北师大版平面向量的坐标运算-精品文档
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y
B(x2,y2)
B1
1
A(x1,y1) A1
.
.
1
x
说明：
(1)任一平面向量都有唯一的坐标. (2)当向量的起点在原点时，向量终点的 坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若a ( x1 , y1 ),b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
x0 或 2
思考3：全体有序实数对与坐标平面内的所有向量 是否一一对应？
因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序
实数对的直观形象.
例 １ 已 知 O 是 坐 标 原 点 ， 点 A 在 第 一 象 限
O A 4 3 , x O A 6 0 , 求 向 量 O A 的 坐 标 。
消去 得
x y x y 0 1 2 2 1
记忆：两向量平行 设 a(x y ), b ( x , y ) 1 , 1 2 2 等价于它们的坐标 a//bx 交叉相乘的差为0 1y 2 x 2y 1 0
例题：已知 a ( x , 4 ), b ( x , 2 x ), a // b , 求 x3,6 )
O
x
调用几何画板
探索：平面向量可以用坐标表示，向量
的运算可以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， 求a + b , a – b . （2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求a的坐标 .
调用几何画板
平面向量的坐标运算
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y a
o
x
调用几何画板
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处.
yA a a x o
调用几何画板
定义：
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方 向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标表示. 3、 a=x i+y j =( x , y)
( x , y ) ， B ( x , y ) 3 、已知 A ．求 AB 1 1 2 2
解：
AB OB OA
A (x 1, y 1)
y
B (x ,y 2 2)
( x x , y y ) 2 1 2 1
( x , y ) ( x , y ) 2 2 1 1
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标．
a-b ( x x , y y ) 1 2 1 2
两个向量和（差）的坐标分别等于 这两个向量相应坐标的和（差）
2、
a ( x i y j ) x i y j ( x , y )
( x , y ) a
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘 原来的向量的相应坐标．
平面向量的坐标运算
( x ,y ) ( x ,y ) 1.已知a ，b ，求a+b，a-b． 1 1 2 2 解：a+b=( x 1 i + y 1 j ) + ( x 2 i + y 2 j ) =（ x 1 + x 2 )i+（ y 1 + y 2 )j
即 同理可得
( x x , y y ) a+b 1 2 1 2
平面向量共线的坐标表示
向量 b 与非零向量 a 共线 存在唯一的实数 ，使得 b a （ a 0 ）
设 a ( x , y ), b ( x , y )由 b a 1 1 2 2
x 2 x1 ( x , y ) ( x , y ) 2 2 1 1 y 2 y1
练 习 ， 已 知 a ( 2 , 1 ) , b (3 ,4 ) , 求 a b ,a b , 3 a 4 b 的 坐 标 。
解 ： a b( 2 ,1 ) ( 3 ,4 ) （ 1 ， 5 ） a b( 2 ,1 ) ( 3 ,4 ) （ 5 ，） 3 3 a 4 b3 ( 2 ,1 )4 ( 3 ,4 ) （ 6 ， 1 9 ）
§4
平面向量的坐标
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
探索1:
以O为起点，P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
y a
o
P
x
调用几何画板
4
3
2
（ 3， 2） P
2 j
1
j
-2
O
-1 -2
2
i
3i
4
6
O P 3 i2 j ( 3 , 2 )
-3
调用几何画板
向量的坐标表示
4 3
（ x， y） P
y j
1 2
j
-2
O
-1 -2
i
2
xi
4
6
O P x i y j ( x , y )
向量
OP
一一对应
P（x ，y）
-3
调用几何画板
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
调用几何画板
0= (0,0)
思考1：什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起 y 来？
向量的起点为原点时.
x
一一对应
练一练： 在同一直角坐标系内画出下列向量. . .
解：
2 1
-1
1
思考2：相等向量的坐标有什么关系？ 提示：相等,与起点的位 置无关.
B(x2,y2)
B1
1
A(x1,y1) A1
.
.
1
x
说明：
(1)任一平面向量都有唯一的坐标. (2)当向量的起点在原点时，向量终点的 坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若a ( x1 , y1 ),b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
x0 或 2
思考3：全体有序实数对与坐标平面内的所有向量 是否一一对应？
因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序
实数对的直观形象.
例 １ 已 知 O 是 坐 标 原 点 ， 点 A 在 第 一 象 限
O A 4 3 , x O A 6 0 , 求 向 量 O A 的 坐 标 。
消去 得
x y x y 0 1 2 2 1
记忆：两向量平行 设 a(x y ), b ( x , y ) 1 , 1 2 2 等价于它们的坐标 a//bx 交叉相乘的差为0 1y 2 x 2y 1 0
例题：已知 a ( x , 4 ), b ( x , 2 x ), a // b , 求 x3,6 )
O
x
调用几何画板
探索：平面向量可以用坐标表示，向量
的运算可以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， 求a + b , a – b . （2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求a的坐标 .
调用几何画板
平面向量的坐标运算
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y a
o
x
调用几何画板
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处.
yA a a x o
调用几何画板
定义：
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方 向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标表示. 3、 a=x i+y j =( x , y)
( x , y ) ， B ( x , y ) 3 、已知 A ．求 AB 1 1 2 2
解：
AB OB OA
A (x 1, y 1)
y
B (x ,y 2 2)
( x x , y y ) 2 1 2 1
( x , y ) ( x , y ) 2 2 1 1
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标．
a-b ( x x , y y ) 1 2 1 2
两个向量和（差）的坐标分别等于 这两个向量相应坐标的和（差）
2、
a ( x i y j ) x i y j ( x , y )
( x , y ) a
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘 原来的向量的相应坐标．
平面向量的坐标运算
( x ,y ) ( x ,y ) 1.已知a ，b ，求a+b，a-b． 1 1 2 2 解：a+b=( x 1 i + y 1 j ) + ( x 2 i + y 2 j ) =（ x 1 + x 2 )i+（ y 1 + y 2 )j
即 同理可得
( x x , y y ) a+b 1 2 1 2
平面向量共线的坐标表示
向量 b 与非零向量 a 共线 存在唯一的实数 ，使得 b a （ a 0 ）
设 a ( x , y ), b ( x , y )由 b a 1 1 2 2
x 2 x1 ( x , y ) ( x , y ) 2 2 1 1 y 2 y1
练 习 ， 已 知 a ( 2 , 1 ) , b (3 ,4 ) , 求 a b ,a b , 3 a 4 b 的 坐 标 。
解 ： a b( 2 ,1 ) ( 3 ,4 ) （ 1 ， 5 ） a b( 2 ,1 ) ( 3 ,4 ) （ 5 ，） 3 3 a 4 b3 ( 2 ,1 )4 ( 3 ,4 ) （ 6 ， 1 9 ）
§4
平面向量的坐标
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
探索1:
以O为起点，P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
y a
o
P
x
调用几何画板
4
3
2
（ 3， 2） P
2 j
1
j
-2
O
-1 -2
2
i
3i
4
6
O P 3 i2 j ( 3 , 2 )
-3
调用几何画板
向量的坐标表示
4 3
（ x， y） P
y j
1 2
j
-2
O
-1 -2
i
2
xi
4
6
O P x i y j ( x , y )
向量
OP
一一对应
P（x ，y）
-3
调用几何画板
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
调用几何画板
0= (0,0)
思考1：什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起 y 来？
向量的起点为原点时.
x
一一对应
练一练： 在同一直角坐标系内画出下列向量. . .
解：
2 1
-1
1
思考2：相等向量的坐标有什么关系？ 提示：相等,与起点的位 置无关.