广东省深圳高级中学高一数学下学期期中试题

高级中学2011—2012学年第二学期期中测试
高一数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-21题，共110+15分．全卷共计150+15分．考试时间为120分钟．
注意事项：
1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试室号、座位号，填写在
答题卡上，用2B 铅笔涂写在答题卡相应位置上．
2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求做大的答案无效．
4、 考生必须保持答题卡得整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（本卷共40分）
一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. sin 600︒的值是 （ ）
A ．
2 B ．12- C ．12 D ．2
-
2. 若(3,2), (5,1)OM ON =-=--，则
1
2
MN 等于 （ ） A ．(8,1) B ．(8,1)- C ．1(8,)2- D ．1
(4,)2
-
3. 函数2sin()3
y x π
=+
的一条对称轴为 （ ）
A ．2
x π
=-
B ．0x =
C ．6
x π
=
D ．6
x π
=-
4. 已知3cos 25
θ=
，则44
sin cos θθ-的值为 （ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45
-
5. 若||4, ||6m n ==，m 与n 的夹角为135︒，则m n ⋅等于 （ ）
A ．12
B ．
C ．-
D ．12-
6. 圆22420x y x y +-+=的圆心和半径分别是 （ ）
A ．(2, 1),-．(2, 1), 5-
C ．(2, 1),-．(2, 1), 5-
7. 直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为 （ ）
A ．相切
B ．相交但直线不过圆心
C ．直线过圆心
D ．相离
8. 在ABC ∆中， 2, 2
AB BC A π
==∠=
，且||||BA t BC AC -⋅…，则实数t 的取
值范围是 （ ） A ．[1, )+∞ B ．1
[, 1]2 C ．1(, ][1, )2
-∞+∞ D ．(, 0][1, )-∞+∞
第Ⅱ卷（本卷共计110+15分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 函数2
sin y x =的最小正周期为 ． 10. 设1
cos 13
y x =
-的最大值和最小值分别为, u v ，则u v += ． 11. 若(1,3), (,1)a b x =-=-，且//a b ，则x 的值为 ．
12. tan70tan50tan50︒+︒︒的值为 ．
13. 以点(2,1)-为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程为 ． 14. 设0ω>，函数sin()23y x π
ω=+
+的图像向右平移4
3
π个单位后与原图像重合，则ω的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 15. （本小题12分）已知tan 2α=，求下列各式的值：
（1）4sin 2cos 5sin 3cos αααα
-+； （2）22
3sin 3sin cos 2cos αααα+-．
16. （本小题满分12分）已知(1,2), (3,2)a b ==-．
（1）求|2|a b -的值；
（2）若2ka b +与24a b -垂直，求实数k 的值．
17. （本小题满分14分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外
切．
（1）求圆O 的方程；
（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．
18. （本小题满分14分）已知sin(
)y A x B ωϕ=++的一部分图像如图所示，如果0,0,||2
A π
ωϕ>><
．
（1）求()f x 的解析式； （2）若[0, ]2
x π
∈，求()f x 的最值．
19. （本小题满分14分）已知312sin(2), sin , (, ),(, 0)51322
ππ
αββαπβ-=
=-∈∈-，求sin α的值．
20. （本小题满分14分）如图在ABC ∆中，11
, 42
OC OA OD OB =
=，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==． （1）用, a b 表示OM ；
（2） 已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设O E p O A =，OF qOB =，则
13
p q
+是否为定值，如果是定值，这个定值是什么？ 附加题
21. （本题满分15分） 已知圆C 过点(1, 1)P ，且与圆222
:(2)(2)(0)
M x y r r +++=>
关于直线20x y ++=对称． （1）求圆C 的方程；
（2）设Q 为圆C 上一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；
（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于, A B ，且直线PA 和PB 直线的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．
高级中学2011—20012学年第二学期期中测试
高一数学答题卷
一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．______________ 10．______________ 11．______________
12．______________ 13．______________ 14．______________
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分）
16．（本小题12分）
17．（本小题14分）
18．（本小题14分）19．（本小题14分）
20．（本小题14分）
附加题：
21．（本小题15分）
高级中学2011—2012学年第二学期期中测试
高一数学参考答案
一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
第Ⅱ卷（本卷共计110分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．π 10. 2- 11.
13 12．2225(2)(1)2x y -++= 14. 3
2
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 15.（本小题12分）已知tan 2α=，求下列各式的值：
（1）
4sin 2cos 5sin 3cos αααα
-+； （2）22
3sin 3sin cos 2cos αααα+-．
解：（1）4tan 24226
==5tan 352313
αα-⨯-=
+⨯+原式；………………………………6分 （2）2222223sin 3sin cos 2cos 3tan 3tan 216
=
=sin cos tan 15
ααααααααα+-+-=++原式．………12分 16.（本小题满分12分）已知(1,2), (3,2)a b ==-．
（1）求|2|a b -的值；（2）若2ka b +与24a b -垂直，求实数k 的值．
解：（1）2
2
|2|=4420a b a a b b --⋅+=
-=6分
（2）由题意得(2)(24)0ka b a b +⋅-=，即2
2
2(44)80ka k a b b +-⋅-=，
50
10448130, 3
k k k +--⨯==
． ………………………………………………………12分 17. （本小题满分14分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．
（1）求圆O 的方程；（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．
解：（1）设圆O 方程为222x y r +=．圆22:(3)(4)4C x y ++-=，||2r OC =-
23==，所以圆O 方程为229x y +=．…………………………7分
（2）O 到直线a 的距离为
d =
=10分
故弦长l ==
14分
18.（本小题满分14分）已知sin()y A x B ωϕ=++的一部分图像如图所示，如果0,0,||2
A π
ωϕ>><
．
（1）求()f x 的解析式； （2）若[0,
]2
x π
∈，求()f x 的最值．
解：（1）由图可知函数图像过2(, 1.5),(
, 0.5)6
3
π
π
-， 则 1.5(0.5)
12
A --=
=，………………………………………………………………2分
1.510.5B =-=，……………………………………………………………………4分
22T==2()=36
ππππω-，2ω=，…………………………………………………6分
把(
, 1.5)6
π
代入解析式得sin(2)0.5 1.56
π
ϕ⨯
++=，解得6
π
ϕ=
．
所以，1
()sin(2)62
f x x π
=++．………………………………………………………7分 （2）70, 22666x x ππππ+剟剟，……………………………………………………10分
113 sin(2)1 0sin(2)26622
x x ππ∴-+++，剆剟s ?
所以，min ()0f x =，max 3
()2
f x =．………………………………………………14分
19.（本小题满分14分）已知312sin(2), sin , (, ),(, 0)51322
ππ
αββαπβ-==-∈∈-，
求sin α的值．
解：
, 22, 0<,2
2
π
π
αππαπβ<<<<-<
5<22π
παβ∴-<
． 由3sin(2)05αβ-=>，得52<22π
παβ-<，
4
cos(2)5
αβ∴-=．……………………………………………………3分
又<02
π
β-
<，
由12sin 13β=-
得5cos 13
β=．………………………………………………………6分 cos 2[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 4531256
=()951351365
cos ααββαββαββ
∴=-+=---⨯-⨯-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分
由2
cos 212sin αα=-，得2
9
sin 130
α=
，………………………………………12分
又2π
απ<<
，所以sin 130
α=．………………………………………………14分 20.（本小题满分14分）如图在ABC ∆中，11, 42
OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==．
（1）用, a b 表示OM ； （2） 已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取
一点F ，使EF 过点M ．设O E p O A =，OF qOB =，则13p q
+是否为定值，如果是定值，这个定值是什么？ 解：（1）设OM ma nb =+，则(1)AM OM OA ma nb a m a nb
=-=+-=-+， 1122
AD OD OA OB OA a b =-=-=-+． ∵A M D 、、三点共线，
∴AM 与AD 共线，故存在实数t ，使得 AM t AD =，即1(1
)()2m a n b t a b -+=-+，
(1)2t m a nb ta b -+=-+， ∴1,.2
m t t n -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t 得12m n -=-，即21m n +=． ①…………………3分 ∵ 11()44CM OM OC ma nb a m a nb =-=+-
=-+，14CB OB OC b a =-=-， 又C M 、、B 三点共线
∴CM 与CB 共线，同理可得 41m n +=． ②…………………………………6分 联立①②，解得13, 77m n =
=． 故1377
OM a b =+．………………………………………………7分 （2）137p q
+=． ∵1313()7777EM OM OE a b pOA p a b =-=
+-=-+， EF OF OE qOB pOA pa qb =-=-=-+，
又EM 与EF 共线，故存在实数k ，使得EM kEF =，即13()()77
p a b k pa qb kpa kqb -+=-+=-+. 1737
p pk kq ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，消去k 得1377p p q -=-⋅，整理得137p q +=．………………14分 附加题
21.（本题满分15分） 已知圆C 过点(1, 1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称．
（1）求圆C 的方程；
（2）设Q 为圆C 上一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；
（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和PB 直线的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．。