八年级数学沪科版上册【能力培优】专题训练：15.4角的平分线(含答案)

15.4角的均分线
专题一角均分线知识的应用
1. 如图， BD 是∠ A.BC 的角均分线， DE⊥ A.B 于点 E， DF ⊥ BC 于点 F ，S△
A.BC=36cm2，?A.B=18cm， BC=12cm，求 DE 的长．
2.已知：如图，在△ A.BC 中，∠ A.BC ＝3∠ C，∠ 1＝∠ 2， BE⊥ A.E.
求证： A.C－ A.B＝ 2BE.A
1 2
4
M
3
5E
B C
专题二作图与实质问题
3.如图，点 B、 C 在∠ SA.T 的两边上，且 A.B=A.C.
（1）请按以下语句用尺规画出图形（不写画法，保存作图印迹）
①A.N⊥ BC，垂足为 N；
②∠ SBC 的均分线交 A.N 延伸线于M；
③连结 CM .
（2）该图中有 __________对全等三角形 .
S
B
A T
C
4. 夏令营组织学员到某一景区游乐，老师交给同Y轴
5
学一张画有直角坐标系和标有 A.、 B、C、D 四个景点
4
D
地点的地图，指出：今日我们游乐的景点 E 是新开发
B
的，地图上还没来得及标明，但已知这个景点 E 知足：3
A
2
①与景点 A.、C 和景点 B、D 所在的两条直线等距离；
②到 B、C 两景点等距离 . 请你在平面直角坐标系中，
1C
X轴
5
画出景点 E 的地点，并注明坐标（用整数表示）.
专题三角均分线中的研究题
5. 已知：点O 到△ A.BC 的两边 A.B 、A.C 所在直线的距离相等，且OB＝OC.
（ 1）如图 1，若点 O 在 BC 上，求证： A.B＝ A.C；
A A
O
B
O C B C
图1图2
（2）如图 2，若点 O 在△ A.BC 的内部，求证： A.B＝ A.C；
（3）若点 O 在△ A.BC 的外面， A.B＝ A.C 建立吗？请绘图表示。

6. 如图，△ A.BC 中，∠ A.BC 与∠ A.CB 的均分线交于点I，过 I 作 DE∥ BC 交 BA.?于 D ，交A.C于E．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明．
（2）若 A.B=7， A.C=5，你能求△ A.DE 的周长吗？
（ 3）作∠ A.BC 与∠ A.CB 的外角均分线，他们订交于点 O，过 O 点作 BC?的平行线分别交A.B、 A.C 的延伸线于 F、 G，你还可以发现什么结论？
【知识重点】
1. 角均分线上随意一点到角的两边的距离相等.
2.在一个角的内部 , 到角的两边距离相等的点在这个角的均分线上.
【温馨提示】
1. 角均分线性质定理中的“角均分线上的点”是指角的均分线上的随意一点.
2. 角均分线性质和判断定理中的“距离”是指点到直线的距离, 它是过角的均分线上任
意一点向角的两边作垂线 , 该点与垂足间的距离 , 是指点到直线的垂线段的长 , 而不是该点与角的两
边上随意一点的距离 .
【方法技巧】
1.利用角均分线的性质可证明两条线段相等,利用角均分线的判断可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.
2. 碰到证明相关角均分线的问题时, 可作角的两边的垂线 , 证明垂线段相等 .
参照答案
1. 解: ∵ BD 是∠ A.BC 的角均分线， DE ⊥A.B ， DF ⊥ A.B ，∴ DE=DF ．
∵ S △ A.BC =36cm 2
， S △ A.BD = 1
BC · DF ．
2
又∵ S △ A.BC = S △ A.BD +S △BCD ， A.B=18cm ， BC=12cm ，∴ 1 × 18DE + 1
× 12DF =36，
2
2
∴ 9DE +6DF =36．
又∵ DE=DF ，∴ 9DE +6DE =36，∴ DE=
12
cm ．
5
2. 证明：延伸 BE 交 A.C 于点 M ，
∵ BE ⊥ A.E ，∴∠ A.EB ＝∠ A.EM ＝90° .
在△ A.BE 中，∵∠ 1＋∠ 3＋∠ A.EB ＝180°，∴∠ 3＝90°－∠1 .
同理，∠ 4＝90°－∠2 .
S
∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ 3＝∠ 4，∴ A.B ＝ A.M .
∵ BE ⊥ A.E ，∴ BM ＝ 2BE ，∴ A.C － A.B ＝ A.C －A.M ＝
B
CM .
N
M
∵∠4 是△ BCM 的外角，∴∠ 4＝∠ 5＋∠C .
T
∵∠ A.BC ＝3∠C ，∴∠ A.BC ＝∠ 3＋∠ 5＝∠ 4＋∠ 5，
A
C
∴3∠ C ＝∠ 4＋∠ 5＝2∠5＋∠ C.
∴∠ 5＝∠ C ，∴ CM ＝BM. ∴ A.C － A.B ＝ BM ＝ 2BE.
3. （1）如图 ; （ 2）3.
4. 如图 , 坐标为 (2,2).
5. （ 1）过点 O 分别作 OE ⊥ A.B ，OF ⊥A.C ，E 、F 分
别是垂足，由题意知，
OE ＝ OF ， OB ＝OC ，
∴ Rt △OEB ≌ Rt △ OFC , ∴∠ B ＝∠ C ，进而 A.B ＝ A.C.
（ 2）过点 O 分别作 OF ⊥A.B ，OE ⊥ A.C ，F 、 E 分别
是垂足，由题意知， OE ＝ OF .
在 Rt △OFB 和 Rt △ OEC 中，∵ OF ＝
OE ，OB ＝ OC ，∴ Rt △ OFB ≌ Rt △ OEC.
∴∠ OBF ＝∠ OCE ，又由 OB ＝OC 知∠
OBC ＝∠ OCB ，
∴∠ A.BC ＝∠ A.CD ，∴ A.B ＝ A.C.
（ 3）不必定建立。

（注：当∠ A.的均分线所在直线与边 BC
的垂直均分线重合时，有 建立
不建立
A.B ＝ A.C ；不然，
A.B ≠ A.C ，如示例图） .
6. （ 1）① BD =DI ，CE=EI ；② DE =BD +CE ；③△ A.DE 的周长 =A.B+A.C ． 证明：因 BI 均分∠ DBC ， ∴∠ DBI =∠ CBI ，
又 ∵DE ∥BC ， ∴∠ CBI =∠DIB ， ∴∠ DIB =∠ DBI ，故 BD =DI ， 同理 CE =EI ，即①得证．由①不难推出②、③．
（ 2）由（ 1）知△ A.DE 周长 =A.B+A.C=7+5=12．
（3）OF =FB；OG=GC； BF+CG=FG ．。