2024-2025学年高一数学必修第一册(人教B版)函数的奇偶性(综合)-课件

例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
y
分析 只需要证明图像上所有的点关于直线的
对称点还在图像上即可.
O
x ＝ －2
x
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
证明 在 的图像上任取点 0, 0 , 设 P 关于 = −2对
图所示, 若 f (2) = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
5
－5
－2
O
2
x
例 1′ 已知函数()是定义在 −5,5 上的奇函数, 它在 −5,0 上是增函数,
−2,0 ⋃ 2,5
若 2 = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
称的点为 1, 1 .
由
0+1
= −2,得
2
1
1 = 0
= −4 − 0, 即 −4 − 0, 0 .
Q(－4 －x0 ,y0 )
P(x0 ,y0 )
∵ −4 − 0 = −4 − 0 2 + 4 −4 − 0 + 6 = 20 + 40 + 6,
而0 = 0 =
分析 先将不等式变形成 1 > 2 的形式, 再利用函数 的单调性
去掉 “f ”, 得到1和2的大小关系, 即关于 m的不等式.
例 4 设函数 定义域为 −2,2 , 且在区间 0,2 上为减函数.
(1) 若 为奇函数, 且 + − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______;
y
∵ 为奇函数,
∴ = − − = − 2 − 2 − 1 = −2 + 2 + 1.
O
∵ 0 = −(−0), ∴ (0) = 0.
综上所述, =
2 + 2 − 1,
0,
−2 + 2 + 1
1
>0
= 0 .
< 0
－1
x
例 6 已知 = 5 + 3 + − 8.
反之也成立.
Q(2h －x , f (x))
P(x, f (x))
x
特别地, 若ℎ = 0, 则结论为:
x＝h
∀ ∈ , − ∈ 且 − = ⇔ 图像的对称轴为 y 轴.
此时 为偶函数.
设函数 的定义域为 D, 则:
∀ ∈, 有2 − ∈且 2 − = 2 −
y
分析 ∵ 是奇函数, ∴ −2 = − 2 = 0.
又∵ 在 −5,0 上是增函数,
∴∀ ∈ −5, −2 , < −2 = 0;
∀ ∈ −2,0 , > −2 = 0 .
5
－5
－2
2
x
例 2 已知函数 是奇函数, 且在 −, − 上是增函数,
2. 发现或构造奇/偶函数, 用来解决函数, 方程,#43; 6,
∴0 = 0 = −4 − 0 , 即在函数 的图像上.
∴ 的图像关于直线 = −2对称.
O
x ＝ －2
x
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
证明 在 的图像上任取点 0, 0 , 设 P 关于 = −2对
y
称的点为 1, 1 .
由
0+1
= −2,得
2
1
1 = 0
= −4 − 0, 即 −4 − 0, 0 .
Q(－4 －x0 ,y0 )
P(x0 ,y0 )
∵ −4 − 0 = −4 − 0 2 + 4 −4 − 0 + 6 = 20 + 40 + 6,
而0 = 0 =
又∵ 是奇函数, ∴− 2 < − 1 , 即 1 < 2 ,
∴ 在 , 上是增函数.
同理, 若奇函数 在 −, − 上是减函数, 则其在 , 上也是减函数.
即: 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致.
例 3 判断下列说法的正误:
(1) 若奇函数 在 −, 0 上为增函数, 则 在 −, 上为增函数; X
y
称的点为 1, 1 .
由
0+1
= −2,得
2
1
1 = 0
= −4 − 0, 即 −4 − 0, 0 .
P(x0 ,y0 )
Q
O
x ＝ －2
x
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
证明 在 的图像上任取点 0, 0 , 设 P 关于 = −2对
本题小结
奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致;
偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.
例 4 设函数 定义域为 −2,2 , 且在区间 0,2 上为减函数.
(1) 若 为奇函数, 且 + − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______;
(2) 若 为偶函数, 且 − − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______.
O
∴() = (−) = − 2 − 3(−) − 1 = 2 + 3 − 1,
∴ =
2 + 3 − 1,
2 − 3 − 1
>0
.
≤ 0
－1
x
例 5 (2) 奇函数 的定义域为, 当 > 0时 () = 2 + 2 − 1, 求().
解 (2)当 < 0时, − > 0, ∴ − = − 2 + 2 − − 1 = 2 − 2 − 1.
20
+ 40 + 6,
∴0 = 0 = −4 − 0 , 即在函数 的图像上.
∴ 的图像关于直线 = −2对称.
O
x ＝ －2
x
设函数 的定义域为 D, 如果∀ ∈ , 有2ℎ − ∈且
2ℎ − = , 那么 的图像关于直线 = ℎ对称.
2
< − 1
O
x
例 5 (1) 已知偶函数 的定义域为, 当 ≤ 0时() = 2 − 3 − 1, 求
()的解析式;
(2) 已知奇函数 的定义域为, 当 > 0时 () = 2 + 2 − 1, 求()的
y
解析式.
解 (1)当 x > 0 时, − < 0,
分析 = + 8为奇函数.
(2)设在 −3, −1 上,
∴在 −3, −1 上,
max
max
= 0 = 11,
－3
= 0 = 11 + 8 = 19.
－1
O1
x0
又∵ 为奇函数, 其图像关于原点对称,
∴在 1,3 上,
min
又∵ = − 8,
(1) −2 = − 2 ,
∴ 2 = −26.
即: −2 + 8 = − 2 + 8 ,
例 6 (2)若当 ∈ −3, −1 时, 有最大值 11, 则当 ∈ 1,3 时, 有最
y
小
−27
______值(填
“大”、“小”), 为______.
19
g(x) = f (x) + 8
分析 + − 1 > 0 ⇔ > − − 1 ,
⇔ > 1−
①,
又∵ 在 0,2 上为减函数, ∴ 在 −2,2 上为减函数.
∴① ⇔ < 1 − .
X
例 4 设函数 定义域为 −2,2 , 且在区间 0,2 上为减函数.
1
−1,
(1) 若 为奇函数, 且 + − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______;
∵1 < 2, ∴1 = 0和2 = 0不能同时取到,∴ 1 < 2 .
综上, 总有 1 < 2 , 即 在 −, 上为增函数.
(3) 若偶函数 在 −, − 上为增函数, 则 在 , 上为减函数.√
y
－n －m O m n
x
注 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.
⇔ 函数 的图像关于点 , 对称.
Q(2a －x ,2b －f (x))
(a,b)
P(x, f (x))
特别地, 若 = = 0, 则结论为:
∀ ∈ , − ∈且 − = − ⇔ 图像的关于原点中心对称.
此时函数 为奇函数.
课堂小结
一. 知识:
1. 利用奇偶性研究函数的图像和性质: 单调性, 解析式, 函数值, 等等;
1
−1,
2
(2) 若 为偶函数, 且 − − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______.
分析 − − 1 > 0 ⇔ > − 1
①
y
∵ 为偶函数, 且在 0,2 上为减函数,
∴ 在 −2,0 上为增函数.
∴①⇔
−2 ≤ ≤ 2,
1
−2 ≤ − 1 ≤ 2, ⇔ ∈ −1,
= −1,
则原方程组即 = 1 ,
∴ () = −().
易知, 是定义在上的奇函数,
∴ () = (−).
又易知 为增函数, ∴ = −,
∴ + = 0.
小结 通过发现, 或构造奇偶函数, 利用其性质, 可以得到函数在关于原
点对称的区间上性质、图像 的关系, 方便问题解决.
2
分析 + − 1 > 0 ⇔ > − − 1 ,
⇔ > 1−
①,
又∵ 在 0,2 上为减函数, ∴ 在 −2,2 上为减函数.
∴①⇔
−2 ≤ ≤ 2,
1
−2 ≤ 1 − ≤ 2, ⇔ ∈ −1,
2
< 1−
例 4 设函数 定义域为 −2,2 , 且在区间 0,2 上为减函数.
求证: 在 , 上也是增函数.
分析 利用单调性的定义证明.
证明 ∵ 是奇函数且在 −, − 上有定义, ∴ 在 , 上有定义.
∀1, 2 ∈ , , 设1 < 2, 则 −2 < −1, 且 − 1, −2 ∈ −, − ,
由 在 −, − 上是增函数知 −2 < −1 .
−26
(1)若(−2) = 10, 则(2) =_________;
(2)若当 ∈ −3, −1 时, 有最大值 11, 则当 ∈ 1,3 时, 有最______
值(填 “大”、“小”), 为______.
分析 观察 解析式的形式,易知, = + 8为奇函数.
由例 2 知: 在 0, 上为增函数.
1°若1, 2 ∈ −, 0 或1, 2 ∈ 0, , 则 1 < 2 ;
2°若1 ∈ −, 0 , 2 ∈ 0, ,
∵ 在 −, 0 上单调增,∴ 1 ≤ 0 ;
∵ 在 0, 上单调增, ∴ 0 ≤ 2 , 分别当且仅当1 = 0和2 = 0时取 “=”.
= −0 = − 0 = −19.
∴
min
= −19 − 8 = −27.
－19
－x0
3
x
例 7 设 a、b 为实数, 且满足
2019 + 2020 = −1
0
, 则 + =______.
2019 + 2020 = 1
分析 两个方程左边的结构完全一样. 构造函数 = 2019 + 2020.
函数的奇偶性（3）
高一年级 数学
“形”: 奇偶性描述了函数图像具有的对称性;
“数”: 奇偶性描述了 − 与± 的相互转化关系.
奇、偶函数
在一个区间上的性质和图像 → 在关于原点对称区间上的性质和图像.
例 1 已知函数()是定义在 −5,5 上的奇函数, 它在原点左侧的图像如
−2,0 ⋃ 2,5
(2) 若奇函数 在 −, 0 上为增函数, 则 在 −, 上为增函数;
(3) 若偶函数 在 −, − 上为增函数, 则 在 , 上为减函数.
分析 (1)
(2) 若奇函数 在 −, 0 上为增函数, 则 在 −, 上为增函数; √
分析 ∀1, 2 ∈ −, , 设1 < 2.