x0 ), 右导数 导数存在的充要条件
f( x0 )
几何意义
切线斜率 k f ( x0 )
可导性与连续性的关系 可导 连续
微分
求微分dy x x0 f ( x0 可导与微分的关系
)dx 可
导
可
微
一阶微分形式不变性
dy
f (u)du
(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 ( f ( x)) lim f ( x x) f ( x) ,
x0
x
记作
f ( x), y,
d2 y dx 2
或
d
2 f(x dx 2
)
.
一般地, f ( x) 的 n 1 阶导数的导数称为
f ( x)的 n 阶导数,记作
返回
f (n) ( x),
（C） [ f ( x)]2n；
（D）n![ f ( x)]2n.
7、若函数 x x(t ) , y y(t ) 对 t 可导且
的反函数存在且可导，则
（A） y(t ) ； x(t)
（B）
dy
=（ ）
dx y(t) ；
x (t )
（C） y(t ) ； x (t )
（D）
y(t) . x (t )
按定义求导
基本公式
四则运算法则
求导数方法
复合函数求导 反函数求导
隐函数, 参数方程求导
对数求导法ຫໍສະໝຸດ 高阶导数 莱布尼兹公式
1、导数的定义
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
左导数:
f(
返回
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导, 得到含有导数的线性方程, 再解出导数.
(6) 参变量函数的求导法则
若
方
程
x y
dy
(t) (t)
确定
y
与
x
间的函
d dy
数
关
系,
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t)
dx
d2 y dx2
dt dx
返回 dt
dt
4、高阶导数
返回
一、 选择题：
测验题
1、函数 f ( x)在点 x0的导数 f ( x0 )定义为（ ）
（A） f ( x0 x) f ( x0 )；（B） lim f ( x0 x) f ( x0 )；
x
x x0
x
（C） lim f ( x) f ( x0 )； （D） lim f ( x) f ( x0 ) ；
( x ) x1
(cosx) sinx (cotx) csc2x
(secx) secx tanx (cscx) cscx cotx
返回
(ax ) ax ln a
(loga
x)
1 x lna
(arcsinx) 1 1 x2
(arctanx)
1
1 x2
(ex ) ex
(lnx) 1 x