最新：人教版九年级上册数学第24章《圆》小结与复习第2课时

180
(2)举例说明如何计算扇形面积
在半径为R的圆中，因为圆心角是360°的扇形
面积就是圆面积 S R2，所以圆心角是1°的扇
形面积是
R2 360
。这样，在半径为R的圆中，圆心角为
n°的扇形面积S的扇计形 算公n3式6R是02：
1°的扇形面积是 1 R2 360
1°
° n° n°圆心角的扇形的面积 n R2 360
三、选择题：
下A、列三命角题形正外确心的到是三（边C距离）相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,
则这个三角形的面积为_3_0_c_m__．
相信自己我能行
1P.为如A图B，上6⊙一O动的点半,则径点OAPA 到=1圆0c心mO，的弦最A短B=距16离cm，
．
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
∟
O．
∴ OA⊥ l
A
l
典例精析
【例2】.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交 BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.
试说明:AC是⊙D的切线.
过D点作DF ⊥AC于F点，
然后证明DF等于圆D的半
F
径BD
【例3】、如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长 线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°. (1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由; (2)AC=_____，请给出合理的解释.
B D
C
· E
A
五、 切线 (1) 切线的识别方法： 1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是
圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是
圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
（2）切线的性质:
(1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径
扇形
为r，那么这个扇形的半径为l
a
扇形的弧长为 2r
ro
ar 因此圆锥的侧面积
圆锥的全面积为 r 2 ar
典例精析
圆锥有关的计算
【例1】小红准备自己动手用纸板制作圆锥形的生 日礼帽,如图,圆锥帽底面积半径为9cm,母线长为 36cm,请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼帽
问题1：如何作三角形的外接圆？ C
如何找三角形的外心？
O
B
A
思考：三角形的外心一定在三角形内吗？
C
CCC
AA A
OO
BB
O
B
O
B
A
⊿ABC是直角三角形
▲▲AABBCC是是钝锐角角三三角角形形
三角形的外心位置：
锐角三角形的外心在三角形_内___，
直角三角形的外心在三角形_在斜边的中点处_,
钝角三角形的外心在三角形__外__。
7.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半径
的圆与BC切于点M，与AB交于点E，若AD＝2，BC＝6，则弧
四.圆中的有关计算:
1.圆的周长和面积公式
周长C=2πr 面积s=πr2
2.弧长的计算公式
L=
nπr 180
3.扇形的面积公式
．r
O
S = nπr2
360
或
S
=
1
2
lr
(1)举例说明如何计算弧长？
（2）.常用的方法
F
中心角
O.
半径R
C
（3）.正多边形的作图
边心距r 边
O
R
A
1 2
a
d C
(1 a)2 d 2 R2 a2
B
课堂练习
1. 过一点的圆有_____个； 2. 过两点的圆有____个，这些圆的圆心的都在____上； 3. 过三点的圆有_________个； 4. 锐角三角形的外心在三角形____，
2
尝试练习二
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的
弦BC与小圆相切，则BC=_2__7__ cm；
A
P
B
2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
O
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_3_6__π_；
c 3、下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线．
典例精析
【例1】 扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求弧AB的
长和扇形的面积及扇形的周长.
（1）8πcm
（2）48πcm²
（3）周长：（24+8π）cm
【例2】 如图,当半径为30cm的转动轮转过120°时,
传送带上的物体A平移的距离为_2_0__π_c_.m
A
【例3】.如图，把Rt△ABC的斜边放在直线 l 上，
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，
所以1°的圆心角所对的弧长是 2 R ，即 R 。于是
360Biblioteka 180可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计
算公式为：l n R
180
1°
1°的圆心角所对的弧长是
1 360

2
R

R
180
O · n°
n°的圆心角所对的弧长的为 l n R
有什么关系？
正n边形的半 径，边心距， 边长又有什么
关系？
O Rr A DB
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心． 外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
（1） 正多边形和圆
E
D
（1）.有关概念
人教版九年级数学上册
第二十四章 圆
小结与复习（2）
多听
多问
多思
多说
多看
读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。
四、 和圆相关的位置关系
（1）点和圆有怎样的位置关系？如何判定?
P
点P在圆外 d ＞ r ;
点P在圆上 d = r;
点P在圆内 d ＜ r .
P
O· P
r
（2）直线和圆位置有几种,如何进行判定？A
典例精析
【例4】.如图,是某机械厂的一种零件平面图. (1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心 (要求正确画图,不写做法,保留痕迹). (2)若弦AB=80cm,AB的中点C到AB的距离是20cm,求该 零件所在的半径长.
A
B
（2）三角形的内切圆: A
．
O
B
C
三角形的内心就是三角形 三内角平分线 的 交点.内心到三角形 三边 的距离相等。
O
B DC
3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B, 过弧AB上任一点E作圆O的切线,交 PA,PB于点C,D,则:
．．A C．E P
O
．D
B (1) △PCD的周长=2PA
(2) ∠COD= 900- 1∠APB
2
A
4.如图, △ABC各边分别
B
． D． ．F
切圆O于点D、E、F.
O．
E
(1) ∠DEF= 900- 12∠A C (2) ∠BOC= 900+ 1 ∠A
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
尝试练习三
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ × ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点． 二、填空：
（√ ）
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的
外接圆半径 6.5cm ，内切圆半径 2cm ； 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 2:1 ．
按顺时针方向转动一次,使它转到 ABC 的位置。 若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经 过的路线长。
A′ C
A
B C′
l
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
(3) 举例说明如何计算圆锥的侧面积和全面积.
圆锥的侧面展开图是一个扇形，
2.如图圆O切PB于点B,
B
PB=4,PA=2,则圆O的 半径是____.
O AP
3.如图PA,PB,CD都是圆O 的切线,PA的长为4cm,则 P △PCD的周长为_____cm
A C
.O
DB
4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？
5、 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂 足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出这 面镜子的半径吗？
180
扇形的面积公式为：
S nr2 nr r 1 lr
360 180 2 2
4.如图，PA、PB是圆的切线，A、B为切点，AC为直径， ∠BAC=200，则∠P= 。
A
P CB
直角三角形的内切圆半径与三边关系: r a b c . 2
三角形的内切圆半径与圆面积: S 1 ra b c.
A
2
1
． ． ． D
(3) S △ABC= 2 (a+b+c)r F
B
O．
E
C
5.在Rt △ABC中, ∠ACB是直角,三边分 A 别是a、b、c,内切圆半径是r,则:
需要纸板的面积为_3_2_4__π_c__m_.²
.9cm
【例2】.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900。
(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗? (2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？ (3)若AB=5，BC=4，你能求以AC为轴旋转一周所得 的圆锥的表面积吗？
A
C
B
【例3】如图有一圆锥形粮堆,其正视图为边长是 6m的正三角形ABC,粮堆的母线AC的中点P处有一老 鼠正在偷吃粮食此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧 面到达P,处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是 3__3_c_m_.(保留 根号)
直角三角形的外心在三角形____， 钝角三角形的外心在三角形____。
5. 已知：△ABC，AC=12，BC=5，AB=13,则△ABC的 外接圆半径为 。
6. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，
其中B点坐标(4,4)，
则该圆弧所在圆的
圆心坐标为
。
(2)有关圆的计算
弧长的计算公式为： l nr
C
7
B
P
14
A
O
综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
六、三角形的外接圆与内切圆
（1）三角形的外接圆
三角形的外心就是三角 形 三边垂直平分线 的交点. 外心到三角形 三个顶点 的 距离相等。
A．
B． O．
．
C
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接 圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做 圆的内接三角形。
直线和⊙O相离 d＞r.
·
直线和⊙O相切 d = r;
r d
直线和⊙O相交 d＜r;
Ad
l
（3）圆和圆的位置关系有几种? 如何判定?
两圆外离 d > r1＋r2; 两圆外切 d = r1+r2;
两圆相交 r1-r2＜d ＜ r1+r2; 两圆内切 d = r1－ r2; 两圆内含 0＜d ＜ r1－ r2.
三角形的外接圆与内切圆:
A．
A
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.
三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
重要结论
等边三角形的外心与内心 重合.. 内切圆半径与外接圆半径的比是 1:2. 。
A
O
B
D
C
七、正多边形和圆有什么关系？
正n边形的一个 内角的度数是多 少？中心角呢？ 正多边形必有外接正角圆多与和内边外切形角圆的的. 中大心小
C
只要连接OC，而后
证明OC垂直CD
A
O
B
D
（3）切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
∵PA、PB为⊙O的切线
P
∴PA=PB, ∠APO= ∠BPO
课堂练习
1.已知圆心O到直线a的距离为5,圆的半径为r,当r=__
时,圆O与a相切.
O· 1
O· 2
O·1 O·2
O·1 O·2
O·1O· 2
O·1O· 2
典例精析
【例1】.在Rt△ ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D为AB 的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为半径作⊙B， 问：（1）A、C、D、E与⊙B的位置关系如何？
（2）AB、AC与⊙B的位置关系如何？
为
。O
C
D
O
A
PB
B
72°或108°
第4题
25°
第1题
60π 第3题
5.如图PA,PB,CD都是圆O的切线,PA的长
8 为4cm,则△PCD的周长为_____cm
CA
E
.O
B
P
DB
内切
AD
M第7题 C
6心. O已2知的圆坐O标1与为圆(-6O,02)的,则半两径圆3分π的别位为置1关2和系2是,圆__心_O__1的_. 坐标为(0,8),圆 2
A
.P
B
C
常见的基本图形及结论:
AC
A
1.如图,在以O为圆心的
O．
ED
B
两个同心圆中,大圆的弦 AB交小圆于C、D,则:
AC=BD
∟ ∟
O
．
C
B
若大圆的弦切小圆于C,则 AC=BC
两圆之间的环形面积 S= 1 πAB2
4
2.如图,以等腰△ABC的腰AB为直径作 ⊙O交底边BC于点D,则:
A
点D是BC的中点.