7-9 有电介质时的高斯定理 电位移

r 1 q0 q0 q0 r r
总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球 心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
有电介质时的高斯定理
电位移
+
例题7-29 平行板电容器两板极 S1 的面积为S，如图所示，两板极 1 2 之间充有两层电介质，电容率分 S2 别为ε1 和ε2 ，厚度分别为d1 和d2 ， E1 E2 电容器两板极上自由电荷面密度 D1 D2 为±σ。求（1）在各层电介质的 电位移和场强，（2）电容器的 A B d1 d2 电容. 解 （1 ）设场强分别为E1 和E2 ，电位移分别为D1 和D2 ，E1和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层 电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的 自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面， 求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
有电介质时的高斯定理
电位移
例题7-28 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀 “无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场 强及极化电荷分布。 P 解: 根据金属球是等势体，而 r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 R Q0 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 S 如图所示，过P点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 球面S，由高斯定理知
如图所示过p点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面s由高斯定理知rp?有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理电位移电位移rq0s204r?qd?r?qd?30r344??所以写成矢量式为024?dqrds?d??????有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理电位移电位移e?dd????所以离球心r处p点的场强为qqrr?????因00033044rreer?r?????????r?rqr?rqr?rqp?rrr?????????????4?0??4r???413030030结果表明
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 q S C d1 d 2 VA －VB 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可 以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层 的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电 容器两极板的表面相平行）。
1
2
§7-9 有电介质时的高斯定理 电位移
1.有电介质时的高斯定理
1 E dS
பைடு நூலகம்
电位移
同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场自由电荷 总电场

S
0
(q
S内
0
q)
束缚电荷
由电荷守恒定律和面上束缚 电荷，得面内束缚电荷
高斯
有电介质时的高斯定理
电位移
q dS P cosdS SP dS
有电介质时的高斯定理
电位移
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介 质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍, 可求出电极化强 度为
q0 q0 q0 r 1 P r 0 r r 3 3 3 4r 4 0 r r 4r r 电极化强度 P 与 r 有关，是非均匀极化。在电介
有电介质时的高斯定理
电位移
为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们 可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示， 这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按 有电介质时的高斯定理，得
D S D
S1
1
S ＝ S
E1 1 r1 0
再利用 D1＝1 E1 , D2＝ 2 E2 可求得
电位移
电位移矢量 同时描述电场和电介质极化的复合矢量。 电位移线与电场线 性质不同。 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
电场线 电位移线

三矢量间关系
2. D、E、P 三矢量之间关系 D 0 E P D 0 r E E P 0 ( r 1) E
S内
q0 代入得 S ( 0 E P ) dS S内 定义：电位移矢量 D E P 0 有介质时的高斯定理 D d S q 0
S S内
S
S
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等 于该面包围的自由电荷的代数和。
有电介质时的高斯定理
E2 2 r 2 0
方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理
电位移
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
d1 d 2 q d1 d 2 VA－VB＝E1d1 E2 d 2 1 2 S 1 2
有电介质时的高斯定理
电位移
D dS D1S＋D2 S＝0
S1
所以
即在两电介质内，电位移 D1和 D2 的量值相等。由于
D1＝D2
D1＝1 E1 , D2＝ 2 E2 E1 2 r 2 所以 E2 1 r 1
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和 电容率（或相对电容率）成反比。
质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布 在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表 面在无限远处），其电荷面密度为
P en
有电介质时的高斯定理
电位移
q0 r 1 2 4R r
因为εr >1，上式说明σ’恒与q0反号。在交界 面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为
有电介质时的高斯定理
电位移
2 D dS D 4r q0 q0 D 所以 2 4r q0 写成矢量式为 D r 3 4r 因 D E , 所以离球心r 处P点的场强为
q0 q0 E0 D E r r 3 3 4 r 4 0 r r r