第1节 集合的概念

必备新知
5．集合元素的三个特性
Hale Waihona Puke 特性意义确定性 元素与集合的关系是确定的，即给定元素 a 和集合 A，a∈A 与 a∉A 必居其一
互异性 集合中的元素一定是不同的，即 a∈A 且 b∈A 时，必有 a≠b
无序性 集合中的元素是没有顺序的
典例分析：
例 3：已知集合 A 含有两个元素 a－3 和 2a－1， (1)若－3∈A，试求实数 a 的值． 解：(1)因为－3∈A，
必备新知
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4. 元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A. (2)如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a∉A.
典例分析：
例 2：已知：① 5∈R；②13∈Q；③0＝{0}；④0∉N；⑤π∈Q；⑥－3∈Z.其中，正确的个 数为________．
解析：③错误，0 是元素，{0}是一个集合；④0∈N； ⑤π∉Q，①②⑥正确． 答案：3
练习：下面有四个结论：
①集合 N 中最小数为 1；②若－a∉N，则 a∈N；③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值
为 2；④所有的正数组成一个集合．其中，正确结论的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 B ①错，最小为 0；②错，若 a＝1.5，－a＝－1.5，则－1.5∉N,1.5∉N；③错，若 a＝0，b＝0，则 a＋b＝0；④正确．
练习：（1）若集合 M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：选 D 集合中的任何两个元素是不能相同的，所以 a，b，c 不相等．
（2）已知集合 A 中含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，求实数 a 的值．
[ 精解详析] 若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1，即 a＝±1. 当 a＝1 时，a＝a2，集合 A 有一个元素， ∴a≠1. 当 a＝－1 时， 集合 A 含有两个元素 1，－1，符合互异性．
典例分析：
例 4：已知集合 A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，则 a＝________.
解：∵－3∈A， ∴－3＝a－2 或－3＝2a2＋5a. ∴a＝－1 或 a＝－32. 当 a＝－1 时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3， 与元素互异性矛盾，应舍去．
当 a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3. ∴a＝－32满足条件．
2.已知①
∈R；② -2.7∈Q；③0= ；④-1∉N；⑤ 1 ∈Q；
⑥0∈Z．其中正确的个数为 ．
3
解：①、 是无理数也是实数，①正确；② 是有理数，②正确；
③0是元素而{0}是一个集合，不能相等，③错误；
④由0∈N知，④错误；⑤由π是无理数知π∉Q，⑤错误．
综上知，①②⑥正确．
故答案为：3．
所以－3＝a－3 或－3＝2a－1.
(2)若 a∈A，试求实数 a 的值． 若－3＝a－3，则 a＝0.
此时集合 A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a－1， 则 a＝－1. 此时集合 A 含有两个元素－4，－3，符合题意， 综上所述，满足题意的实数 a 的值为 0 或－1. (2)因为 a∈A， 所以 a＝a－3 或 a＝2a－1. 当 a＝a－3 时，有 0＝－3，不成立． 当 a＝2a－1 时，有 a＝1，此时 A 中有两个元素－2,1，符合题意．综上知 a＝1.
∴a＝－1.
必备新知
6．集合的分类
有限集：含有有限个元素的集合 无限集：含有无限个元素的集合
课堂小结
1.集合 2.元素 3.常用数集及其表示 4.元素与集合的关系 5.集合元素的三个特性 6.集合的分类
课后练习
1.下列各组对象中，不能构成集合的是（ ） A．充分接近1的数 B．大于0小于20的整数 C．所有有理数 D．数轴上到原点的距离等于1的点 解：因为集合中运算是确定的，所以充分接近1的数不能构成集合．A不 正确；B、C、D正确； 故选：A．
3.已知集合A中只有1，x，x2+3x三个元素，且﹣2∈A，求实数x的值． 解：∵1，x，x2+3x，∴x≠1，且x≠x2+3x， 即x≠0，x≠﹣2，x≠1，∵﹣2∈A， ∴x2+3x=﹣2，解得：x=﹣1，或x=﹣2（舍）， 综上所述，x=﹣1．
练习：下列说法正确的是( ) A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由 1,2,3 和 9，1， 4组成的集合不相等 C．不超过 20 的非负数组成一个集合 D．方程(x－1)(x＋1)2＝0 的所有解构成的集合中有 3 个元素
解析：选 C A 项中元素不确定；B 项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序 性，所以两个集合相等；D 项中方程的解分别是 x1＝1，x2＝x3＝－1，由互异性知，构成的 集合含 2 个元素．
高中数学 必修一
第一章 集合 第1节 集合的概念
必备新知
1．集合 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的 全体构成的集合(或集)．通常用大写字母 A,B,C…表示 2．元素 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．通常用小些字母 a,b,c…表示 注意： 空集:不含有任何元素的集合叫空集，记作∅.
典例分析：
例 1：考察下列每组对象：
①非常大的正整数全体； ②小于 100 的所有整数； ③某校 2014 年秋季入学的所有长头发同学； ④平面直角坐标系第一象限内的所有点； ⑤大于 0 且小于 1 的所有无理数． 其中能构成集合的个数为（ ）
1.A
2.B
3.C
4.D
【解答】解：①非常大的正整数意义不明确，因此不能构成集合； ②小于 100 的所有整数，意义明确，可以构成集合； ③某校 2014 年秋季入学的所有长头发同学意义不明确，因此不能构成集合； ④平面直角坐标系第一象限内的所有点，可以构成集合； ⑤大于 0 且小于 1 的所有无理数可以构成集合． 其中能构成集合的个数为为 3． 故选：C．